Пропорции и отношения

Пропорции проходят в шестом классе, и после этого разговор о них как будто заканчивается: дальше они прячутся внутри процентов, масштаба карты, скорости, подобия треугольников, концентрации растворов. Поэтому когда в девятом классе ребёнок «не понимает проценты», на деле он нередко не понимает пропорцию, и лечить надо её; о том, какие ещё темы западают, рассказывает обзор тем, на которых школьники срываются чаще всего. Эта статья про отношения и пропорции в том виде, в каком они нужны дальше: как записать условие, как решить с правилом креста и без него, как отличить прямую зависимость от обратной и в каких местах ответ теряется чаще всего. Каждый пример доведён до числа и проверен подстановкой в условие; проверку полезно повторить самому, карандашом.

Что показывает отношение

Отношение двух чисел — это их частное. Запись 3 : 5 и дробь 3/5 означают одно и то же: какую долю от второго числа составляет первое. Для 3 : 5 эта доля равна 0,6, и отношение 6 : 10 даёт те же 0,6, значит, это то же отношение. Отсюда основное свойство: обе части отношения можно умножить или разделить на одно и то же число, и отношение не изменится. Условие у этого свойства одно, зато обязательное: множитель не должен быть нулём (умножив обе части на нуль, получим 0 : 0, а такого отношения нет). Вторая часть отношения тоже не может быть нулём, потому что на нуль делить нельзя; отношения 7 к 0 не существует.

Порядок частей важен: 3 к 5 равно 0,6, а 5 к 3 — это уже 5/3, то есть одна целая две трети. Если в условии сказано «отношение мальчиков к девочкам», мальчики стоят первыми, и перепутанный порядок даёт ответ про какой-то другой класс.

Величины сравниваются только в одинаковых единицах. 40 минут и 2 часа — это 40 : 120, то есть 1 : 3. Если поделить 40 на 2, выйдет 20, и это число ничего не значит. Единицы при делении сокращаются, поэтому у самого отношения единиц нет.

Бывает и так, что отношений два, и общая часть у них разная. Пусть a : b = 2 : 3, а b : c = 4 : 5; чему равно a : b : c? Число b стоит в первом отношении как 3, во втором как 4, и сравнивать так нельзя. Приводим к общему: первое отношение умножаем на 4 (получается 8 : 12), второе на 3 (получается 12 : 15), и теперь b везде равно 12. Значит, a : b : c = 8 : 12 : 15. Проверка: 8 : 12 действительно равно 2 : 3, а 12 : 15 равно 4 : 5. Выглядит как школьная головоломка, но та же техника нужна для сплавов и смесей из нескольких компонентов.

Пропорция и правило креста

Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d, или, что то же самое, a/b = c/d. Числа b и d не равны нулю. Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, ad = bc. Откуда оно берётся? Умножьте обе части равенства a/b = c/d на произведение bd: слева сократится b, справа d, и останется ad = cb. Если знать, откуда правило, оно не забывается; выученное как заклинание, оно путается с другими «крестами», которых в школе несколько.

Пример. За 12 одинаковых карандашей заплатили 180 рублей; сколько стоят 20 таких же? Пишем: 12 карандашей относятся к 180 рублям так, как 20 карандашей к x рублям, то есть 12/180 = 20/x. Умножаем крест-накрест: 12x = 180 × 20 = 3600, откуда x = 300. Проверка: один карандаш стоит 180 : 12 = 15 рублей, двадцать стоят 15 × 20 = 300. Совпало.

Неизвестное бывает и в числителе: x/12 = 5/8, тогда 8x = 12 × 5 = 60 и x = 7,5. Подстановка: 7,5/12 = 0,625 и 5/8 = 0,625.

В числителе или знаменателе может стоять и целое выражение. Решим (x + 3)/4 = 9/6: умножаем крест-накрест, 6(x + 3) = 4 × 9 = 36, значит, x + 3 = 6 и x = 3. Подстановка: 6/4 = 1,5 и 9/6 = 1,5. Если неизвестное стоит внизу, как в 5/(x − 2) = 10/8, к решению добавляется условие: знаменатель не равен нулю, то есть x не равно 2. Дальше 10(x − 2) = 5 × 8 = 40, откуда x − 2 = 4 и x = 6; число 6 условию не противоречит, и подстановка сходится: 5/4 = 1,25 и 10/8 = 1,25. Если бы в ответе получилось число, обращающее знаменатель в нуль, его пришлось бы отбросить.

Теперь условие, которое теряют чаще остальных. Правило креста работает, только когда по обе стороны знака равенства стоит ровно по одной дроби. В уравнении x/3 + 1 = 5/6 слева сумма, и крестом его не решить: сначала переносим единицу, получаем x/3 = 5/6 − 1 = −1/6, откуда x = −1/2. Подстановка: −1/6 + 1 = 5/6, верно. Ответ вышел отрицательным, и это нормально; действия с такими числами разобраны в статье Отрицательные числа и действия с ними.

Прямая и обратная зависимость

Если одна величина выросла вдвое и вторая выросла вдвое, это прямая пропорциональность: постоянно их отношение. 3 кг яблок стоят 270 рублей, сколько стоят 5 кг? Постоянная величина здесь цена килограмма, 270 : 3 = 90 рублей, значит, 5 кг стоят 90 × 5 = 450 рублей. Проверка: 450 : 5 = 90.

Если одна величина выросла вдвое, а вторая уменьшилась вдвое, это обратная пропорциональность: постоянно их произведение. Шестеро рабочих выполняют заказ за 10 дней; за сколько дней его выполнят четверо, если все работают с одинаковой скоростью? Постоянна работа, измеренная в человеко-днях: 6 × 10 = 60. Четверо потратят 60 : 4 = 15 дней. Проверка: 4 × 15 = 60.

