Импульс и закон сохранения импульса

Тележка массой 2 кг идёт вправо со скоростью 3 м/с и сталкивается с тележкой массой 1 кг, которая идёт навстречу со скоростью 4 м/с; после удара они сцеплены. Ученик складывает 6 и 4, делит на общую массу 3 и получает 3,3 м/с. Импульс — вектор, и у встречного движения знак другой: 6 − 4 = 2 кг·м/с, после сцепки скорость обеих равна 2/3 м/с, около 0,67 м/с, и направлена вправо. Два ответа различаются в пять раз, и обе цифры выглядят правдоподобно для столкновения тележек.

Закон сохранения импульса записывается короче закона сохранения энергии и потому кажется безобиднее; баллы он забирает вокруг формулы: на знаке проекции, на применимости, на системе отсчёта и на соседней энергии.

Ось, проекции и знак ответа

Решение начинается с выбора оси и её положительного направления, ещё до формул. Затем импульс каждого тела до и после удара записывается как проекция на ось: у тела, идущего по оси, со знаком плюс, у идущего против, со знаком минус. Для тележек: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)V, то есть 2·3 + 1·(−4) = 3·V, откуда V = 2/3 м/с.

Отрицательный ответ — не ошибка, если он означает, что тело едет против оси. Ученики его часто стирают, подозревая счётную ошибку; в решении пишут: «скорость направлена против выбранной оси». А если ось выбрана иначе, ответ получится с другим знаком, и это тоже верно: направление в условии задано словами, а число со знаком зависит от оси.

Тот же результат с энергетической стороны выглядит жёстче: до столкновения кинетическая энергия тележек 9 + 8 = 17 Дж, после сцепки — 1,5·(2/3)² ≈ 0,67 Дж, то есть почти всё ушло. И хотя импульс сохранился, записывать в таком случае закон сохранения механической энергии — частая ошибка темы.

Если тела разлетаются под углом, работают две проекции. Снаряд массой 3 кг летит горизонтально со скоростью 10 м/с и разрывается на осколки 1 и 2 кг; лёгкий осколок получает скорость 30 м/с вертикально вверх. По горизонтали импульс до равен 30, у лёгкого осколка вдоль горизонтали ноль, значит, тяжёлый имеет проекцию 2·u = 30 и u = 15 м/с. По вертикали до разрыва было ноль, лёгкий унёс +30, значит, у тяжёлого проекция −30 = 2·w, и w = −15 м/с, то есть вниз. Полная скорость тяжёлого осколка — корень из 15² + 15² ≈ 21 м/с под углом 45 градусов к горизонту. Складывать модули здесь нельзя ни по одной из осей.

Когда закон вообще применим

Закон сохранения импульса относится к замкнутой системе, то есть такой, где сумма внешних сил равна нулю. Требование сильное, и задачи выполняют его двумя путями. Либо внешних сил нет вовсе или они уравновешены по выбранной оси: по горизонтали на тележку ничего не действует, сила тяжести уравновешена опорой, и тогда вдоль горизонтали импульс сохраняется, а вдоль вертикали нет. Либо взаимодействие так коротко (удар, взрыв, выстрел), что за это время внешние силы не успевают заметно изменить импульс.

Для баллистического маятника это означает два этапа с разными законами. Пуля застряла в бруске: пока идёт удар, сохраняется импульс, а энергия нет (на деформацию и нагрев ушла большая часть). Брусок вместе с пулей поднялся на подвесе: теперь для обоих тел сохраняется механическая энергия, а импульс нет, потому что подвес с натяжением нити тормозит движение. Перепутать этапы значит записать закон, который на данном этапе не выполняется, и дальше всё решение считается впустую.

Числа для маятника: пуля 10 г со скоростью 400 м/с застревает в бруске, так что вместе их масса 2 кг. После удара скорость V = 0,01·400/2 = 2 м/с, и подъём находится уже из энергии: h = V²/(2g) = 0,2 м. Кинетическая энергия пули была 800 Дж, у пары после удара осталось 4 Дж, то есть полпроцента: остальное ушло в деформацию и нагрев, и поэтому энергия на первом этапе не записывается.

Внешняя сила, действующая заметное время, ломает закон: брусок на шероховатом столе после удара пули тормозится трением, и его путь надо искать через второй закон Ньютона или через работу силы трения. В условии такое торможение обычно выдают слова «до остановки» и «трение».

Скорости в одной системе отсчёта

В уравнение сохранения импульса подставляют скорости, измеренные в одной и той же системе отсчёта, обычно связанной с землёй. Условие же часто даёт скорость относительно подвижного тела: человека на лодке, снаряда на тележке, газа из ракеты. Подставить её напрямую — значит смешать две системы.

Лодка массой 120 кг с человеком 60 кг стоит неподвижно на воде. Человек идёт по лодке со скоростью 1 м/с относительно неё. Ось направлена по движению человека, скорость лодки относительно воды V, значит, скорость человека относительно воды равна V + 1. Импульс до равен нулю, после — 60·(V + 1) + 120·V = 0, откуда V = −1/3 м/с: лодка движется назад с этой скоростью, а человек относительно воды идёт со скоростью 2/3 м/с. Если подставить 1 вместо V + 1, получится 60·1 + 120·V = 0 и V = −0,5 м/с: в полтора раза больше верного.

