Математика для поступления в магистратуру

У вступительного испытания по математике нет единого содержания, и это первое, что стоит понять до учебников. Две магистерские программы с похожими названиями могут проверять совершенно разное: одна опирается на математический анализ и линейную алгебру и требует решать задачи письменно, другая оставляет математику на устный разговор по теории вероятностей и дискретной математике. Программу пишет вуз, он же решает форму, и поэтому «готовиться к математике для магистратуры» нельзя: готовиться можно только к программе конкретного испытания, а общий слой, который у всех программ примерно один, даёт лишь отправную точку.

Здесь речь только о математической части. Как устроен приём целиком, где искать правила и как не пропустить сроки, разобрано в статье подготовка к поступлению в магистратуру. Этот текст нужен после неё, когда программа испытания уже у вас в руках и надо понять, что с ней делать.

Программа вместо названия предмета

Программа испытания обычно выглядит как перечень тем с формулировками вроде «пределы и непрерывность функции одной переменной», «ранг матрицы и системы линейных уравнений», «условная вероятность и формула Байеса». Читать её нужно как задание: каждая строка перечня означает, что по ней могут задать вопрос или задачу. Строка, которую вы пропустили при подготовке, может оказаться билетом.

Первое, что полезно сделать с программой, — разобрать формулировки на глубину. «Знать определение предела» и «уметь решать задачи на вычисление пределов» — разные требования, и различие часто в одном слове. Если в программе написано «доказать», значит, на испытании придётся доказывать, и вычислительной беглости мало. Если указан список литературы, он задаёт и глубину: учебник для технических вузов даёт одну меру строгости, учебник для математических факультетов совсем другую.

Второе: найдите, предусмотрены ли образцы заданий. Если вуз их публикует, это самый надёжный сигнал о форме: сколько задач в билете, нужна ли теория отдельно, какого уровня расчёты. Разрешены ли калькулятор и справочные материалы, написано в правилах отдельно, и узнавать это надо там, а не от знакомых.

Что чаще всего встречается в программах

Единой программы нет, но общий состав можно описать с оговоркой «чаще всего». Он зависит от направления, и сверять его нужно по своему вузу.

• математический анализ: пределы, производные и их применение, определённый и неопределённый интегралы, числовые ряды
• линейная алгебра: матрицы, определители, системы линейных уравнений, собственные числа и векторы
• теория вероятностей и математическая статистика: вероятность, условная вероятность, случайные величины, оценки и проверка гипотез
• дискретная математика и оптимизация в направлениях, связанных с программированием и экономикой

Школьная часть базы под этим слоем нужна всем: преобразования, функции, уравнения и неравенства. Что в неё входит, видно из статьи структура профильной математики: все задания по порядку. Читать её имеет смысл как перечень школьных разделов, чтобы понять, что может понадобиться как опора; готовиться по ней ни к чему.

Статистика в этом списке отличается от той, что нужна в работе. Для магистратуры она строится на выводах и расчётах, а для работы на чтении чужих цифр. Про второе написано в статье статистика для работы, и не стоит считать, что её хватит для вступительного испытания.

Знакомые, узнаваемые, новые темы

Когда программа разложена на строки, каждую удобно отнести к одной из трёх категорий, и работать с ними приходится по-разному.

Первая категория: вы помните и решите. Для неё нужны только проверка и поддержание беглости, достаточно нескольких задач по теме без подсказок.

Вторая: вы узнаёте тему, помните, что её проходили, но не можете сразу начать решение. Это самая большая категория у тех, кто закончил бакалавриат несколько лет назад, и самая выгодная: при повторении здесь прирост даёт быстрее всего, потому что материал был усвоен, и его надо только разбудить. Нужны разбор нескольких задач с объяснением и затем самостоятельные.

Третья: темы, которых не было в вашем курсе вовсе. Если направление бакалавриата и магистратуры не совпадает, их будет много. Здесь работа другая: материал изучается впервые, и считать это повторением нельзя. Планируйте на неё больше, чем кажется, и начинайте раньше остальных, потому что за вечер новая тема не усваивается.

Самое полезное в такой разметке — сам момент, когда вы вынуждены честно записать «не помню». Без неё подготовка идёт по знакомым темам, потому что с ними приятно работать, а непонятные откладываются, и в день испытания выпадает как раз одна из них.

Теория в билете и задача в билете

Если испытание устное или в нём есть теоретический вопрос, нужны формулировки и доказательства, одних вычислений мало. Для вычислительно сильных людей это неприятная сторона подготовки, потому что умение решать не гарантирует умения рассказать.

Приведу пример, как выглядит разница. Вы без труда найдёте точку, в которой касательная параллельна хорде, на заданной функции. Но вопрос «сформулируйте теорему Лагранжа» требует назвать условия: функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, и только тогда существует точка, где разность значений на концах равна производной в точке, умноженной на длину отрезка. Условия называют далеко не все, хотя комиссии они интересны не меньше самой формулы.

У меня есть позиция, с которой можно спорить: готовиться к теории стоит выборочно, но глубоко. Выучить доказательства всех теорем курса не получится и не нужно. Лучше выбрать по одному короткому доказательству на раздел (ограниченность сходящейся последовательности для анализа, условие единственности решения квадратной системы для линейной алгебры, формула Байеса для вероятности) и довести их до свободного рассказа. По ним видно, как вы владеете языком раздела, и их хватает, чтобы ответить на смежный вопрос, когда задан не тот, что вы учили.

