Арифметическая и геометрическая прогрессии

Прогрессия — это ряд чисел, в котором каждое следующее получается из предыдущего одним и тем же действием. Если каждый раз прибавляют одно число, прогрессия арифметическая. Если каждый раз умножают на одно число, геометрическая. Вся тема умещается в четыре формулы: n-й член и сумма для каждой из двух. Ошибки возникают не в формулах, а вокруг них: в числе шагов между членами, в условиях, при которых формула вообще работает, и в узнавании прогрессии в условии задачи, где слова «прогрессия» нет. В девятом классе прогрессии идут отдельной главой, на экзамене они возвращаются, а как устроена первая часть, объясняет отдельная статья о её закрытии. Начнём с арифметической: геометрическая устроена так же и отличается одним действием.

Арифметическая прогрессия: прибавляем одно и то же

Возьмём 7, 11, 15, 19, … Первый член a₁ = 7, разность d = 4. Разность может быть отрицательной (тогда ряд убывает) и даже нулевой (все члены одинаковы). Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Почему n − 1? Первый член стоит на месте, и чтобы дойти до десятого, нужно сделать девять шагов (десять шагов привели бы к одиннадцатому члену). Это самое частое место, где теряют число: считают a₁₀ = 7 + 10 × 4 = 47, а правильно a₁₀ = 7 + 9 × 4 = 43. Проверка перечислением: 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, десятое число в ряду именно 43.

Бывает, что заданы два члена. Пусть a₃ = 11 и a₈ = 31. От третьего места до восьмого пять шагов, прирост 31 − 11 = 20, значит, d = 20 : 5 = 4, и a₁ = 11 − 2 × 4 = 3. Проверка: ряд 3, 7, 11, …, a₈ = 3 + 7 × 4 = 31.

Полезное свойство: каждый член, кроме первого и (в конечной прогрессии) последнего, равен среднему арифметическому соседей, aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) : 2. Если числа 3, x, 11 образуют арифметическую прогрессию, то x = (3 + 11) : 2 = 7.

Сумма арифметической прогрессии

Сумма n первых членов считается формулой Sₙ = (a₁ + aₙ) × n : 2. Откуда она берётся: запишите ряд, а под ним тот же ряд в обратном порядке и сложите столбиками. В каждом столбце получится одно и то же число a₁ + aₙ (первый член с последним, второй с предпоследним и так далее), столбцов n, значит, удвоенная сумма равна (a₁ + aₙ) × n, и сама сумма вдвое меньше. Для ряда 1, 2, 3 столбцы дают 4, 4, 4, удвоенная сумма 12, сумма 6, и 1 + 2 + 3 действительно 6. Рассуждение не требует чётного n. Для 7, 11, …, 43 это (7 + 43) × 10 : 2 = 250. Проверка в лоб: 7 + 11 + 15 + 19 + 23 = 75, 27 + 31 + 35 + 39 + 43 = 175, и 75 + 175 = 250. Тем же приёмом сумма чисел от 1 до 100 равна (1 + 100) × 100 : 2 = 5050.

Если последний член неизвестен, подставьте его выражение: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) × n : 2.

Часто спрашивают обратное: сколько членов нужно взять, чтобы получить заданную сумму. Ряд 3, 7, 11, … Сколько членов дадут сумму 300? Здесь a₁ = 3, d = 4, Sₙ = (6 + 4(n − 1)) × n : 2 = (4n + 2) × n : 2 = n(2n + 1) = 2n² + n. Приравниваем: 2n² + n − 300 = 0, дискриминант 1 + 2400 = 2401 = 49², n = (−1 + 49) : 4 = 12 или n = (−1 − 49) : 4 = −12,5. Число членов натуральное, поэтому подходит только 12. Проверка: a₁₂ = 3 + 11 × 4 = 47, и (3 + 47) × 12 : 2 = 300.

