Электростатика: заряды и поле

Один нанокулон — это 10⁻⁹ кулона, один микрокулон — 10⁻⁶, и приставка в задаче на закон Кулона теряется чаще, чем сама формула. Цена ошибки в этой теме особая: заряды перемножаются, и если приставка потеряна у обоих (по три порядка у каждого), ответ уходит от верного на шесть порядков. Расстояние в формуле стоит в квадрате, и пять сантиметров превращаются в 0,05 метра, а в формулу идёт 0,0025.

Проверочный расчёт: заряды 2 и 3 нанокулона, расстояние 3 сантиметра, k = 9·10⁹. F = 9·10⁹ · 2·10⁻⁹ · 3·10⁻⁹ / (0,03)² = 5,4·10⁻⁸ / 9·10⁻⁴ = 6·10⁻⁵ Н, то есть 60 микроньютонов. Такой ответ получится, если все приставки раскрыты до подстановки; нераскрытые приставки дают число, превышающее разумное на многие порядки.

Закон Кулона и сила как вектор

В формуле F = k·|q₁·q₂|/r² стоят модули зарядов, а знак зарядов определяет только направление силы: одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются. Распространённая ошибка — подставить заряды со знаками, получить отрицательную силу и дальше не знать, что с ней делать. Надёжнее считать модуль силы по модулям зарядов, а направление находить рисунком.

Сила — вектор, и когда зарядов три, на средний действуют две силы, которые складываются с учётом направления. Для зарядов на одной прямой это проекции на ось с выбранным положительным направлением, и сумма модулей получается лишь тогда, когда обе силы смотрят в одну сторону. Если пробный заряд стоит между двумя одноимёнными, силы направлены навстречу и вычитаются; если заряды разноимённые, а пробный находится между ними, обе силы смотрят в одну сторону и складываются.

Числами это выглядит так. Слева направо на одной прямой с шагом 10 сантиметров стоят заряды +4, −1 и +2 нанокулона, и нужна сила на средний. Левый заряд притягивает его влево с силой 9·10⁹ · 4·10⁻⁹ · 1·10⁻⁹ / 0,01 = 3,6·10⁻⁶ Н, правый притягивает вправо с силой 1,8·10⁻⁶ Н. Результирующая равна 1,8·10⁻⁶ Н и направлена влево; сумма модулей, 5,4·10⁻⁶ Н, — типичный неверный ответ.

Хороший тест на понимание — точка, где сила на пробный заряд равна нулю. Между зарядами 4q и q на расстоянии d она лежит в двух третях расстояния от большего: 4q/x² = q/(d − x)², откуда x = 2d/3. Сам пробный заряд сокращается, поэтому положение точки не зависит ни от его величины, ни от знака; из-за этого её можно искать, вовсе не зная, какой заряд туда поместят.

Ещё одна устойчивая ошибка касается двух разных зарядов: кажется, что больший заряд действует на меньший сильнее. По третьему закону Ньютона силы равны по модулю при любых зарядах, и ускорения у тел различаются только из-за разных масс. В задаче про две подвешенные на нитях заряженные бусинки разных зарядов нити отклоняются на один и тот же угол, если массы одинаковы, и это неприятно удивляет тех, кто выучил формулу, но не прочитал её как произведение.

Напряжённость и потенциал: вектор и число

Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r² направлена от положительного заряда и к отрицательному; это вектор, и складывается он векторно. Потенциал φ = k·q/r — число со знаком, которое складывается алгебраически, и знак заряда берётся в явном виде, без модуля. Это частое место путаницы: потенциалы складывают как стрелки или напряжённости как числа.

