Десятичные дроби и действия с ними

Десятичные дроби кажутся лёгкой темой: числа похожи на целые, только с запятой. Именно поэтому на них теряют ответ в задачах, которые решены верно по смыслу. Запятая, оказавшаяся на один знак левее или правее, превращает 0,012 в 0,12, и ответ вырастает в десять раз. Проверить такую ошибку нечем, кроме собственной привычки прикидывать порядок числа.

Запятая должна оказываться на своём месте по смыслу, без опоры на заученное правило. Для этого хватает цен в магазине, одного рисунка и привычки прикидывать ответ заранее. Начнём с того, что запятая вообще значит.

Что на самом деле означает запятая

Десятичная дробь — это обыкновенная дробь, у которой в знаменателе стоит десять, сто, тысяча и так далее. Запись 0,5 означает пять десятых, то есть 5/10, а это то же самое, что 1/2. Запись 0,25 — это 25/100, что после сокращения даёт 1/4. Если читать десятичную дробь вслух полностью, то есть «двадцать пять сотых» (не «ноль запятая двадцать пять»), то и перевод в обыкновенную получается сам собой.

Цифры после запятой имеют названия по разрядам: десятые, сотые, тысячные. В числе 3,407 три целых, четыре десятых, ноль сотых и семь тысячных. Ноль в разряде сотых важен: без него число превратилось бы в 3,47, а это уже другое число.

Между двумя десятичными дробями всегда помещается ещё одна: между 0,3 и 0,4 лежит 0,35, между 0,3 и 0,35 лежит 0,325, и так без конца. Для целых чисел это не так, там после семи сразу идёт восемь, и из-за этого ученики иногда ждут «следующую» дробь после 0,3 и не находят её. Следующей нет: дроби расположены на числовой прямой так плотно, что между любыми двумя найдётся третья.

С нулями связаны два правила, и у них разный смысл. Нули в самом конце десятичной записи можно дописывать и убирать: 2,5 = 2,50 = 2,500, потому что это пять десятых, пятьдесят сотых и пятьсот тысячных, то есть одна и та же половина. А вот нуль сразу после запятой убирать нельзя никогда: 0,05 — это пять сотых, а 0,5 — пять десятых, и они различаются в десять раз.

Сложение и вычитание: запятая под запятой

Складывать и вычитать десятичные дроби надо в столбик так, чтобы запятая стояла строго под запятой. Тогда одинаковые разряды оказываются друг под другом, и десятые складываются с десятыми, сотые с сотыми. Если у чисел разное количество знаков после запятой, недостающие места заполняют нулями.

Сложим 12,5 и 3,75. Первое число дописываем до 12,50, потом складываем: сотые 0 + 5 = 5, десятые 5 + 7 = 12 — пишем два, один переносим, целые 12 + 3 + 1 = 16. Получается 16,25.

Вычтем 2,36 из десяти. Десять записываем как 10,00, и дальше обычное вычитание с переносом через разряды: 10,00 − 2,36 = 7,64. Проверка сложением: 7,64 + 2,36 = 10,00. Школьники, которые выравнивают числа по правому краю, как целые, ставят запятую в итоге произвольно, и ошибка начинается с этого выравнивания. Поэтому ещё до первого вычисления стоит дописать нули и убедиться, что запятые стоят в одной колонке.

Умножение: считаем как целые, запятую ставим в конце

Здесь запятые в столбик не выравнивают, это самая частая путаница с предыдущим правилом. Перемножают числа так, будто запятых нет, а в конце отсчитывают справа столько знаков, сколько их было после запятой у обоих множителей вместе.

Умножим 0,4 на 0,03. Без запятых это 4 · 3 = 12. Знаков после запятой в первом множителе один, во втором два, всего три, значит, отсчитываем три знака справа: 0,012. Другой пример: 2,5 · 1,2. Без запятых 25 · 12 = 300, знаков всего два, получается 3,00, то есть 3. Прикидка подтверждает: две с половиной, умноженные на число чуть больше единицы, дают чуть больше двух с половиной, и три для этого подходит.

