Темы школьной математики, которые западают чаще всего

Родитель говорит: «не даются логарифмы». Открываешь тетрадь, и логарифмы тут ни при чём: решение сорвалось на второй строке, где минус перед скобкой не поменял знак у второго слагаемого. Ученик, который «не понимает производную», нередко спотыкается о дробь внутри неё. Тема, которую называют провальной, часто оказывается просто местом, где вылезла старая недоделка из шестого или седьмого класса.

Ниже о том, как устроена эта цепочка и с какого конца её чинить. Разбор каждой темы лежит в своей статье, и на неё я ссылаюсь; здесь только то, почему тема не идёт и что с этим делать. Основных источников у таких срывов три: дроби, знаки и условие, при котором выражение вообще имеет смысл. Читать можно школьнику, которому надоело «повторять всё подряд», и родителю, который видит двойки по теме и не находит причину.

Ошибка и причина сидят в разных темах

Тема в школе идёт по порядку, и каждая стоит на предыдущей. Формула корней квадратного уравнения x = (−b ± √D)/(2a) целиком состоит из дроби и знаков. Решение логарифмического уравнения упирается в вопрос, при каких x выражение вообще существует. Производная частного — это правило для дробей, где потерянный минус меняет весь ответ. Поэтому ошибка в старшей теме нередко оказывается ошибкой младшей, дождавшейся случая.

Отсюда вывод, который поначалу кажется странным: повторять тему, на которой ученик срывается, чаще всего бесполезно. Дали десять логарифмических уравнений подряд — получили десять с тем же потерянным условием. Работает другое: взять неверное решение, найти строку, где оно впервые разошлось с проверкой, и спросить, из какой темы эта строка. Часто выясняется, что из шестого класса или из седьмого.

Дроби: за ними тянется всё дробное

Начать удобно с дробей. Проценты — это дроби со знаменателем сто: 15 процентов от 640 равны 640 · 15/100 = 96, а три типа задач на проценты разобраны в статье про проценты. Вопрос «цена выросла на 20 процентов и стала 3000, какой она была» — это деление на 1,2, то есть на дробь 6/5, а делить на дробь значит умножать на перевёрнутую: 3000 · 5/6 = 2500. Проверка: 2500 · 1,2 = 3000. Десятичные дроби — те же дроби со знаменателем 10, 100 и так далее: 0,35 — это 35/100, то есть 7/20 (см. десятичные дроби).

Текстовая задача на работу — тот же случай. Один мастер справляется с заказом за 6 часов, другой за 3. За час первый делает 1/6 заказа, второй 1/3, вместе 1/6 + 1/3 = 1/2, значит, заказ готов за 2 часа. Тот, кто не умеет складывать дроби с разными знаменателями, складывает часы и получает 9, хотя ответ обязан быть меньше 3: вдвоём не медленнее, чем один самый быстрый. Это текстовые задачи на движение, работу и смеси, и сбой в них лежит в арифметике дробей, а не в чтении условия.

В восьмом классе у дробей появляются буквы, и старая ошибка возвращается. Сократить (x + 6)/6: ученик «убирает шестёрки» и пишет x. При x = 6 слева 2, справа 6. Верно разделить каждое слагаемое: x/6 + 1, и при x = 6 это 2. Сокращать можно только множители, как в 6x/6 = x. К этому же ряду относится пропорция, то есть равенство двух дробей: из 3/x = 6/10 следует 6x = 30 и x = 5, причём x не нуль, иначе дробь не существует (подробнее в статье про пропорции и отношения). Ровно так же в шестом классе «сокращали» четвёрки в (4 + 3)/4 и получали 3, о чём подробно в статье про обыкновенные дроби.

Знак: от скобки до дискриминанта

Вторая цепочка начинается с минуса перед скобкой. Возьмём 7 − (4 − 9): внутри скобки −5, и 7 − (−5) = 12. Если применить минус только к первому слагаемому, выйдет 7 − 4 − 9 = −6. Это ошибка шестого класса (отрицательные числа), в уравнении она выглядит иначе. Решим 3 − (x − 5) = 2x + 2. Раскрыв скобку верно, получаем 3 − x + 5 = 2x + 2, то есть 8 − x = 2x + 2, откуда 6 = 3x и x = 2. Проверка: слева 3 − (2 − 5) = 6, справа 2 · 2 + 2 = 6. С потерянным знаком у пятёрки выходит 3 − x − 5 = 2x + 2, затем x = −4/3, и подстановка показывает ошибку: слева 28/3, справа −2/3. Подробнее — линейные уравнения.

