Парабола: как построить и что по ней видно

Парабола — единственная кривая, которую в школе принято строить от руки, и вокруг неё выстроена вся тема квадратных уравнений, с формулой корней и дискриминантом. Поэтому тема кажется длинной. На деле она короче, чем выглядит, если сначала понять, что вся парабола задаётся тремя числами, а нарисовать её можно по трём точкам. Тем, кому нужна опора, стоит заглянуть в статью про линейную функцию: там разобрано то, что мы здесь используем без пояснений, — подстановка точки и проверка по ней.

Если вы до сих пор строите её по таблице из десяти точек и каждый раз мучаетесь, ниже есть способ короче. Все примеры посчитаны до конца, ответ проверяется подстановкой. Общий обзор того, где у школьников проседает математика, лежит в статье про темы, которые западают чаще всего; квадратичная функция в нём не лишняя.

Что говорят коэффициенты a, b и c

Квадратичная функция записывается как y = ax² + bx + c при условии a ≠ 0: если a = 0, слагаемое с x² исчезает и остаётся прямая. Её график называют параболой, и три коэффициента читаются по-разному.

Коэффициент a отвечает за направление и «ширину». При a > 0 ветви идут вверх, при a < 0 вниз. Чем больше модуль a, тем уже парабола: для y = 2x² при x = 2 получается 8, а для y = 0,5x² при том же x только 2, поэтому первая поднимается резче.

Коэффициент c — значение при x = 0, парабола пересекает ось y в точке (0; c). Для y = −x² + 2x + 8 это точка (0; 8), а знак перед x² отрицательный, так что ветви смотрят вниз.

Коэффициент b читается хуже остальных. Сам по себе он положения вершины не определяет, оно зависит от пары a и b, как видно из формулы ниже. Один случай всё же прост: при b = 0 вершина лежит на оси y, парабола симметрична относительно неё, как y = x² − 4 с вершиной (0; −4) и корнями −2 и 2.

Из этого выходит способ определять знаки по рисунку; такое задание бывает, когда по чертежу параболы надо назвать знаки коэффициентов. Знак a виден по ветвям, знак c — по тому, выше или ниже начала координат парабола пересекает ось y. Знак b узнают по положению вершины, потому что x₀ = −b / (2a): если вершина правее оси y, то b и a разных знаков, если левее, то одного знака. Проверим на примерах: у y = x² − 4x + 3 вершина x₀ = 2 правее оси, a = 1, b = −4, знаки разные; у y = x² + 6x + 5 вершина x₀ = −3 левее оси, a = 1, b = 6, знаки одинаковые.

Вершина, ось симметрии и построение за три точки

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину. Абсцисса вершины — x₀ = −b / (2a), ордината — значение функции в этой точке, y₀ = f(x₀). Прямую x = x₀ называют осью симметрии: каждая точка слева от неё имеет двойника справа на том же расстоянии и на той же высоте.

Построим y = x² − 4x + 3. Здесь a = 1, ветви вверх. Абсцисса вершины x₀ = 4 / 2 = 2, ордината y₀ = 4 − 8 + 3 = −1, вершина (2; −1). Пересечение с осью y — (0; 3). Зеркальная ей точка стоит на таком же расстоянии от оси симметрии: от 0 до 2 расстояние 2, значит, двойник в точке x = 4, и действительно f(4) = 16 − 16 + 3 = 3. Три точки (2; −1), (0; 3), (4; 3) — этого достаточно для чертежа. Таблица из десяти точек для параболы — потеря времени: три точки плюс понимание симметрии быстрее, и ошибка в одном значении там не прячется среди остальных.

Теперь пример, на котором чаще всего ошибаются со знаком: y = x² + 6x + 5. Формула даёт x₀ = −6 / 2 = −3, а не 3: знак b меняется на противоположный, и ученик, который пишет 6 / 2 = 3, получает вершину в другой полуплоскости. Ордината y₀ = 9 − 18 + 5 = −4, вершина (−3; −4). Проверка: (0; 5) и зеркальная к ней (−6; 5) — f(−6) = 36 − 36 + 5 = 5, сошлось.

Тот же результат даёт выделение полного квадрата: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1. В общем виде y = a(x − m)² + n имеет вершину (m; n), и со знаком здесь та же история, что у сдвигов графика функции, о которых есть отдельный разговор в статье про чтение графиков: m — это значение x, которое обнуляет скобку.

Дискриминант: сколько раз парабола встречает ось x

Дискриминант — число D = b² − 4ac, и по его знаку видно, сколько общих точек у параболы и оси x. Если D > 0, их две, корни x = (−b ± √D) / (2a). Если D = 0, точка одна: корень x = −b / (2a) совпадает с абсциссой вершины, и парабола касается оси вершиной. Если D < 0, общих точек нет: график целиком лежит по одну сторону от оси, над ней при a > 0 и под ней при a < 0.

Посчитаем четыре случая. Для y = x² − 4x + 3 дискриминант D = 16 − 12 = 4, корни (4 ± 2) / 2, то есть 3 и 1; проверка: 9 − 12 + 3 = 0 и 1 − 4 + 3 = 0. Для y = −x² + 2x + 8 получается D = 4 + 32 = 36, корни (−2 ± 6) / (−2), то есть −2 и 4; проверка: −4 − 4 + 8 = 0 и −16 + 8 + 8 = 0. Для y = x² − 6x + 9 дискриминант 36 − 36 = 0, корень x = 3, это (x − 3)², вершина (3; 0) лежит на оси. Для y = x² + 2x + 5 дискриминант 4 − 20 = −16 < 0; вершина (−1; 4), ветви вверх, парабола проходит над осью и её не касается ни разу.

