Случайные величины в школьном курсе

Вероятность отвечает на вопрос «случится или нет». Случайная величина отвечает на другой: «сколько получится». Выпадет ли орёл — событие; сколько орлов выпадет при трёх бросках — величина. Переход от первого ко второму даётся труднее, чем кажется, потому что считать приходится сразу все исходы и приписывать каждому вес.

Эта статья про четыре вещи: ряд распределения, математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Про саму вероятность, подсчёт исходов и правила сложения и умножения написано отдельно — в статье про теорию вероятностей в школьном курсе, и дальше предполагается, что вероятность одного исхода вы находить умеете.

От события к величине

Случайной величиной называют число, значение которого определяется исходом опыта: число очков на кубике, число орлов при нескольких бросках монеты, время ожидания автобуса. Она принимает значения, и у каждого значения есть своя вероятность.

Разница с событием видна на кубике. Событие «выпало чётное» имеет вероятность одна вторая, и это одно число. Величина «число очков» имеет шесть значений, у каждого вероятность одна шестая, и описать её одним числом нельзя — нужен весь набор. Зато потом из этого набора получаются числа, которые событие дать не может: среднее по многим броскам и мера того, насколько сильно результат гуляет.

Второе, что стоит заметить сразу: величина не обязана быть числом из условия. Если за каждый орёл дают два рубля, а за решку забирают рубль, выигрыш — тоже случайная величина, и считают её так же. Школьные задания чаще про очки и орлы, но сама конструкция шире, и дальше она пригодится в статистике.

Ряд распределения

Если перечислить значения и их вероятности, получится ряд распределения. Правило у него одно: вероятности в сумме дают единицу.

Пусть величина принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 0,3, 0,5 и 0,2. Проверка: 0,3 плюс 0,5 плюс 0,2 равно 1. Если в условии одна из вероятностей не указана, она находится вычитанием: значения 0 и 1 имеют вероятности 0,2 и 0,5, а у значения 2 вероятность неизвестна, значит, она равна 1 минус 0,7, то есть 0,3. Такое условие решается за минуту, и вычитание из единицы бывает в нём единственным действием.

Знакомый всем источник ряда — монета. Число орлов при двух бросках принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 0,25, 0,5 и 0,25: исходов четыре, орёл с решкой выпадают двумя способами, остальные по одному. Перечислять исходы вы уже умеете, а ряд распределения просто записывает результат.

Полезная привычка — начинать решение с проверки суммы, даже когда ряд дан готовым. В условии бывает опечатка, а бывает и ваша собственная ошибка при выписывании; и то и другое видно за десять секунд.

Математическое ожидание

Математическое ожидание, или среднее значение, считается как сумма произведений значений на их вероятности. Для ряда 0, 1, 2 с вероятностями 0,3, 0,5 и 0,2 получаем 0 на 0,3 плюс 1 на 0,5 плюс 2 на 0,2, то есть 0,9. Смысл числа простой: если опыт повторить очень много раз, среднее по всем повторениям будет близко к 0,9. Само значение 0,9 величина не принимает, и это нормально. Для двух монет математическое ожидание числа орлов равно 1, и всем понятно, откуда оно берётся.

Проверить расчёт можно руками. Бросьте две монеты сорок раз подряд, посчитайте орлы в каждой паре бросков и найдите среднее: оно окажется около 1. Ровно 1 не получится, и это тоже нормально, потому что ожидание описывает поведение при очень большом числе повторений. Опыт заодно объясняет, почему оно не обязано быть значением, которое величина может принять, и почему называется «ожиданием», а не «наиболее вероятным значением». Самое вероятное число орлов при двух бросках — 1, но у других величин эти два числа расходятся. У кубика ожидание 3,5, а такого значения на гранях нет вовсе.

Полезное свойство: если умножить величину на число и прибавить число, ожидание преобразуется так же. Для величины Y, равной удвоенной X плюс 1, ожидание равно 2 на 0,9 плюс 1, то есть 2,8. Пересчитывать ряд заново не нужно. Свойство стоит помнить, и выигрыш тут не столько во времени: при пересчёте ряда заново легко потерять слагаемое.

Дисперсия и отклонение

Дисперсия показывает, насколько значения разбросаны вокруг среднего. Считать её удобнее всего так: найти среднее значение квадрата величины и вычесть квадрат среднего. Для того же ряда среднее значение квадрата равно 0 на 0,3 плюс 1 на 0,5 плюс 4 на 0,2, то есть 1,3. Квадрат ожидания 0,81. Разность, дисперсия, равна 0,49. Стандартное отклонение — корень из дисперсии, то есть 0,7. Числа здесь подобраны так, чтобы корень получился конечной дробью. Так бывает не всегда: у трёх монет ниже дисперсия 0,75, и отклонение из неё целым уже не выходит.

Другой пример: величина принимает значения 1 и 5 с вероятностями по 0,5. Среднее 3, среднее значение квадрата — сумма 1 и 25 пополам, то есть 13, дисперсия 13 минус 9, равная 4, стандартное отклонение 2. Видно, что значения отстоят от среднего ровно на 2 в обе стороны, и это отклонение сразу даёт ответ. На таком проверочном случае удобно сверять себя: формула обязана дать те же 2, и если вышло другое число, ищите арифметику.

