Геометрическая оптика: линзы и зеркала

Луч падает на зеркало под углом 30 градусов к его поверхности, и ученик записывает, что угол падения равен 30. Ошибка одного вида встречается на зеркалах, на границах сред и на линзах: угол в оптике отсчитывают от перпендикуляра к поверхности, от нормали, и угол к поверхности сначала дополняют до прямого. Угол падения здесь равен 60 градусам.

Построение изображения в линзе делают правильно многие. Баллы теряются на втором этапе, когда чертёж надо превратить в число, и на странице с формулой линзы появляются расстояния со знаками.

Углы отсчитываются от нормали

Закон отражения звучит коротко: угол отражения равен углу падения, оба отсчитываются от нормали, и три луча — падающий, отражённый и нормаль — лежат в одной плоскости. Во всех задачах на повороты зеркала это единственное утверждение, на котором строится решение, и поворот зеркала на угол φ поворачивает отражённый луч на 2φ при неизменном падающем.

Угол между падающим и отражённым лучами равен удвоенному углу падения, и если в условии дан именно он, его сначала делят пополам, а уже потом подставляют куда-либо. Два угла, которые легко принять один за другой, дают ответ ровно вдвое больше или меньше верного.

Закон преломления связывает синусы: n₁·sinα = n₂·sinβ, где α — угол в первой среде, β — во второй, а n = c/v — показатель преломления. В среде с большим показателем луч ближе к нормали. Эту формулу переворачивают так часто, что стоит проверить любой ответ по этому признаку. Луч из воздуха падает на стекло с показателем 1,5 под углом 30 градусов к нормали: sinβ = 1·0,5/1,5 ≈ 0,33, угол около 19,5 градуса, меньше исходного. Ученик, записавший sinβ = 1,5·0,5 = 0,75, получает угол около 49 градусов, то есть луч в стекле отклоняется от нормали сильнее, чем в воздухе, а такого быть не может.

Показатель преломления воздуха в задачах принимают равным единице, воды — около 4/3, стекла — около 1,5, если условие не называет других значений; луч, падающий строго по нормали, не преломляется вовсе.

Из преломления следует и привычная картина с водой: глубина бассейна, на которую смотрят сверху, кажется меньше настоящей в n раз при взгляде почти вертикально. Дно на глубине 2 метра для наблюдателя сверху лежит на глубине около 1,5 метра, потому что показатель воды примерно 4/3. Ответ «кажется глубже» получается у тех, кто перепутал, в какую сторону сместились лучи.

Полное внутреннее отражение возможно только при переходе в среду с меньшим показателем. Предельный угол задаётся равенством sinα = n₂/n₁; для границы стекло — воздух это 1/1,5 ≈ 0,67, то есть около 42 градусов. При угле падения больше предельного преломлённого луча нет, весь свет отражается. Ошибка этой темы — применять предельный угол при переходе из воздуха в стекло: синус там получился бы больше единицы, и это сразу видно.

Знаки в формуле линзы

Формула тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения; оптическая сила D = 1/F измеряется в диоптриях, если F взято в метрах. Двадцать сантиметров — это 0,2 метра и 5 диоптрий; подставленные в формулу двадцать дают 0,05, и ошибка в сто раз выглядит как правильное число.

Знаки — главное место, где формула линзы перестаёт быть механической. У собирающей линзы F положительно, у рассеивающей отрицательно, а расстояние до мнимого изображения получается отрицательным. Ученик, получивший f = −20 см, часто решает, что где-то ошибся, и стирает минус; а минус — это и есть ответ: изображение мнимое и находится перед линзой. В разных учебниках знаки вводят по-разному, некоторые обходятся модулями и разбирают случаи отдельно, поэтому надо держаться той системы, которой учит ваш учитель, и в решении записать одной строкой, какие знаки приняты.

Три расчёта, по которым стоит проверять себя. Собирающая линза F = 20 см, предмет на d = 30 см: 1/f = 1/20 − 1/30 = 1/60, значит f = 60 см, изображение действительное, увеличение Γ = f/d = 2. Тот же предмет на d = 10 см: 1/f = 1/20 − 1/10 = −1/20, f = −20 см, изображение мнимое, увеличенное вдвое. Рассеивающая линза F = −20 см, d = 30 см: 1/f = −1/20 − 1/30 = −1/12, f = −12 см, изображение мнимое, уменьшенное до 0,4 от предмета.

Две линзы на одной оси решаются по цепочке: изображение, которое дала первая, служит предметом для второй. Расстояние до этого предмета равно L − f₁, где L — расстояние между линзами, и если первое изображение оказалось за второй линзой, получается отрицательное d₂ — предмет мнимый. Этот случай стоит разобрать на бумаге заранее, вместе с чертежом.

Оптические силы тонких линз, сложенных вплотную, складываются: D = D₁ + D₂. Очки в плюс две диоптрии имеют фокусное расстояние 0,5 метра; переводить диоптрии в метры и обратно полезно уметь в уме.

Четыре положения предмета перед собирающей линзой

Чтобы не вычислять каждый раз, полезно помнить, как меняется картина, когда предмет приближается к линзе.

• Дальше двойного фокуса: изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное.
• Между двойным фокусом и фокусом: действительное, перевёрнутое, увеличенное; ровно в двойном фокусе размеры равны.
• Ближе фокуса: мнимое, прямое, увеличенное — так работает лупа.
• Ровно в фокусе: изображения нет, за линзой выходит параллельный пучок.