Выстрел показывает масштаб поправки. Снаряд 10 кг вылетает из орудия массой 1000 кг со скоростью 400 м/с относительно земли: откат V = 10·400/1000 = 4 м/с. Если те же 400 м/с заданы относительно ствола, то 10·(400 − V) = 1000·V и V ≈ 3,96 м/с. Для тяжёлого орудия разница в четвёртом знаке, и её легко пропустить, для лодки с человеком она уже в полтора раза, и пропустить невозможно.

Реактивное движение устроено так же: скорость газа задана относительно ракеты, а закон сохранения требует её относительно земли. Ошибку выдаёт знак: скорость выброшенного газа в системе земли направлена против движения ракеты, а у многих в записи получается по движению.

Импульс силы и мяч о стену

Второй закон Ньютона в импульсной форме записывается как F·Δt = Δp, и в этом виде его формулировал сам Ньютон; о том, как переходить между формулировками, — в статье про законы Ньютона и их применение. Сила и изменение импульса — векторы, и знак изменения зависит от оси.

Мяч массой 0,2 кг ударяется о стену со скоростью 10 м/с и отскакивает с такой же скоростью. Ось направлена к стене. Импульс до: +0,2·10 = +2, после: −2, и изменение равно −2 − 2 = −4 кг·м/с. Модуль скорости прежний, однако изменение импульса равно 4 кг·м/с по модулю. Ответ ноль получает тот, кто решил, что скорость прежняя и импульс тоже; ответ 2 — кто учёл удар, но забыл про знак после отскока. Если удар длится 10 мс, средняя сила на мяч равна 4/0,01 = 400 Н, миллисекунды переведены в секунды до подстановки.

Площадь под графиком силы от времени равна изменению импульса: если в задаче дан график удара, ответ считают площадью фигуры, и единицы по осям переводят заранее, как все приставки.

Закон сохранения импульса для мяча и стены вместе выполняется, но стена связана с Землёй, и её скорость после удара нулевая в любых пределах точности; поэтому для самого мяча используют F·Δt = Δp.

Упругий и неупругий удар

Здесь нужно сначала назвать вид удара, а потом выписывать законы. В любом ударе сохраняется импульс замкнутой системы, а вот энергия сохраняется не во всех.

• Неупругий удар, тела слипаются: импульс сохраняется, механическая энергия нет, часть её переходит во внутреннюю.
• Абсолютно упругий удар: сохраняются и импульс, и механическая энергия.
• Упругий центральный удар одинаковых масс, одна из которых покоилась: тела обмениваются скоростями, налетавшее останавливается.
• Лёгкое тело налетает на очень тяжёлое неподвижное: оно отскакивает со скоростью почти той же по модулю и противоположной по направлению.

Для упругого удара тела массой m₁ о покоящееся m₂ скорости после удара равны (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)·v и 2·m₁/(m₁ + m₂)·v. Первое может быть отрицательным: налетавшее лёгкое тело отскакивает назад. Энергетическая сторона вопроса разобрана в статье работа, энергия и мощность, в решении она появляется лишь там, где условие говорит «упруго» или называет потерю энергии.

Девятый класс, десятый и что делать, если не идёт

Импульс и реактивное движение входят в программу девятого класса; в десятом классе закон записывается в векторной форме, появляются упругий и неупругий удар и задачи с углами. Тема забывается, потому что стоит между законами Ньютона и энергией, кажется простой благодаря короткой формуле p = m·v, и её редко повторяют отдельно. В задачах она нередко соседствует с энергией, а ученик помнит обе темы порознь. Импульс соединяет динамику с энергией; как разделы курса связаны между собой, описано в статье о разделах школьной физики. Разделы и типы заданий экзамена описаны в структуре ЕГЭ по физике, а что входит в часть с развёрнутым ответом, — в статье о второй части ЕГЭ по физике и химии.

В задачах на слипание я бы запретил себе записывать сохранение энергии: при слипании часть её по определению переходит во внутреннюю.

Тренировать удобно по возрастанию трудности: сначала только знаки в одномерных задачах без чисел, потом реактивное движение и относительные скорости, затем задачи из двух этапов и, наконец, разлёт под углом. Когда решение не складывается, нарисуйте две картинки: тела до удара и после, со стрелками скоростей и подписанными числами, ось сбоку. Решение собирается из этой картинки, и пока она не получается, формулы подставлять рано.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• физика для 9 класса
• подготовка к ЕГЭ по физике
• физика для 10–11 класса

Вопросы и ответы

Импульс — это то же самое, что количество движения? Да, старое название.

Может ли импульс сохраняться, если на тело действует сила? Для системы тел — да, когда внешних сил нет или они уравновешены по выбранной оси; внутренние силы, с которыми тела действуют друг на друга, суммарный импульс не меняют. Для одного тела под действием постоянной силы импульс меняется ровно на F·Δt.

Нужно ли переводить граммы в килограммы? В уравнении сохранения масса стоит в обеих частях, поэтому при одинаковых единицах массы оставить граммы можно; тогда импульс получится в грамм-метрах на секунду. Для силы через F·Δt = Δp перевод обязателен, иначе ньютоны не получатся.

Можно ли пренебречь внешними силами при ударе? Когда взаимодействие короткое и внешняя сила ограничена по величине, изменение импульса от неё за это время мало по сравнению с импульсами самих тел. Условие обычно это подсказывает словами «короткий удар» и «взрыв». Если сказано «трение» и «до остановки», внешняя сила считается отдельно и после удара.