Разберём ещё одну величину, на этот раз из трёх монет. Число орлов принимает значения 0, 1, 2 и 3 с вероятностями 0,125, 0,375, 0,375 и 0,125. Среднее равно 1,5. Среднее значение квадрата: 0 плюс 0,375 плюс 1,5 плюс 1,125, то есть 3. Дисперсия 3 минус 2,25, и получается 0,75. Для проверки сгодится правило: ожидание лежит между наименьшим и наибольшим значением, дисперсия отрицательной не бывает и равна нулю лишь у величины, которая не меняется вовсе.

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, а дисперсия в их квадрате. Если величина — время в минутах, отклонение выражается в минутах, дисперсия в квадратных минутах, и в условии нужно прочитать, что именно спрашивают. Дисперсия 0,49 и отклонение 0,7 — два разных ответа на два разных вопроса, и перепутать их проще, чем кажется.

Масштабирование для дисперсии работает иначе, чем для ожидания. Прибавление числа к величине дисперсию не меняет, потому что разброс остаётся тем же: весь набор значений сдвигается целиком. Умножение на число увеличивает дисперсию в квадрат этого числа. Для удвоенной X плюс 1 дисперсия равна 4 на 0,49, то есть 1,96, а отклонение 1,4. Типичная ошибка тут одна: умножить дисперсию на 2 вместо 4. Стандартное отклонение при этом умножается именно на 2, и из-за этого две величины путают особенно часто.

Где теряют на ровном месте

Ошибки в этой теме почти никогда не связаны с непониманием смысла. Вот те, что встречаются чаще других:

• вероятности в ряду не проверены на сумму, и дальше считается уже не та величина;
• ожидание перепутано с самым вероятным значением: это разные числа, и совпадают они редко;
• в дисперсии взят квадрат среднего вместо среднего квадратов — порядок действий здесь решает всё;
• дисперсия записана там, где спрашивали отклонение, или наоборот;
• при преобразовании величины дисперсия умножена на коэффициент, а не на его квадрат;
• ответ округлён раньше времени: промежуточные 0,81 и 1,3 округлять нельзя, иначе разность уедет.

Отдельно стоит сказать про запись. Когда ряд выписан столбиком, а не в строку, ошибок в умножении заметно меньше: значение и вероятность стоят рядом, и ни одно слагаемое не теряется. Столбик не даёт потерять член суммы, и на длинном ряде это заметно.

Как проверять себя

У темы есть приятное свойство: почти каждый ответ можно проверить, не решая задачу заново.

Ожидание обязано лежать между наименьшим и наибольшим значением величины. Если ряд из значений 0, 1 и 2 дал ожидание 2,4, считать дальше незачем. Дисперсия не бывает отрицательной, и если она вышла со знаком минус, где-то переставлены средний квадрат и квадрат среднего. Отклонение не бывает больше разброса значений: для величины со значениями от 1 до 5 оно не может оказаться равным 7.

Хорошо работает и прикидка. Если вероятности почти поровну распределены между двумя далёкими значениями, разброс велик и отклонение близко к половине расстояния между ними. Если вся вероятность собрана около одного значения, отклонение мало. Прикидка не заменяет счёт, но ловит грубую ошибку раньше, чем вы допишете решение.

Последнее про тренировку. По-моему, прорешивать такие задачи десятками смысла мало: отличаются они обычно только рядом распределения, и рука набивается быстро. Полезнее взять один ряд и прогнать по нему всё — сумму вероятностей, ожидание, средний квадрат, дисперсию, отклонение, а потом те же четыре числа для удвоенной величины. Полчаса такой работы заменяют вечер однотипных заданий, и заодно видно, какое из действий сбивается. Тема эта западает от редкого повторения, а не от сложности; про остальные такие же — в обзоре тем школьной математики, которые западают чаще всего.

Разбор чужого решения здесь обманчив: формулы короткие, и чтение создаёт ощущение, что всё понятно. Надёжнее закрыть разбор и посчитать тот же ряд самому — подробнее об этом в статье как разбирать чужое решение.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 10–11 класса
• репетиторы с пробным занятием

Вопросы и ответы

Чем ожидание отличается от среднего арифметического значений?

Среднее арифметическое считает все значения равноправными, ожидание взвешивает их вероятностями. Для кубика они совпадут, потому что грани равновероятны: и то и другое даст 3,5. Для ряда 0, 1, 2 с вероятностями 0,3, 0,5 и 0,2 среднее арифметическое значений равно 1, а ожидание 0,9. Разница появляется всюду, где вероятности неодинаковы, и чем сильнее перекос, тем она заметнее: если почти вся вероятность собрана у одного значения, ожидание подтягивается к нему, а среднее арифметическое остаётся посередине набора и о величине не говорит ничего.

Зачем нужна дисперсия, если есть отклонение?

Отклонение удобнее читать, оно в тех же единицах, что величина. Дисперсия удобнее считать: у неё простое поведение при сложении независимых величин и при умножении на число. Подменять одно другим нельзя: это два разных числа и два разных ответа.

Может ли дисперсия быть равна нулю?

Только у величины с единственным значением. В задаче нулевой ответ — повод перепроверить ряд.

Нужно ли заучивать формулу дисперсии через отклонения от среднего?

Знать её полезно, она объясняет смысл: это среднее значение квадрата отклонения от ожидания. Но считать по ней дольше, и в вычислениях чаще ошибаются. Способ со средним квадратом даёт тот же ответ короче, и на проверочных примерах из этой статьи легко убедиться, что числа сходятся.