Полезная проверка: абсцисса вершины — середина между корнями. У первой параболы (1 + 3) / 2 = 2, у второй (−2 + 4) / 2 = 1, и оба числа совпадают с найденными x₀.

По параболе решаются и неравенства. Для x² − 4x + 3 < 0 берём промежуток, где график ниже оси, то есть между корнями: 1 < x < 3, оба конца не входят, потому что в корнях значение равно нулю, а нуль меньше нуля не бывает. При нестрогом знаке получится отрезок [1; 3]. Для знака больше нуля ответ x < 1 или x > 3. Подробнее о таких неравенствах — в статье про метод интервалов.

Наибольшее и наименьшее значение

На всей числовой оси парабола с ветвями вверх имеет наименьшее значение y₀ в вершине и не имеет наибольшего; парабола с ветвями вниз — наоборот. Для y = x² − 4x + 3 это −1, область значений y ≥ −1; для y = −x² + 2x + 8 это 9, область значений y ≤ 9.

Если же функция задана на отрезке, всё меняется, и вот где теряют верный ответ. Вершина годится, только если она лежит внутри отрезка. Для y = x² − 4x + 3 на отрезке [0; 3] вершина x = 2 внутри, наименьшее значение −1 при x = 2, наибольшее ищем на концах: f(0) = 3, f(3) = 0, значит, наибольшее 3. На отрезке [3; 5] вершина осталась слева от него, и функция на всём отрезке возрастает: наименьшее f(3) = 0, наибольшее f(5) = 25 − 20 + 3 = 8. Если подставить сюда значение −1 «потому что вершина», получится ответ, которого на отрезке просто нет. Такие задачи, как и чтение графика квадратичной функции, встречаются на экзамене: что входит в первую часть профильного ЕГЭ, описано в статье про структуру экзамена, а как проходить её без потерь — в разборе первой части.

Парабола в жизни и в прогрессии

Классическая задача — мяч, брошенный вверх. Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с² и не учитывать сопротивление воздуха, то при начальной скорости 20 м/с высота через t секунд равна h(t) = 20t − 5t². Вершина: t = −20 / (2 · (−5)) = 2, высота h(2) = 40 − 20 = 20 метров, это наибольшая высота. Мяч вернётся на землю, когда 20t − 5t² = 0, то есть при t = 0 и t = 4; середина между ними 2, как и положено. Сколько времени мяч выше 15 метров? Решаем 20t − 5t² > 15, делим на −5 и меняем знак: t² − 4t + 3 < 0, то есть 1 < t < 3, и это уже знакомая нам парабола. Проверка: h(1) = 15 и h(3) = 60 − 45 = 15.

Парабола прячется и в арифметической прогрессии. Сумма первых n членов равна S = n · (2a₁ + (n − 1)d) / 2; при a₁ = 3 и d = 2 получается n² + 2n, ведь n · (6 + 2n − 2) / 2 = n(n + 2). Проверка: S₁ = 3, S₂ = 3 + 5 = 8, S₃ = 3 + 5 + 7 = 15, и по формуле 1 + 2 = 3, 4 + 4 = 8, 9 + 6 = 15. Точки этой «параболы» стоят только при натуральных n, а вершина n = −1 к прогрессии отношения не имеет; больше об этом — в статье про арифметическую и геометрическую прогрессии.

Теперь всё вместе на одной функции: y = −2x² + 8x − 6. Ветви вниз, потому что a = −2. Абсцисса вершины x₀ = −8 / (2 · (−2)) = 2, ордината y₀ = −8 + 16 − 6 = 2, вершина (2; 2). Дискриминант D = 64 − 48 = 16, корни (−8 ± 4) / (−4), то есть 1 и 3; проверка: −2 + 8 − 6 = 0 и −18 + 24 − 6 = 0, середина между корнями равна 2, как и у вершины. Ось y парабола пересекает в точке (0; −6), зеркальная к ней точка (4; −6): −32 + 32 − 6 = −6. Область значений y ≤ 2. На отрезке [0; 1] вершина лежит правее отрезка, а слева от вершины при a < 0 функция возрастает, поэтому наименьшее значение f(0) = −6, наибольшее f(1) = 0.

Начать поиск:

• ОГЭ по математике, репетиторы
• ЕГЭ по математике, репетиторы
• помощь со школьной программой по математике
• каталог специалистов по математике

Вопросы и ответы

Что делать, если вершина получилась дробной? Ничего особенного: подставляйте дробь как есть. Для y = x² − 3x + 1 абсцисса вершины 3/2 = 1,5, ордината 2,25 − 4,5 + 1 = −1,25.

Что означает D = 0 на рисунке? Парабола касается оси x вершиной.

Если D < 0, значит ли это, что функция положительна? Только если ветви смотрят вверх. Дискриминант отрицательный говорит лишь о том, что график не пересекает ось x; а лежит он над осью при a > 0 и под осью при a < 0. Примеры: y = x² + 2x + 5 всё время положительна, а y = −x² − 1 (там D = −4) всё время отрицательна. Если в решении неравенства потеряли знак a, ответ получается зеркальным, поэтому сначала смотрите на ветви, потом на дискриминант.

Почему при a = 0 это не парабола? Слагаемое с x² пропадает, остаётся y = bx + c — прямая.