Работа, энергия и мощность

Брусок скатился с плоскости, и в ответе у ученика получилось 5,9 м/с вместо 6,3. Закон сохранения энергии записан верно, трение учтено, арифметика безупречна. Расхождение сидит в одном месте: силу трения он посчитал через mg, а нужна реакция опоры, которая на наклонной плоскости меньше. Оба числа правдоподобны, на глаз их не различить, и потому ошибка живёт до самой проверки. В краткой части число сверяет машина, и сомнения в «примерно» она не принимает.

Тема считается лёгкой, потому что формулы короткие. На деле все потери приходятся на то, что стоит между формулами: какой угол, какой путь, какой уровень принят за нулевой, делить на КПД или умножать на него.

Брусок на плоскости: из чего складывается ответ

Брусок массой 2 кг соскальзывает с наклонной плоскости высотой 3 м и длиной 5 м; косинус угла наклона равен 0,8, коэффициент трения 0,25, g принято равным 10 м/с². Найти скорость внизу, если брусок начал движение из покоя.

Работа силы тяжести равна mgh = 2 · 10 · 3 = 60 Дж, и зависит она только от высоты, а не от того, по какой траектории тело спустилось. Сила трения скольжения равна μ · N, где N = mg · cos α = 16 Н, откуда трение 4 Н. Умножаем на путь 5 м и получаем работу трения, равную 20 Дж, взятую со знаком минус: сила направлена против перемещения. Кинетическая энергия внизу 60 − 20 = 40 Дж, а скорость v = √(2 · 40 / 2) = √40 ≈ 6,3 м/с.

Тот, кто подставил N = mg, получил бы трение 5 Н, работу 25 Дж, энергию 35 Дж и скорость √35 ≈ 5,9 м/с. Разница между двумя ответами невелика, и по здравому смыслу её не заметить: оба разумны. Поэтому проверять надо чертёж, не результат: реакция опоры перпендикулярна поверхности и равна mg только на горизонтальной плоскости. Здесь снова нужны законы Ньютона: именно они объясняют, откуда берётся N.

Знак работы и угол под косинусом

Работа постоянной силы равна F · s · cos α, где α — угол между направлением силы и направлением перемещения. Угол берут между этими двумя векторами, и оси координат к делу отношения не имеют. Если сила направлена по перемещению, работа положительна, против — отрицательна, перпендикулярно — равна нулю, и именно нулевая работа вызывает больше всего вопросов.

Записи, которые чаще всего приходится исправлять:

• угол взят между силой и осью координат, а не между силой и перемещением;
• работа силы трения посчитана через модуль перемещения, хотя тело ходило туда и обратно, и считать надо весь путь;
• для силы натяжения нити или реакции опоры при движении перпендикулярно им записано ненулевое число, а работа таких сил равна нулю;
• при подъёме работа силы тяжести поставлена со знаком плюс.

Первый пункт проще всего увидеть на санках. Верёвку тянут с силой 40 Н под углом 60° к горизонту, санки проехали 10 м по горизонтали. Угол между силой и перемещением как раз 60°, косинус равен 0,5, работа 40 · 10 · 0,5 = 200 Дж. Тот, кто берёт угол к вертикали, подставляет 30° и получает 346 Дж: цифра вроде бы разумная, но она не имеет отношения к задаче.

Второй пункт заслуживает пояснения: по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, а работа трения нет, и именно по этому отличию силы делят на потенциальные и непотенциальные. Задача, в которой тело съехало вниз и поднялось на прежнюю высоту, но по дороге потеряло скорость, сразу показывает, что потеряла её работа трения.

Если в условии дан график зависимости силы от координаты, работа равна площади под графиком; участок под осью даёт отрицательную работу. Приём тот же, что и для графика скорости в кинематике, и стоит это связывать, чтобы не учить дважды.

Теорема или закон сохранения: что брать первым

В школе обычно идут от закона сохранения механической энергии, а теорему об изменении кинетической энергии подают позже и как следствие. Я бы переставил порядок. Теорема (работа всех сил равна изменению кинетической энергии) работает всегда, в том числе при трении, и не требует вопроса «а замкнута ли система». Закон сохранения механической энергии — её частный случай, когда все силы, кроме потенциальных, работы не совершают. Ученик, который начинает с теоремы, не может забыть про трение: оно попадает в левую часть автоматически, как любая другая сила.

Но у обратного порядка есть сильный довод: в задачах, где энергия прямо переходит из одного вида в другой (скатывание, колебания груза на пружине), закон сохранения даёт ответ в одну строку, и перегружать его работой всех сил незачем. Поэтому держите в голове оба инструмента и выбирайте тот, у которого в условии меньше слагаемых.

Две ловушки не зависят от выбора. Потенциальная энергия поднятого тела mgh отсчитывается от нулевого уровня, который выбирают сами, и ответ от этого не зависит, но уровень должен быть один на всю задачу: если в начальном состоянии высота отсчитана от стола, а в конечном от пола, равенство теряет смысл. И энергия пружины kx²/2: x — деформация, то есть удлинение или сжатие относительно недеформированной пружины, а вовсе не её длина. Когда в условии дана длина растянутой пружины и длина в свободном состоянии, x находят вычитанием, и забывают это делать чаще, чем можно подумать.