Отрабатывать устный ответ можно без собеседника: поставьте телефон на запись и расскажите вслух доказательство или формулировку так, как будто объясняете человеку, который тему не знает. Прослушайте и отметьте места, где вы замолчали или сказали «ну, тут понятно». Эти места и есть пробелы, о которых вы при чтении про себя не догадывались: глазами текст кажется понятным, а вслух выясняется, что связки между шагами вы не помните. Через несколько таких прогонов ответ становится короче и ровнее, и тогда его уже можно проверять на живом человеке.

Задачи при этом тоже нужны, но их приятно решать, поэтому перекос обычно идёт в их сторону. Для устного испытания пропорцию стоит развернуть: теория должна занимать не меньше половины времени подготовки, и она проверяется вслух, а не про себя.

Что ломается после долгого перерыва

Когда навык не используется, первой уходит беглость, а понимание держится дольше. Человек помнит, что такое интеграл по частям, но на записи формулы тратит три минуты и ошибается в знаке. На письменном испытании это значит, что по времени он не укладывается, хотя по знаниям проходит. Лечится это тренировкой: десять задач на одну технику подряд дают больше, чем перечитывание объяснения.

Вторая потеря: привычка проверять. На бумаге, на время, без возможности открыть справочник, ошибка в знаке не находится сама, и нужен привычный порядок проверки: подставить ответ в условие, оценить правдоподобие, проверить размерность. В работе и в быту вы проверяете результат, опираясь на смысл, а в абстрактной задаче смысла нет, и проверка превращается в отдельный навык.

Третья: письменная запись. Решение, понятное вам, должно быть понятно проверяющему, и пропущенный шаг обосновать не получится. Тренируйте полную запись, даже если вам кажется, что она очевидна.

Полезно проверить подготовку на одной строке программы целиком. Возьмите, скажем, строку про системы линейных уравнений и спросите себя по порядку: что такое решение системы, когда оно существует и единственно, как это связано с рангом матрицы и с определителем, как решить систему тремя разными способами и как проверить ответ подстановкой. Если вы отвечаете на все вопросы без запинки, строка закрыта. Если запинаетесь на втором, у вас пробел в теории, а не в вычислениях, и повторение задач его не заполнит.

Как проходят занятия на расстоянии

Черновик в математике обязателен, но доски в видеокомнате нет, как нет и показа экрана. Поэтому решение приходит заранее: вы фотографируете лист и отправляете снимки в чат (до пяти в одном сообщении), чтобы специалист успел разобрать ход мысли до встречи. Чат пары открывается, когда репетитор получил ваши контакты по заявке. Само занятие не записывается, и формулировки теорем, которые вам неудобно держать в голове, придётся заносить в конспект самому.

Для письменной части удобен порядок: решаете дома на время, фотографируете, отправляете накануне. На занятии разбираете. Для устной части занятие работает как репетиция: вы отвечаете вслух, специалист перебивает, просит уточнить условие теоремы, спрашивает, где используется то или иное условие. Это хорошо переносится в видеокомнату, потому что рисунков почти не требует.

Рисунки и графики придётся описывать словами или присылать фотографией, и некоторым специалистам, привыкшим к доске, это непривычно. Спросите заранее, как они строят занятия без доски. И сразу уточните, работали ли они именно со вступительными испытаниями в магистратуру: опыт школьных репетиторов по математике здесь переносится не полностью.

Если математика нужна для программирования и данных

Многие магистерские программы по информатике и аналитике включают математику как одну из частей испытания. Если вы идёте туда, полезно прочитать про соседнее: что ждёт в самой профессии, разобрано в статье Python для взрослого, а общий порядок возвращения к учёбе описан в статьях репетитор для взрослого: с чего начать обучение заново и что подтягивают взрослые чаще всего. Если нужно догнать вузовский курс, который вы проходили плохо, пригодится высшая математика в вузе: как догнать курс.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для взрослых
• репетиторы по математике
• репетиторы для студентов
• репетиторы для взрослых с пробным занятием

Вопросы и ответы

С чего начать, если программа испытания ещё не опубликована? С учебных планов самой магистерской программы: по ним видно, какие дисциплины вуз считает исходными. Параллельно можно разбирать разделы, которые встречаются в программах чаще всего: анализ, линейную алгебру, вероятность. Когда программа появится, часть работы окажется уже сделанной, а остальное вы сможете расставить по приоритету, зная, какие темы у вас идут.

Нужны ли прошлогодние задачи? Нужны, но не в первую очередь: они показывают форму испытания, границу знаний задаёт программа текущего года. Когда основные темы освоены, прошлогодний вариант удобно решить на время как репетицию.

Хватит ли школьной базы? Для самого испытания нет, по программе нужны разделы высшей математики. Школьная база служит опорой, и дыры в ней стоит закрыть первыми.

Можно ли готовиться самому, по учебнику? Можно, и для многих разделов это работает. Репетитор нужен там, где вы застряли и не понимаете, на каком шаге, и для устной части, где без собеседника отвечать вслух некому. Выбирать его стоит под то, что у вас сейчас слабее: беглость в расчётах или умение рассказать, и по первому пробному занятию это видно.