Термодинамика: первый закон и КПД

Первый закон термодинамики записывают в школьных учебниках двумя способами, и оба верны. Газ получил 500 Дж теплоты и совершил работу 200 Дж, внутренняя энергия выросла на 300 Дж. Сказано иначе: над газом совершили работу 200 Дж, а газ отдал 500 Дж теплоты, и внутренняя энергия упала на 300. Две фразы, две пары знаков, один и тот же закон. Ученик, который выучил формулу и не выучил, к какой из двух фраз она относится, правильно решает одну задачу из двух и не может объяснить почему.

Теряют баллы в этом разделе в основном на знаке работы и на температуре, подставленной в градусах, а остальное случается реже. Выпускнику 2027 года основные понятия раздела достались в восьмом классе (2023/24 учебный год), а сам первый закон с газами и циклами по большинству линеек — в десятом (2025/26), и между ними разрыв в два года.

Одна фраза условия, два знака

В учебниках первый закон встречается в двух записях. В первой — Q = ΔU + A, где A — работа, которую совершил сам газ, и положительна она при расширении. Во второй — ΔU = Q + A', где A' — работа внешних сил над газом, и положительна она при сжатии. Это одно и то же уравнение, потому что A' = −A. Беда начинается, когда формулу берут из одного источника, а слова «работа» читают в смысле другого.

Позиция моя такая: выберите одну запись и держитесь её до конца подготовки, в том числе в уме. Мне ближе первая, где работа считается от имени газа, потому что вопросы в условии почти всегда сформулированы про газ: «газ совершил», «газ получил». Если учитель или задачник пользуется второй, это тоже правильно, но менять форму посреди тетради нельзя. Смена записи в середине решения — основной источник ошибки со знаком, и сам ученик её не замечает: каждая строка в отдельности выглядит верно.

Для решения с развёрнутым ответом это важно вдвойне. Эксперт читает обозначения; запись Q = ΔU + A без пояснения «A — работа газа» оставляет ему догадываться, что вы имели в виду. Одна фраза в решении, «A — работа, совершённая газом», стоит нескольких секунд.

Знаки в записи удобно расставлять в определённом порядке. Сначала по температуре определяется ΔU: температура выросла, значит, ΔU положительна, как бы ни шёл процесс. Затем по объёму определяется A: объём вырос, газ расширялся, значит, работа газа положительна. И только после этого из первого закона выводится знак Q. Качественные задания вида «как изменятся величины» решаются именно так, без единой формулы с числами, и тот, кто начинает с Q, нередко путается уже на втором шаге.

Графики в координатах давление и объём

Работа газа численно равна площади под графиком процесса в осях p и V. При расширении объём растёт, и работа положительна, при сжатии отрицательна. Работа за цикл равна площади внутри замкнутой фигуры: если цикл обходится по часовой стрелке, она положительна, если против, то отрицательна. Правило не нужно заучивать: на верхней ветви газ расширяется при большем давлении, чем сжимается на нижней, и разница в пользу расширения.

Цикл в виде прямоугольника: давление меняется от 100 до 300 кПа, объём от 2 до 5 л. Работа за цикл равна (300 − 100) кПа × (5 − 2) л. Здесь выручает удобное совпадение единиц: килопаскаль на литр равен джоулю. Умножив 200 на 3, получаем 600 Дж, ничего не переводя. Если же килопаскали превратить в паскали, а литры оставить, получится 600 000, то есть в тысячу раз больше. Такая ошибка единиц случается чаще любой другой в этом разделе.

Проверить график удобно четырьмя вопросами:

• в каких осях он построен: p–V, p–T или V–T, потому что площадь под графиком даёт работу только в осях p–V;
• как идёт процесс (по стрелке) и растёт ли объём;
• есть ли на графике участок, где объём не меняется, и тогда работа на нём нуль;
• какая из двух кривых изотерма, какая адиабата: адиабата идёт круче, потому что при расширении газ ещё и остывает.

Задача, где дан график в осях p–T или V–T, решается переводом в p–V. Для этого нужен газовый закон из статьи про газовые законы и уравнение состояния: в осях p–T прямая, продолжение которой проходит через начало координат, означает изохору, а в осях p–V та же линия вертикальна, и узнать её по привычному виду нельзя.

