Теория вероятностей в школьном курсе

Вероятность — тема, где формул мало, а ошибок много, и причина всегда одна: условие применимости формулы потеряно по дороге. Складывать вероятности можно не всегда, умножать тоже, а слова «шансы пятьдесят на пятьдесят» подходят к монете и не подходят к вопросу, будет ли завтра дождь. Ниже разобрано всё, что входит в школьный курс (какое место тема занимает в экзамене, видно по разбору его структуры): определение, подсчёт исходов, противоположное событие, сложение и умножение, события без возвращения и немного о геометрической вероятности. Примеры сделаны так, чтобы ответ можно было проверить вторым способом, обычно перечислением. Если ответ получился красивым, это не доказательство: красивым бывает и неверный, поэтому проверка вторым способом обязательна.

Определение и его главное условие

Вероятность события — это число благоприятных исходов, делённое на число всех возможных, при условии, что все исходы равновозможны. Записывают P = m / n. Вероятность всегда лежит между 0 и 1: ноль у невозможного события, единица у достоверного.

Кубик, выпало чётное число. Исходов шесть (1, 2, 3, 4, 5, 6), благоприятных три (2, 4, 6), P = 3/6 = 1/2. В лотерее 20 билетов, из них 4 выигрышных; вероятность вытянуть выигрышный равна 4/20 = 1/5.

Теперь условие. Равновозможность — это не формальность, а то, на чём держится вся формула. Рассуждение «завтра дождь либо будет, либо нет, значит, вероятность 1/2» неверно: два исхода есть, но равновозможными их никто не объявлял, и дождь в июле и в апреле имеет разные вероятности. Для монеты и кубика равновозможность следует из того, что они правильные; в задачах её обычно прямо оговаривают словами «симметричная монета», «случайно».

Два кубика и монеты: как не проиграть на подсчёте

Самая частая ошибка в простых задачах — неверное число исходов. Бросили два кубика, какова вероятность того, что сумма очков равна 8? Всего исходов 6 × 6 = 36, потому что на каждую из шести граней первого приходится шесть граней второго. Различайте кубики, представьте один красным и другой синим. Благоприятные пары: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), пять пар. P = 5/36. Соблазн сказать «сумм всего одиннадцать, от 2 до 12, значит, 1/11» не выдерживает проверки: суммы между собой не равновозможны. Сумма 7 получается шестью парами, P = 6/36 = 1/6, а сумма 12 одной парой (6, 6), P = 1/36.

То же с монетами. Бросили две монеты, какова вероятность выпадения ровно одного орла? Исходы ОО, ОР, РО, РР, их четыре, и орёл ровно один в двух из них, значит, P = 2/4 = 1/2. Те, кто пишет «исходов три: два орла, один орёл, ноль», получают 1/3 и ошибаются: «один орёл» объединяет два разных исхода (ОР и РО), а «два орла» один.

Три монеты и ровно два орла: исходы ООР, ОРО, РОО, три из восьми, P = 3/8. Восемь получается как 2 × 2 × 2, и счёт подтверждается, если выписать все восемь троек.

Ещё одна задача на два кубика: сумма очков меньше пяти. Подходят суммы 2, 3 и 4: пара (1, 1) даёт 2, пары (1, 2) и (2, 1) дают 3, пары (1, 3), (3, 1) и (2, 2) дают 4. Всего шесть пар из 36, P = 6/36 = 1/6. Обратите внимание, что (1, 2) и (2, 1) записаны как разные исходы, и если слить их в один, ответ выйдет другим и неверным.

Противоположное событие и «хотя бы один»

Если событие A имеет вероятность P(A), то вероятность того, что оно не произойдёт, равна 1 − P(A). Вероятность того, что ручка из партии пишет плохо, равна 0,19; значит, вероятность того, что она пишет хорошо, 1 − 0,19 = 0,81.

Ценность этого правила в задачах со словами «хотя бы один»: прямой подсчёт распадается на много случаев, а противоположное событие «ни одного» одно. Монету бросают три раза, какова вероятность хотя бы одного орла? Противоположное событие — три решки подряд, его вероятность 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, значит, ответ 1 − 1/8 = 7/8. Проверка перечислением: из восьми троек только РРР не содержит орла, остальные семь содержат.

Два кубика и хотя бы одна шестёрка. Противоположное: шестёрки нет ни на одном, 5 × 5 = 25 пар из 36, P = 25/36. Ответ: 1 − 25/36 = 11/36. Проверка: пар, где на первом кубике шесть, шесть; пар, где шесть на втором, тоже шесть; пара (6, 6) посчитана дважды, значит, 6 + 6 − 1 = 11 пар, и 11/36 подтверждается.

Монета может быть и неправильной: орёл выпадает с вероятностью 0,6, решка с вероятностью 0,4. Классическая формула тут не работает, исходы не равновозможны, зато противоположное событие работает по-прежнему. Хотя бы один орёл за два броска: решки два раза подряд 0,4 × 0,4 = 0,16, значит, ответ 1 − 0,16 = 0,84. Проверка: два орла 0,6 × 0,6 = 0,36, орёл и решка в любом порядке 2 × 0,6 × 0,4 = 0,48, и 0,36 + 0,48 = 0,84.

Условие здесь простое: «ни одного» должно быть именно противоположно «хотя бы одному», других промежуточных случаев быть не может.

Сложение и умножение: условия, которые теряют

Для несовместных событий, то есть таких, которые не могут произойти одновременно, вероятности складываются: P(A или B) = P(A) + P(B). На кубике выпало 5 или 6: 1/6 + 1/6 = 1/3. Если события могут произойти вместе, формула другая: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). Чётное число или число больше трёх: чётных 3/6, больших трёх тоже 3/6, а выпавшие 4 и 6 подходят под оба условия, их 2/6. Ответ 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3. Если бы мы просто сложили, получилась бы единица, то есть достоверное событие, а на деле при выпадении 1 или 3 не выполнено ни одно из двух условий. Проверка перечислением: подходят 2, 4, 5, 6, четыре исхода из шести.