Расстояние между предметом и его действительным изображением в линзе никогда не бывает меньше 4F, и наименьшее оно при d = 2F. Если в задаче такое расстояние получилось меньше, ошибка уже есть.

Рассеивающая линза даёт одну картину при любом положении: мнимое, прямое, уменьшенное изображение. Расстояния d и f отсчитывают от линзы; расстояние от фокуса в формулу не подставляют.

При построении достаточно двух лучей. Самый надёжный — луч через оптический центр, который идёт без преломления. Второй идёт параллельно главной оси и после линзы проходит через фокус; для рассеивающей линзы через фокус проходит его продолжение. Для мнимого изображения лучи за линзой расходятся, и точку пересечения ищут на их продолжениях, пунктиром.

Зеркало и система отсчёта

Плоское зеркало даёт мнимое изображение за зеркалом на таком же расстоянии, как и предмет перед ним. Человеку, чтобы видеть себя целиком, достаточно зеркала вдвое короче его роста, и расстояние до зеркала на это не влияет, хотя ощущение подсказывает обратное. Для вогнутого сферического зеркала формула та же, что для линзы, а F = R/2; различие в том, что действительное изображение лежит с той же стороны, что и предмет, тогда как у линзы — с противоположной. Вогнутое зеркало радиусом 40 см при предмете на 30 см даёт те же 60 см и тот же двукратный рост.

Опасность в задачах про движение: изображение и предмет движутся в разных системах отсчёта. Предмет приближается к неподвижному зеркалу со скоростью v: изображение приближается к зеркалу с той же скоростью, а предмет и изображение сближаются со скоростью 2v. Если приближается само зеркало к неподвижному предмету со скоростью v, изображение приближается к предмету со скоростью 2v, потому что оно сдвигается на удвоенное смещение зеркала. Тот же результат виден на шаге человека: он приблизился к зеркалу на метр, и расстояние между ним и его изображением сократилось на два. Прежде чем решать, надо прочесть, относительно чего спрашивают скорость: относительно зеркала, земли или предмета.

Где геометрическая оптика кончается

Лучевая картина работает, пока размеры предметов и отверстий много больше длины волны. Когда это не так, появляются дифракция и интерференция, и описывать свет приходится как волну; об этом — в статье про волны и звук. А выход электронов из металла при освещении объясняет только квантовая картина: квантовая физика и строение атома.

Показатель преломления зависит от цвета: фиолетовый свет преломляется сильнее красного, поэтому призма раскладывает белый свет в спектр, а линза собирает лучи разных цветов в разных точках. В школьных задачах это обычно сводится к вопросу, какой из лучей отклонится сильнее.

Один вопрос на стыке этих областей встречается часто: что меняется при переходе света из воздуха в стекло. Скорость уменьшается в n раз и длина волны уменьшается во столько же, а частота не меняется, поэтому цвет остаётся прежним. Ответ «изменились длина волны и частота» ловит тех, кто формулу v = λ·ν выучил, но не подумал, что в ней остаётся постоянным.

Восьмой класс, одиннадцатый и экзамен

Отражение, преломление, линзы и построение изображений проходят в восьмом классе, а формула тонкой линзы с расчётными задачами приходит чаще в одиннадцатом, хотя в отдельных учебниках — раньше. Между двумя частями темы три года, и к экзамену обычно хорошо помнят чертёж и плохо помнят знаки. Оптика в курсе соседствует с волнами и квантами, а как разделы курса связаны между собой, описано в статье о разделах школьной физики; разделы и типы заданий экзамена описаны в структуре ЕГЭ по физике. Что входит в часть с развёрнутым ответом, рассказано в статье о второй части ЕГЭ по физике и химии.

Начинать расчётную задачу я бы с чертежа даже тогда, когда условие этого не требует: эскиз с положением предмета показывает, мнимое или действительное изображение получится, и неверный знак у f обнаруживается раньше, чем формула успеет его скрыть.

Тем, кому оптика не даётся вовсе, помогает лупа. Поднесите её к тексту и медленно отодвигайте: сначала буквы увеличены и прямые, потом изображение исчезает в размытом пятне, потом появляется перевёрнутым. Расстояние от лупы до текста в тот момент, когда прямое изображение исчезает, и есть фокусное расстояние. После этого чертёж перестаёт быть абстракцией.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• физика для 5–8 класса
• подготовка к ЕГЭ по физике
• физика для 10–11 класса

Вопросы и ответы

Нужно ли помнить значения синусов? Если в условии не дана таблица, углы подбирают такие, у которых синус известен. Выучить стоит значения для 30, 45 и 60 градусов.

Что делать, если f получилось отрицательным? Ничего не стирать. Минус означает мнимое изображение, и в ответе пишут его расстояние по модулю, а характер изображения называют словами: мнимое, прямое, увеличенное или уменьшенное. Если по принятой в вашем курсе системе знаков минус обозначает что-то иное, это нужно оговорить в решении.

Что станет с изображением, если закрыть половину линзы? Изображение остаётся целым и полным, но тускнеет: каждая его точка собирается из лучей, прошедших через разные части линзы, и убирание половины лишь уменьшает число таких лучей.

Где у линзы передний фокус? С той стороны, откуда идёт свет. У собирающей линзы фокусов два, по одному с каждой стороны, на равном расстоянии от центра.