Дальше тот же минус. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен −5, и дискриминант D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1, корни (5 ± 1)/2, то есть 3 и 2. Записавший −5² получает −25, D = −25 − 24 = −49 и вывод, что корней нет, а корни есть. Разница между (−5)² и −5² — тема степеней, само уравнение — в статье про квадратные уравнения.

В системе минус тоже относится ко всей строке. Вычтем из 4x + 3y = 18 уравнение x − 3y = −3: слева (4x + 3y) − (x − 3y) = 3x + 6y, справа 18 − (−3) = 21. Пара (3; 2) подходит к обоим уравнениям, и 3 · 3 + 6 · 2 = 21 сходится. Забудьте про минус у −3, справа окажется 15 (системы уравнений).

Дальше формулы, графики, прогрессии, векторы и производная. Квадрат разности (x − 3)² равен x² − 6x + 9: при x = 5 слева 4 и справа 25 − 30 + 9 = 4, а ответ x² − 9 дал бы 16 (формулы сокращённого умножения). У прямой y = 2 − 3x коэффициент k равен −3, и она убывает: при x = 0 значение 2, при x = 1 значение −1; потерянный знак нарисует возрастающую прямую (линейная функция). У параболы y = −x² + 4x коэффициент a равен −1, ветви идут вниз, вершина в точке x = −4/(2 · (−1)) = 2, значение −4 + 8 = 4; потерявший минус у a найдёт x = −2, где значение −12 (парабола). В геометрической прогрессии 2, −6, 18 знаменатель равен −3, знаки чередуются, и четвёртый член равен 2 · (−3)³ = −54, с потерянным знаком вышло бы 54 (арифметическая и геометрическая прогрессии). Вектор AB — это координаты B минус координаты A: для A(1; 2) и B(4; 6) получается (3; 4) длиной 5, а вычитание в обратном порядке даст (−3; −4), то есть вектор в другую сторону (векторы). Для y = x − 2 на отрезке от 0 до 2 интеграл равен 2 − 4 = −2, а площадь под графиком положительна и равна 2; ответ −2 для площади — тоже потерянный знак (первообразная и площадь под графиком). В производной частного (u′v − uv′)/v² стоит минус, и если его потерять, производная x/(x + 1) при x ≠ −1 превращается из 1/(x + 1)² в (2x + 1)/(x + 1)²: при x = 1 верный наклон 1/4, ошибочный 3/4 (производная).

Условие, которое остаётся за кадром

Третье звено — вопрос, который никто не задал: можно ли при этом x вообще посчитать выражение. В дробях это деление на нуль, и правило начинается с запрета: на нуль делить нельзя. Решим (x² − 4)/(x − 2) = 0. Разность квадратов даёт (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 при x ≠ 2, и остаётся x + 2 = 0, то есть x = −2. Число 2 обнуляет числитель, но заодно и знаменатель, поэтому при x = 2 выражение не существует. Подстановка: при x = −2 получаем 0/(−4) = 0. Ответ один. Тот же запрет в неравенстве (x − 2)/(x − 1) < 0: ответ (1; 2), точка 1 не входит при любом знаке (метод интервалов).

С корнем условие другое: подкоренное выражение неотрицательно, а сам корень никогда не бывает отрицательным. Решим √(2x + 3) = x. Левая часть не меньше нуля, значит, и x ≥ 0. Возведём в квадрат: 2x + 3 = x², то есть x² − 2x − 3 = 0, и x = 3 или x = −1. При x = 3 получаем √9 = 3, подходит. При x = −1 получаем √1 = 1, а справа −1, и этот корень посторонний. Ответ x = 3; без условия x ≥ 0 остаются оба корня. Подробнее — в статьях про квадратные и кубические корни и про модуль числа, где объяснено, почему √((−3)²) равен |−3| = 3.