Разницу показывает середина отрезка между двумя зарядами. Если заряды равны и одного знака, напряжённость посередине равна нулю, потому что поля направлены навстречу, а потенциал не нулевой — он равен удвоенному потенциалу одного заряда. Если заряды равны по величине и противоположны по знаку, потенциал посередине равен нулю, потому что слагаемые взаимно сокращаются, а напряжённость удвоена: оба поля направлены от положительного к отрицательному. Нуль одной величины ничего не говорит о другой, и решение, в котором из E = 0 делается вывод φ = 0, ошибочно.

В однородном поле работают две связи: E = U/d, где d — расстояние вдоль линии поля (длина наклонного пути в формулу не подставляется), и A = q·U для работы поля. Равномерно заряженная сфера или шар снаружи действует как точечный заряд в центре, а внутри полой заряженной сферы напряжённость равна нулю, и потенциал во всех её точках одинаков. Это правило экономит целую страницу выкладок, и им пользуются реже, чем стоило бы.

Нуль потенциала в задачах на точечные заряды выбирают на бесконечности, а в задаче с пластинами — на любой из них, и ответ от этого зависеть не должен: разности потенциалов от выбора нуля не зависят.

Работа поля и знак заряда

Работа поля по перемещению заряда равна A = q·(φ₁ − φ₂), и здесь в формулу входит сам заряд вместе со знаком. Положительный заряд, идущий по полю, получает положительную работу; отрицательный заряд на том же пути получает отрицательную. Поле положительного заряда притягивает электрон, и когда электрон приближается к нему, работа поля положительна, что соответствует убыванию потенциальной энергии. Ученик, подставивший в формулу модуль заряда электрона, получает работу с обратным знаком и теряет балл на пустом месте.

Разгон заряженной частицы в поле записывается через энергию: q·U = m·v²/2, и обе части положительны, когда поле ускоряет частицу. Скорость находят извлечением корня, и проверка единиц на этом шаге помогает: под корнем должны остаться метры в квадрате на секунды в квадрате. Электрон, прошедший 100 вольт, получает скорость около 6·10⁶ м/с: 2·1,6·10⁻¹⁹ · 100 / 9,1·10⁻³¹ даёт около 3,5·10¹³, корень из которого и есть ответ.

Конденсатор: что остаётся постоянным

Определение ёмкости C = Q/U и формула плоского конденсатора C = ε₀·ε·S/d вместе с энергией W = C·U²/2 покрывают почти все задачи, и главный вопрос в них один: что не меняется при изменении конденсатора. Если конденсатор подключён к источнику, постоянно напряжение; если его зарядили и отключили, постоянен заряд. Если перепутать эти случаи, изменение выйдет не в ту сторону: у отключённого конденсатора при раздвигании пластин энергия растёт, у подключённого падает.

Теперь раздвинем пластины. Ёмкость падает, потому что d растёт. Если конденсатор отключён, заряд остаётся, значит, напряжение растёт, а энергия растёт тоже: работа внешней силы, растягивающей притягивающиеся пластины, идёт в энергию поля. Если же конденсатор подключён к источнику, напряжение остаётся прежним, заряд уменьшается, лишний заряд уходит обратно в источник, и энергия падает. Вставили диэлектрик: ёмкость растёт в ε раз, и дальше опять смотрят на условие подключения.

Соединения запоминаются через то, что у них общее. При параллельном соединении общее напряжение, и ёмкости складываются. При последовательном общий заряд на каждом конденсаторе, и складываются обратные величины ёмкостей. Перепутанное сложение даёт ёмкость батареи больше самой большой из составляющих там, где она должна быть меньше самой малой.

Числа на круглом примере: конденсатор 2 микрофарады при 100 вольтах хранит заряд 2·10⁻⁴ Кл и энергию 0,5 · 2·10⁻⁶ · 100² = 0,01 Дж, и микрофарады в этом расчёте переводят в фарады до подстановки, как и любую приставку.