Пример с пружиной показывает, как легко ошибиться на порядок. Пружина жёсткостью 200 Н/м в свободном состоянии имеет длину 20 см, растянута до 24 см. Деформация x = 0,04 м, энергия 200 · 0,04² / 2 = 0,16 Дж. Тот, кто подставил длину 0,24 м, получает 5,76 Дж, то есть в тридцать шесть раз больше, и этот результат выглядит достаточно солидно, чтобы его не перепроверять.

Отдельный случай — столкновения. При неупругом ударе механическая энергия не сохраняется, часть уходит на нагревание и деформацию, и сохраняется только импульс; так что для слипшихся тел закон сохранения энергии неприменим, а неупругому удару посвящена статья об импульсе.

Мощность и КПД: единицы и дроби

Мощность — работа за единицу времени, и вторая формула, P = F · v, верна, когда сила сонаправлена со скоростью и скорость постоянна. Если скорость меняется, это мгновенная мощность, а средняя — работа, делённая на время.

Подъёмник поднимает груз 200 кг на 12 м за 30 с, КПД установки 80%. Полезная работа 200 · 10 · 12 = 24 000 Дж, полезная мощность 24 000 / 30 = 800 Вт. Потребляемая мощность больше: 800 / 0,8 = 1000 Вт. Ошибка, которую делают чаще всего, состоит в умножении на 0,8: получается 640 Вт, и этот результат противоречит смыслу задачи, ведь установка не может потреблять меньше, чем отдаёт. Проверка в один взгляд: КПД меньше единицы, поэтому потреблённое всегда больше полезного.

Автомобиль едет равномерно со скоростью 72 км/ч, сила сопротивления 500 Н. Мощность двигателя при постоянной скорости равна F · v, и v нужна в метрах в секунду: 72 / 3,6 = 20 м/с, откуда P = 500 · 20 = 10 000 Вт. Подстановка 72 прямо из условия даёт 36 000, и это в 3,6 раза больше. Перевод километров в час в метры в секунду делают первой строкой решения, до всех формул, чтобы он не потерялся в середине выкладок.

С единицами тоже есть ловушки. Мощность в ваттах, но на счётчиках стоят киловатт-часы: это единица энергии, а не мощности, и 1 кВт·ч равен 3,6 мегаджоуля. КПД в формуле берут в долях единицы, а в условии он обычно дан в процентах: 80% подставляют как 0,8. Значение КПД выше единицы (или 100%) означает ошибку в вычислении.

Седьмой класс, десятый класс и возврат к теме

Работу и мощность проходят в седьмом классе, и для выпускника 2027 года это 2022/23 учебный год, то есть четыре года назад, без векторов и без косинуса, на простых механизмах и КПД. Закон сохранения энергии с формулами приходит по большинству линеек в девятом и десятом классах. Забывается тема плохо, зато искажается: то, что в седьмом классе было правдой для горизонтальной силы вдоль пути, к десятому нужно переучить на силу под углом, и часть учеников остаётся с прежним представлением.

Главная особенность темы в том, что энергия присутствует почти везде. Первый закон термодинамики из статьи про термодинамику — закон сохранения энергии с теплотой, работа поля в электростатике — та же работа, только силы электрические, энергия колебаний груза на пружине и уравнение фотоэффекта — те же сохранения. Поэтому провал здесь отзывается в нескольких разделах. Как связаны разделы между собой, показывает обзор разделов школьной физики. Раньше всего эта тема встречается в связке со статикой: золотое правило механики объясняет, почему рычаг не выигрывает в работе, и это разобрано в статье про статику.

Если не идёт совсем, начинайте с одной задачи, но проговорённой до конца. Выберите задачу вроде бруска на плоскости, выпишите две точки (начало и конец), энергию тела в каждой, работу сил, которые не потенциальны, и только затем собирайте уравнение. Два вопроса, «что было» и «что ушло», полезно держать на полях. После двух-трёх таких разборов переходите к задачам с пружиной, затем к ударам, где энергия уже не сохраняется, а импульс сохраняется. Если и пружина не идёт, вернитесь на шаг: брусок на горизонтальной плоскости с трением, без наклона, где реакция опоры равна mg и ошибиться в ней нельзя. Какие места работы чаще всего приходятся на энергию, видно в структуре ЕГЭ по физике, а как записывается развёрнутое решение, — в статье о второй части.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• репетиторы по физике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по физике для 5–8 класса

Вопросы и ответы

Энергия сохраняется всегда? Полная энергия сохраняется всегда, механическая — только если нет трения и других непотенциальных сил, совершающих работу.

Почему работа силы трения зависит от пути, а работа тяжести нет? Работа тяжести определяется начальной и конечной высотой. Трение направлено против движения на каждом участке, и каждый участок пути даёт отрицательный вклад, поэтому чем длиннее путь, тем больше работа. Из-за этого по замкнутому маршруту сила тяжести работы не совершает, зато трение совершает.

Как проверить ответ в задаче на энергию без повторного решения? Подставить найденную скорость в конечное состояние и убедиться, что сумма всех энергий и работ сходится: начальная энергия минус работа трения даёт конечную. Другая проверка — размерность и порядок величины.

Нулевой уровень потенциальной энергии в условии не указан. Что делать? Выбрать самому и написать это словами в начале решения: «за нулевой уровень принимаем поверхность стола». Любой уровень даст верный ответ, если он один на всю задачу. Обычно удобнее взять самую нижнюю точку траектории, тогда в конечном состоянии потенциальная энергия обращается в нуль, и в уравнении на одно слагаемое меньше.

Нужно ли учить формулы для работы в разных видах? Достаточно основной, A = F·s·cos α. Остальные выражаются из неё и выводятся за минуту.