Формула суммы — квадратный многочлен от n, и этим пользуются, когда нужно найти наибольшую сумму. Ряд 20, 17, 14, … убывает с разностью −3. Пока члены положительные, сумма растёт; член aₙ = 23 − 3n положителен при n ≤ 7 (a₇ = 2, a₈ = −1). S₇ = 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 77, а S₈ = 77 + (−1) = 76. Наибольшая сумма 77, достигается при семи членах. Тот же ответ даёт вершина параболы: Sₙ = n(43 − 3n) : 2, вершина в точке n = 43/6, это чуть больше семи, ближайшее целое 7. Как устроена парабола и где у неё вершина, подробно в статье Парабола: как построить и что по ней видно.

Геометрическая прогрессия: умножаем на одно и то же

Возьмём 3, 6, 12, 24, … Первый член b₁ = 3, знаменатель q = 2. Формула n-го члена: bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Шестой член: 3 × 2⁵ = 96. Проверка перечислением: 3, 6, 12, 24, 48, 96. Условие определения: b₁ и q не равны нулю, иначе после первого члена пошли бы одни нули и разговор о прогрессии теряет смысл.

Знаменатель может быть отрицательным, тогда знаки чередуются: 2, −6, 18, −54, … здесь q = −3.

Каждый член, кроме первого и последнего, связан с соседями равенством bₙ² = bₙ₋₁ × bₙ₊₁. Здесь и прячется условие, которое теряют: из квадрата извлекается корень, а у корня два знака. Вставим между 4 и 36 такое число x, чтобы три числа образовали геометрическую прогрессию. x² = 4 × 36 = 144, значит, x = 12 или x = −12. Оба случая подходят: 4, 12, 36 при q = 3 и 4, −12, 36 при q = −3, ведь −12 × (−3) = 36. Если в условии сказано, что члены положительные, остаётся 12.

То же при определении знаменателя по двум членам. Пусть b₂ = 6 и b₅ = 162. От второго члена до пятого три шага, значит, q³ = 162 : 6 = 27 и q = 3; кубический корень извлекается однозначно, так что ответ один: b₁ = 6 : 3 = 2, ряд 2, 6, 18, 54, 162. А если b₂ = 6 и b₄ = 54, то q² = 9 и q = 3 или q = −3, и прогрессий две: 2, 6, 18, 54 и −2, 6, −18, 54. Проверка второй: −2 × (−3) = 6, 6 × (−3) = −18, −18 × (−3) = 54.

Сумма геометрической прогрессии и условия

Формула суммы n первых членов: Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) : (q − 1), при условии q ≠ 1, потому что при q = 1 в знаменателе нуль. Для 3, 6, …, 96 получаем S₆ = 3 × (2⁶ − 1) : (2 − 1) = 3 × 63 = 189. Проверка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189. Для отрицательного знаменателя формула работает так же: ряд 2, −6, 18, −54 даёт S₄ = 2 × ((−3)⁴ − 1) : (−3 − 1) = 2 × 80 : (−4) = −40, и в лоб 2 − 6 + 18 − 54 = −40.

Отдельный случай q = 1: все члены равны b₁, и сумма равна n × b₁. Для 5, 5, 5, 5 это 20. Формулой выше такой ряд не посчитать: в знаменателе будет нуль, а на нуль делить нельзя.

Бесконечная сумма существует не всегда. Если модуль знаменателя меньше единицы, члены становятся всё меньше, и сумма всех членов равна S = b₁ : (1 − q). Для ряда 1, 1/2, 1/4, … получаем S = 1 : (1 − 1/2) = 2. Для периодической дроби 0,333… запишем 0,3 + 0,03 + 0,003 + …: b₁ = 0,3, q = 0,1, S = 0,3 : 0,9 = 1/3, и действительно 1/3 = 0,333… Если же модуль q не меньше единицы, члены не уменьшаются, и бесконечная сумма не существует: ряд 1, 2, 4, 8, … растёт без предела.