Правило про подсчёт знаков лучше объяснять через обыкновенные дроби: готовое правило ребёнок забывает к контрольной. Запишите 0,4 · 0,03 как 4/10 · 3/100: в числителе 12, в знаменателе 1000, это двенадцать тысячных, то есть 0,012. Тогда правило перестаёт быть заклинанием, а подсчёт знаков оказывается подсчётом нулей в знаменателях, и забыть его труднее.

С умножением связано ещё одно школьное убеждение, которое стоит проверить: будто умножение всегда увеличивает число. Для чисел больше единицы так и есть, а вот 0,2 · 0,5 = 0,1, то есть половина от двух десятых, и результат меньше обоих множителей. Проверьте по обыкновенным дробям: 2/10 · 5/10 = 10/100 = 0,1. Если ребёнок знает, что «умножить на 0,5» значит «взять половину», с такими примерами у него проблем не бывает.

Умножение на 10, 100, 1000 сводится к переносу запятой вправо на столько знаков, сколько нулей: 3,47 · 100 = 347. Деление на те же числа переносит запятую влево: 52,4 : 100 = 0,524. Если знаков не хватает, дописывают нули слева: 0,06 · 10 = 0,6, а 7 : 1000 = 0,007.

Деление и дроби, которые не кончаются

Делить на десятичную дробь неудобно, поэтому делитель превращают в целое число. Для этого запятую в делимом и делителе переносят вправо на одинаковое число знаков. Это законно, потому что значение частного не меняется, если оба числа умножить на одно и то же число, не равное нулю.

Разделим 7,2 на 0,06. Умножим оба числа на 100: получим 720 : 6 = 120. Проверка: 0,06 · 120 = 7,2. Если делитель целый, всё ещё проще: запятую в частном ставят, когда деление доходит до запятой в делимом. Разделим 1,5 на 4. Целая часть, единица, меньше четырёх, поэтому пишем в частном 0 и ставим запятую. Дальше 15 : 4 = 3, остаток 3; приписываем нуль, 30 : 4 = 7, остаток 2; ещё нуль, 20 : 4 = 5. Выходит 0,375, и 4 · 0,375 = 1,5.

Деление положительного числа на положительное число, меньшее единицы, даёт результат больше исходного, и ученики долго не верят этому. Разделим 5 на 0,25: 500 : 25 = 20. Смысл ясен без вычислений: в пятёрке помещается двадцать четвертей. Делить на нуль нельзя, в том числе и на 0,0.

Бывает, что деление не заканчивается. Единицу, поделённую на три, можно делить сколько угодно: 0,333… остаток каждый раз один. Это периодическая дробь, её записывают 0,(3): в скобках повторяющаяся часть. Для 1 : 7 повторяется целая группа цифр: 0,(142857). А 1/6 даёт 0,1(6). Пугаться такого не нужно, это обычные числа, просто в виде десятичной записи они бесконечны. Конечная десятичная дробь получается из несократимой обыкновенной только тогда, когда в знаменателе после разложения на простые множители остались одни двойки и пятёрки: 3/8 и 7/20 переводятся в 0,375 и 0,35, а 1/3 и 1/6 — нет, потому что в знаменателе есть тройка.

Сравнение и округление

Сравнивать десятичные дроби надо по разрядам слева направо, предварительно уравняв число знаков. Что больше, 0,9 или 0,12? Школьник, привыкший к целым, говорит: двенадцать больше девяти. Но дописав нуль, получаем 0,90 и 0,12, и девяносто сотых явно больше двенадцати сотых. Ошибка вызвана тем, что число после запятой читают как целое, не глядя на то, сколько там знаков.