Такие задачи я решаю через постоянное произведение, а не через пропорцию с перевёрнутыми дробями: перевернуть не ту дробь слишком просто. Ошибка, при которой прямую пропорцию применяют к обратной зависимости, видна по здравому смыслу: уравнение 6/4 = 10/x даёт x = 6⅔ дня, то есть четверо рабочих справились бы быстрее шестерых. Такой ответ отбрасывается сразу, считать дальше незачем.

Не всё пропорционально. Такси берёт 100 рублей за подачу и 20 рублей за километр: пять километров стоят 100 + 20 × 5 = 200 рублей, десять — 100 + 20 × 10 = 300. Вдвое длиннее путь, а дороже не вдвое. Быстрая проверка простая: при пропорциональности нулю одной величины соответствует нуль другой. Обратное неверно (у квадрата числа нуль тоже идёт в нуль, а пропорциональности нет), поэтому проверка работает только в одну сторону: нуля нет, значит, пропорции нет. Здесь за нулевой путь всё равно пришлось бы заплатить сто рублей, и пропорцию в такой задаче писать нельзя.

Деление в данном отношении и масштаб

Задача «разделить 750 рублей между двумя людьми в отношении 2 : 3» решается за три действия. Всего 2 + 3 = 5 частей, одна часть — 750 : 5 = 150 рублей, значит, первому достанется 300, второму 450. Проверка: 300 + 450 = 750 и 300 : 450 = 2 : 3. Заодно видно, что первый получил 2/5 суммы: доля от целого считается по сумме частей, и две трети здесь ни при чём.

Частей может быть больше двух. Сплав массой 600 граммов делят на три компонента в отношении 2 : 3 : 5. Всего 2 + 3 + 5 = 10 частей, на одну часть приходится 600 : 10 = 60 граммов, и тогда 120, 180 и 300 граммов. Проверка: 120 + 180 + 300 = 600, а 120 : 180 : 300 после деления на 60 снова даёт 2 : 3 : 5.

Масштаб карты — тоже отношение. Масштаб 1 : 50 000 означает, что один сантиметр на карте — это 50 000 сантиметров на местности, то есть 500 метров. Отрезок в 4 см на карте — это 4 × 500 = 2000 метров, 2 километра. В обратную сторону: 7,5 км — это 750 000 см, делим на 50 000 и получаем 15 см на карте. Проверка: 15 × 50 000 = 750 000 см = 7,5 км.

Третий пример для деления в отношении: краски белой и синей берут в отношении 3 : 2, и нужно 20 литров смеси. Частей 3 + 2 = 5, одна часть 20 : 5 = 4 литра, значит, белой 12 литров, синей 8. Проверка: 12 + 8 = 20, 12 : 8 = 3 : 2.

Любой ответ на пропорцию подставляется обратно: обе дроби должны оказаться равными числами. У обратной зависимости сверьте ещё и направление: исполнителей стало меньше, значит, времени должно стать больше.

Где ошибаются и как себя проверить

Самая частая ошибка — перепутать «в три раза больше» и «на три больше». Если у Пети 12 наклеек, то у Маши «в три раза больше» — это 36, а «на 3 больше» — это 15. Первое задаётся отношением 3 : 1, второе разностью.

Вторая ошибка: отношение мальчиков к девочкам 2 : 3 не означает, что мальчики составляют две трети класса. В классе из 30 человек это 12 мальчиков и 18 девочек. Проверяем: 12 : 18 = 2 : 3, а доля мальчиков 12/30 = 2/5.

Дальше пропорциями пользуются везде. В задачах на проценты целое — это 100 процентов, часть — x процентов, и это готовая пропорция; она же стоит внутри задач на смеси и подобия треугольников. Отдельного задания «решите пропорцию» профильный экзамен не содержит, но внутри многих задач она есть, и какие именно это задачи, видно по разбору структуры экзамена.

Проверьте себя. У Пети 12 наклеек; у Маши в полтора раза больше, а у Васи на 5 больше, чем у Пети. Сколько наклеек у Маши и сколько у Васи? Ответ: 18 и 17. Если вышло одно и то же число, вы прочитали оба оборота как один, и пора вернуться к началу раздела.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 5–8 класса
• репетиторы по школьной программе

Вопросы и ответы

Можно ли решать пропорцию без правила креста? Можно, и иногда это короче. В равенстве 12/180 = 20/x заметьте, что 12 превратилось в 20 умножением на 20/12, значит, и 180 надо умножить на то же: 180 × 20/12 = 300. Или найдите значение единицы, как с ценой карандаша, и умножьте.

Нужно ли учить пропорции отдельно от процентов? Да, и раньше. Проценты — частный случай пропорции с известным целым, и ученик, который решает их по трём заученным правилам, ломается на первой же нестандартной формулировке. Как пропорции работают внутри первой части экзамена, разобрано в статье про её закрытие.

Чем отношение отличается от дроби? По значению ничем: 3 : 5 и 3/5 равны. Разница в смысле: дробь чаще означает часть целого, а отношение может сравнивать две отдельные величины, скажем, пройденный путь и потраченное время, которые никакого целого не составляют.

В ответе вышло 7,5 человека. Это ошибка? Для килограммов муки это нормальный ответ, для людей нет: бригада не бывает дробной. Значит, либо в условии подразумевалось округление (скажем, вверх, до восьми человек, чтобы успеть), либо ошибка в записи зависимости. Вернитесь к вопросу задачи и спросите себя, какое число там вообще допустимо.