Задача на бесконечную сумму: мяч падает с высоты 8 метров и после каждого удара отскакивает на половину предыдущей высоты; какой путь он пройдёт до остановки, если считать удары идеальными? Падение на 8 метров, потом вверх на 4 и вниз на 4, вверх на 2 и вниз на 2 и так далее. Всё, кроме первого падения, идёт дважды: 8 + 2 × (4 + 2 + 1 + …). В скобках бесконечно убывающая прогрессия с b₁ = 4 и q = 1/2: сумма 4 : (1 − 1/2) = 8. Всего 8 + 2 × 8 = 24 метра. Проверка по первым слагаемым: 8 + 8 + 4 + 2 + 1 + … и 8 + 16 = 24.

Бывает и вопрос о числе членов. Сколько членов ряда 3, 6, 12, … надо взять, чтобы сумма равнялась 189? Из формулы 3 × (2ⁿ − 1) = 189 получаем 2ⁿ − 1 = 63, откуда 2ⁿ = 64 и n = 6. Проверка совпадает с суммой, которую мы нашли выше.

Как узнать прогрессию в задаче

Слова-признаки такие. «На столько-то больше каждый раз» — арифметическая прогрессия, «в столько-то раз больше» или «на столько-то процентов больше каждый раз» — геометрическая. В зале в первом ряду 20 мест, в каждом следующем на 2 больше; сколько мест в 15 рядах? Это арифметическая прогрессия с a₁ = 20, d = 2: a₁₅ = 20 + 14 × 2 = 48, сумма (20 + 48) × 15 : 2 = 510. Задача про двузначные числа, кратные 7, тоже арифметическая: первое 14, последнее 98, всего (98 − 14) : 7 + 1 = 13 чисел, сумма (14 + 98) × 13 : 2 = 728.

Вклад, который растёт каждый год на 10 процентов, это геометрическая прогрессия со знаменателем 1,1: 1000 → 1100 → 1210 → 1331. Откуда берётся множитель, показано в статье Проценты: три типа задач.

Прогрессии встречаются и там, где их не называют: ответы тригонометрических уравнений вида x = α + 2πk образуют арифметическую прогрессию с разностью 2π (об этом в статье Синус, косинус и тангенс: откуда они берутся). К ним приходится возвращаться и на экзамене, когда в условии вклад или ряд чисел; в каком порядке идут задания профильного экзамена, показано в обзоре структуры экзамена.

Вот случай, на котором легко ошибиться: ряды 2, 6, 18, … и 2, 6, 10, … начинаются одинаково, но продолжаются по-разному. Чему равен пятый член каждого? В первом знаменатель 3, и b₅ = 2 × 3⁴ = 162; во втором разность 4, и a₅ = 2 + 4 × 4 = 18. Проверка перечислением: 2, 6, 18, 54, 162 и 2, 6, 10, 14, 18.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 10–11 класса
• репетиторы по математике для ЕГЭ

Вопросы и ответы

Что надо учить наизусть, а что выводить? Четыре формулы лучше помнить, а сумму арифметической прогрессии стоит уметь вывести за полминуты: ряд и тот же ряд в обратном порядке, сложенные столбиками, дают n одинаковых сумм, и формула восстанавливается. Если формулы всё равно путаются, это обычная история, и её место в перечне западающих тем.

Может ли прогрессия быть и арифметической, и геометрической? Может: постоянный ряд 5, 5, 5, … Разность у него 0, знаменатель 1. Других рядов с ненулевыми членами нет: у арифметической прогрессии с ненулевой разностью отношение соседних членов меняется (в ряду 1, 2, 3 это 2, потом 3/2), и никакого общего знаменателя у него не будет.

Почему в формуле n-го члена стоит n − 1? Первый член уже стоит на своём месте, и до n-го от него n − 1 шагов. Для третьего члена это два шага: a₃ = a₁ + 2d.