Округляя до нужного разряда, смотрят на первую отбрасываемую цифру. Если она меньше пяти, предыдущая остаётся как есть, если пять или больше, предыдущая увеличивается на единицу. Число 3,14159 до сотых — 3,14, потому что следом идёт единица. Число 2,675 до десятых — 2,7: цифра десятых шесть, следом стоит семь, а это больше пяти, поэтому шестёрка становится семёркой, а всё остальное отбрасывается.

Типичная ошибка при округлении — идти с хвоста. Число 0,449 округляют до десятых: смотрим на сотые, там четвёрка, меньше пяти, ответ 0,4. Если же начать с последней девятки, получится 0,45, а потом 0,5, и ответ получится неверным.

Связь с обыкновенными дробями и процентами

Десятичные и обыкновенные дроби — две записи одного и того же, и свободный переход между ними важнее любого отдельного правила. Из обыкновенной в десятичную: числитель делят на знаменатель, 3/8 = 3 : 8 = 0,375. Из десятичной в обыкновенную: читают вслух и сокращают, 0,125 = 125/1000 = 1/8. Подробнее о том, как работать с обыкновенными, — в статье про обыкновенные дроби. А какие ещё темы подводят школьников, видно в обзоре тем, которые западают чаще всего.

Проценты тоже десятичные дроби: один процент — это 0,01. Значит, 15 % от 80 — это 0,15 · 80 = 12. Три типа задач на проценты, из которых выпускники теряют больше всего, разобраны в статье про проценты.

На экзамене десятичная дробь чаще всего оказывается ответом: в бланк вписывают целое число или конечную десятичную дробь, причём с запятой. Калькулятора там нет, а запятая, которая сдвинулась на знак, превращает верное решение в неверный ответ — обидная потеря для первой части ЕГЭ по математике.

Бытовые задачи хороши для проверки порядка величины: тетрадь стоит 24,50, купили шесть штук, платим 24,5 · 6 = 147, и сдача с двухсот рублей — 200 − 147 = 53. Ещё пример: килограмм яблок стоит 89,50, взяли два килограмма. 2 · 89,5 = 2 · 89 + 2 · 0,5 = 178 + 1 = 179. Цифр много, а вычисление делается в уме. Если у ребёнка получилось 14,7 или 1470, он должен заметить, что шесть тетрадей по двадцать с лишним рублей не могут стоить ни пятнадцати, ни полутора тысяч.

Начать поиск:

• найти репетитора по математике
• математика для 5–8 класса с репетитором
• репетиторы для подготовки к ОГЭ по математике

Вопросы и ответы

Почему при умножении запятые в столбик не выравнивают? При умножении разряды перемножаются, а не складываются, поэтому выравнивать нечего. Запятую ставят потом, по числу знаков у обоих множителей.

Как быстро проверить, что запятая стоит там, где нужно? Прикиньте порядок: округлите оба числа до целых и перемножьте. Если 2,5 · 1,2 округлить до 3 · 1, получится три, и ответ 3 подходит, а 30 или 0,3 нет. Это занимает несколько секунд и ловит большинство ошибок в запятой. Та же привычка нужна на экзамене, устройство которого разобрано в статье про профильную математику.

Когда десятичная дробь бесконечна и что с этим делать в ответе? Если по условию надо округлить, округляют до указанного разряда, и в условии это всегда написано. Если ничего не сказано, лучше оставить обыкновенную дробь: она записывает число точно.

Нужно ли учить таблицу переводов вроде 0,125 = 1/8? Несколько пар полезно знать наизусть: 0,5 = 1/2, 0,25 = 1/4, 0,75 = 3/4, 0,2 = 1/5, 0,125 = 1/8. На них экономится время в каждой задаче, где десятичная и обыкновенная дроби встречаются вместе.

Ребёнок переносит запятую при делении и каждый раз по-разному. Как закрепить? Пусть он всегда перепроверяет умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Для 7,2 : 0,06 ответ 120 проверяется так: 0,06 · 120 = 7,2. Если не сошлось, ошибка почти наверняка в числе знаков при переносе: в делимом и делителе запятую надо сдвигать на одно и то же количество знаков, сколько их в делителе.