В логарифмах условие надо выписывать первой строкой. Уравнение log₂ x + log₂ (x − 3) = 2: оба аргумента положительны только при x > 3. Складываем: log₂ (x(x − 3)) = 2, то есть x(x − 3) = 4, x² − 3x − 4 = 0, корни 4 и −1. Корень −1 не лежит в области x > 3, остаётся 4: log₂ 4 + log₂ 1 = 2 + 0 = 2. Свойства и ловушки — в статье про логарифмы. Тангенс — ещё одно деление на нуль: tg x = sin x / cos x, и при 90 градусах косинус равен нулю, поэтому тангенс не существует (синус, косинус и тангенс). Те же корни отсеиваются в тригонометрических уравнениях: в sin x/(1 − cos x) = 0 на отрезке от 0° до 360° числитель обращается в нуль при 0°, 180° и 360°, но при 0° и 360° обнуляется и знаменатель, поэтому остаётся 180°, где 0/2 = 0. Тот же вопрос — область определения: y = 1/(x − 2) определена при x ≠ 2, y = √(x + 2) при x ≥ −2 (функции и графики).

Что в цепочку не входит

Геометрия и вероятность выпадают: там свои срывы, и к ним примыкают случайные величины, где путают ожидание с самым вероятным значением, а дисперсию с отклонением. В треугольниках признак подобия принимают за признак равенства, хотя у подобных треугольников равны углы, а стороны пропорциональны, и равными они становятся лишь при коэффициенте подобия, равном единице. В площадях вместо высоты берут боковую сторону: у треугольника с основанием 10 и высотой 6 площадь 1/2 · 10 · 6 = 30, а с боковой стороной 8 вышло бы 40. В объёмах у пирамиды и конуса забывают множитель 1/3: при площади основания 12 и высоте 5 объём пирамиды равен 12 · 5/3 = 20, без множителя получилось бы 60. В окружности вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге, и центральному углу 80° отвечает вписанный 40°. В теории вероятностей «хотя бы один» проще считать через противоположное событие, чем перебирать все случаи.

С чего начинать

Перед повторением стоит поставить диагноз, и по симптому он ставится быстро:

• в уравнении с корнем или логарифмом появился лишний корень: проверьте, записано ли условие на x до решения;
• в задаче с дробями ответ не сходится с проверкой: сложите на листе 1/6 и 1/3 и посмотрите, не здесь ли сбой;
• в строке с минусом перед скобкой вышел другой ответ: решите подряд десять строк вроде 7 − (4 − 9) и 3 − (x − 5) = 2x + 2;
• процентный или «рабочий» ответ нелепый: переведите проценты и доли работы в дроби и подставьте числа в условие.

Все эти ошибки ловит одна привычка, подстановка: примеры выше проверены ею. Потеря знака и потеря условия не требуют новых знаний, и в первой части ЕГЭ по математике такие потери обиднее всего: тема знакома, а ответ неверный. Если до экзамена год или меньше, считайте от его даты назад (расписание — в статье про даты ЕГЭ-2027) и ставьте ремонт нижних звеньев в начало: остальное стоит на них.

Хороший репетитор начинает с такого разбора и только потом берёт очередную тему. Что спросить при выборе, написано в статье как выбрать репетитора для подготовки к ЕГЭ.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• математика для 5–8 класса
• математика для 9 класса
• подготовка к ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Как найти первое звено, если решение длинное? Подставить ответ в исходное условие, потом пройти решение сверху вниз и отметить первую строку, где значение перестаёт совпадать с исходным.

Нужно ли сначала повторить всю программу с пятого класса? Нет, ученик заново проходит то, что давно умеет. Если минус теряется только перед скобкой, главу про отрицательные числа целиком проходить незачем: хватит нескольких десятков строк вида 7 − (4 − 9) и 3 − (x − 5) = 2x + 2, решённых и проверенных подстановкой. Возвращаться стоит туда, где подстановка показала сбой.

Дети теряют знак по невнимательности? Невнимательностью обычно называют привычку, которой не нашли имени. Например, ученик каждый раз применяет минус только к первому слагаемому в скобке, и это повторяется одинаково, значит, лечится.

С чего начать, если до экзамена остаётся мало времени? С потерь, которые не требуют новой темы: знак, дробь и условие в задачах, которые уже решаются. Новые темы в последние недели не берут.