Для независимых событий, то есть таких, когда исход одного не влияет на другое, вероятности перемножаются: P(A и B) = P(A) × P(B). Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8 при каждом выстреле. Вероятность попасть два раза подряд 0,8 × 0,8 = 0,64. Ровно один раз: сначала попал, потом промахнулся, 0,8 × 0,2 = 0,16, или наоборот, ещё 0,16, вместе 0,32. Хотя бы один раз: противоположное событие, два промаха, 0,2 × 0,2 = 0,04, значит, 1 − 0,04 = 0,96. Проверка: 0,64 + 0,32 = 0,96, все три случая сошлись между собой.

Спрашивая «независимы ли события», задавайте один вопрос: изменится ли вероятность второго, если известен исход первого? Для двух выстрелов не изменится, для двух шаров, вынутых подряд из коробки без возвращения, изменится.

Без возвращения, по площади и в долгой серии

В коробке 10 шаров, из них 4 красных и 6 синих. Вынимают два шара подряд, не возвращая первый. Вероятность того, что оба красные, равна 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15. Во втором множителе стоит 3/9, потому что красных осталось три, а шаров девять; перемножать 4/10 на 4/10 было бы ошибкой. Другой способ: из 10 шаров можно выбрать 45 пар, красных пар среди них 6, и 6/45 = 2/15.

Ещё пример, где складываются оба правила. В классе 25 человек, из них 15 девочек и 10 мальчиков. Для дежурства случайно выбирают двоих. Вероятность того, что обе девочки: 15/25 × 14/24 = 3/5 × 7/12 = 21/60 = 7/20. Вероятность того, что среди дежурных есть хотя бы одна девочка, проще найти через противоположное событие, «оба мальчика»: 10/25 × 9/24 = 2/5 × 3/8 = 6/40 = 3/20, значит, ответ 1 − 3/20 = 17/20. Проверка через пары: из 25 человек можно составить 300 пар, пар из девочек 105, пар из мальчиков 45, и 105/300 = 7/20, 45/300 = 3/20 совпадают с найденным.

Когда исходов бесконечно много, считать их нельзя, но идея остаётся прежней. Мишень — круг радиусом 10 сантиметров, красный центр — круг радиусом 5. Точка попадает наугад, вероятность попасть в красное равна отношению площадей: 25π / 100π = 1/4. Здесь «наугад» означает, что все места мишени равновозможны. Площади и объёмы разобраны в статье Объёмы и площади поверхностей тел.

Теперь о том, чего вероятность не обещает. Пять орлов подряд не увеличивают шанс решки в шестом броске: монета не помнит, и вероятность решки по-прежнему 1/2. Частота тоже не равна вероятности: из десяти бросков орёл может выпасть семь раз, и это не опровергает значения 1/2. Частота приближается к вероятности, когда испытаний очень много, а в каждом отдельном испытании ничего не гарантирует.

Экзамен и тренировка

Вероятность входит в экзамен девятиклассников и в первую часть профильного ЕГЭ. Из всей первой части это самая выгодная тема по затратам: формул мало, а ответ проверяется перечислением, поэтому пропускать её обидно. Общий подход к первой части описан в статье про её закрытие. Привычка расписывать условие до счёта общая с текстовыми задачами, о которых отдельная статья. Следующий шаг после вероятности одного события — случайные величины: ряд распределения, ожидание и разброс.

Родителю, который хочет помочь и сам формул не помнит, достаточно двух вопросов: какие у тебя исходы и все ли они равновозможны? Ответить на них ребёнок может без единой формулы, и обычно после этого он сам находит, где сбился: либо не все исходы выписал, либо два разных исхода слил в один.

Записывать решение лучше в три строки: что считаем событием, чему равно число всех исходов, чему число благоприятных. Если в такой записи есть слово «или», проверьте, не пересекаются ли события; если есть слово «и», проверьте, не зависят ли они друг от друга. Эти два вопроса к собственной записи ловят большую часть неверных ответов, и задаются они до того, как найдено первое число. Ответ записывайте в том виде, в каком его просит условие, дробью или десятичной записью.

Проверьте себя: в мешке 3 красных и 2 синих шара, вынимают два подряд без возвращения. Какова вероятность, что шары разного цвета? Первый красный, второй синий: 3/5 × 2/4 = 3/10; первый синий, второй красный: 2/5 × 3/4 = 3/10; вместе 3/5. Проверка через пары: из 10 пар разноцветных 3 × 2 = 6, и 6/10 = 3/5.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для ОГЭ
• репетиторы по школьной программе

Вопросы и ответы

Можно ли решать вероятность без формул, одним перечислением? Для небольшого числа исходов можно и нужно: выписанные тройки монет надёжнее любой формулы. Когда исходов десятки, подходят умножение и противоположное событие.

Почему вероятность не бывает больше единицы? Благоприятных исходов не может быть больше, чем всех возможных, поэтому дробь m/n не превышает единицу. Если в ответе вышло, например, 1,2, в первую очередь ищите ошибку в сложении пересекающихся событий.

С чего начать, если тема совсем не понятна? С монеты и кубика: выпишите все исходы и посчитайте благоприятные на пальцах. Потом переходите к двум кубикам и к противоположному событию, а до зависимых событий дойдёте в последнюю очередь. Если мешают дроби, загляните в перечень тем, на которых чаще всего ошибаются.