Классическая задача: заряженный конденсатор C₁ с напряжением U подключают к незаряженному C₂. Сохраняется заряд, и общее напряжение становится U·C₁/(C₁ + C₂). Энергия до — C₁·U²/2, после — (C₁ + C₂)·U'²/2, и она меньше. Для равных ёмкостей — ровно вдвое. Куда делась половина: в нагрев проводов и излучение при перезарядке, и это тот же энергетический баланс, что в первом законе термодинамики: энергия не исчезла, она ушла в форму, которой задача не интересуется. Ошибка, которую делают здесь, — записать сохранение энергии вместо сохранения заряда и получить корень из двух в ответе.

Второе место, где конденсатор встречается, — цепи тока. В установившемся режиме ток через конденсатор не идёт, ветвь с ним работает как разрыв, а напряжение на нём равно напряжению на том участке, к которому он подключён. Подробнее — в статье про постоянный ток: законы Ома и Кирхгофа.

Рядом стоит индукция

В электростатике причина — заряды, а поле — их следствие, и оно не меняется со временем; работа поля по замкнутому пути равна нулю. В электромагнитной индукции причина — изменение магнитного потока, а следствием оказывается ток, который сам замыкается и сам воздействует на причину. Поэтому на вопрос «откуда в задаче ЭДС» электростатика отвечает «ниоткуда, нужен источник», а индукция «из изменения потока». Разбор по существу вынесен в статью про индукцию, чтобы не повторять его здесь.

Восьмой класс, десятый и экзамен

Электризацию, два рода зарядов и закон сохранения заряда проходят в восьмом классе качественно, без расчётов. Закон Кулона, напряжённость, потенциал и конденсаторы приходят в десятом классе, и это первая тема электродинамики, где нет ни одного прибора, который можно взять в руки: всё держится на рисунке и знаках. К экзамену она забывается быстро: идёт в начале электродинамики, дальше заряды начинают двигаться, и статические картинки вытесняются.

Соседние разделы электродинамики показаны в статье о разделах школьной физики, а разделы и типы заданий экзамена описаны в структуре ЕГЭ по физике. Что входит в часть с развёрнутым ответом, рассказано в статье о второй части ЕГЭ по физике и химии. Формулы конденсатора я бы заучивал не по отдельности: определение ёмкости и вопрос «что постоянно» восстанавливают остальное, а выученные наизусть пять формул без этого вопроса дают ошибку в знаке изменения.

Когда ничего не получается, начинать стоит с рисунка. Взять десять расположений зарядов и для каждого нарисовать стрелки полей в нужной точке, не считая ничего. Когда стрелки получаются без подсказки, добавляют числа, и первым делом приставки.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• подготовка к ЕГЭ по физике
• физика для 10–11 класса
• подготовка к ОГЭ по физике

Вопросы и ответы

Чему равна k: 9·10⁹ или 1/(4πε₀)? Это одно и то же число, просто записанное по-разному: при ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м получается около 9·10⁹. В условии обычно дают первое, и пересчитывать его через ε₀ не нужно, если только задача не требует вывода.

Два одинаковых металлических шарика с зарядами +5 и −1 нКл соприкоснули и развели. Какой заряд у каждого? Суммарный заряд сохраняется и делится поровну, раз шарики одинаковы: (+5 − 1)/2 = +2 нКл у каждого. Типичная ошибка — сложить модули и получить 3 нКл, потеряв знак у второго шарика. Для шариков разного размера заряд разделится пропорционально размерам, но в школьных задачах это встречается реже.

Заряд электрона подставлять с минусом? В законе Кулона и в формуле напряжённости, где стоят модули, без минуса. В работе поля и в потенциальной энергии, где знак заряда входит в результат, с минусом.

Почему внутри проводника поле равно нулю? Свободные заряды перераспределяются так, что их собственное поле гасит внешнее. Заряд стекает на поверхность, и внутри напряжённость равна нулю, а потенциал одинаков во всех точках проводника.

Воздух считать вакуумом? В задачах, если нет оговорки, да: диэлектрическая проницаемость воздуха принимается равной единице.