Процессы без таблицы

Школьные пособия любят сводить процессы в таблицу: изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный и по несколько формул на каждый. Выучить её можно, но лучше не пытаться. Каждая строка выводится из первого закона за одну операцию. В изохорном объём не меняется, работа нуль, Q = ΔU. В изотермическом температура не меняется, у идеального газа ΔU = 0, значит, Q = A. В адиабатном Q = 0, и ΔU = −A: газ расширяется, работает за счёт своей внутренней энергии и охлаждается. Изобарный процесс единственный, где что-то приходится считать: A = pΔV = νRΔT, и это число ещё понадобится.

Два моля одноатомного газа нагрели изобарно на 50 К. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа ΔU = (3/2)νRΔT = 1,5 · 2 · 8,31 · 50 ≈ 1250 Дж. Работа газа A = νRΔT = 2 · 8,31 · 50 ≈ 830 Дж. Полученное тепло Q = ΔU + A ≈ 2080 Дж. Типичная ошибка: приравнять Q к ΔU, потому что «газ нагрели». В изобарном процессе часть теплоты уходит на работу, и для одноатомного газа на нагревание идёт только три пятых полученного.

Различие между внутренней энергией и теплотой — главное место раздела, и по нему же задают качественные вопросы. Внутренняя энергия задаёт состояние газа, у идеального газа она определяется температурой. Теплота — энергия, переданная при теплообмене, и состоянием газа она не является: фраза «в газе содержится столько-то теплоты» неверна. Температуру можно повысить и вовсе без теплоты: при адиабатном сжатии достаточно совершить над газом работу. Велосипедный насос, который греется при накачке, служит живым примером.

КПД: градусы и доли

Тепловой двигатель получает от нагревателя 800 Дж, отдаёт холодильнику 600 Дж. Работа за цикл 200 Дж, КПД = 200 / 800 = 25%. Для идеальной машины Карно с температурами нагревателя 127 °C и холодильника 27 °C КПД 1 − 300 / 400 = 25%. Но в формулу подставляют температуры в кельвинах: 400 К и 300 К. Если подставить градусы, получится 1 − 27 / 127 ≈ 79%, что в три с лишним раза больше правильного и лежит в пределах правдоподобного, поэтому ошибка остаётся незамеченной. Проверка проще всего: КПД идеальной машины зависит от отношения температур, а отношение 27 к 127 физического смысла не имеет.

КПД цикла считают как отношение работы за цикл к теплоте, полученной от нагревателя за цикл. Участки, где газ теплоту отдаёт, в знаменатель не входят. Ученик, который сложил полученное и отданное с учётом знаков, получает в знаменателе саму работу, и КПД у него выходит равным единице, чего быть не может.

Ещё одна ловушка стоит рядом: максимальный КПД даёт формула Карно, а реальный двигатель всегда ниже. Если в задаче по рассчитанным теплотам КПД выходит выше значения по Карно для тех же температур, где-то в записи ошибка.

В теплообмене (его проходят в восьмом классе) путаются иначе. При плавлении и парообразовании температура остаётся прежней, хотя теплота подводится, и формулу Q = cmΔt к этим участкам применять нельзя: нужны Q = λm и Q = Lm. Лёд массой 0,2 кг при 0 °C надо растопить и нагреть получившуюся воду до 20 °C. Плавление при λ = 330 кДж/кг требует 66 кДж, нагревание воды при c = 4200 Дж/(кг·К) ещё 0,2 · 4200 · 20 = 16,8 кДж, всего 82,8 кДж. Если забыть про плавление, ответ получится в пять раз меньше, и это тот случай, когда расхождение видно по порядку величины. Уравнение теплового баланса записывают как «отданное равно полученному», и обе части берут по модулю, иначе в одной из них прячется минус.

Где тема в курсе и почему её можно собрать за один заход

Термодинамика стоит особняком. Ей нужны газовые законы и молекулярно-кинетическая теория, а к механике она обращается только через энергию, поэтому слабая динамика девятого класса здесь почти не мешает. Электрические разделы после неё начинаются заново, и опереться в них можно только на закон сохранения энергии, как в электростатике, где работа поля равна изменению потенциальной энергии заряда. Поэтому раздел и забывается легче других: после десятого класса он не повторяется нигде, пока не наступит повторение к экзамену.

Зато его проще всего вернуть. Если нет разрыва с газовыми законами, раздел можно пройти за один сплошной заход, не растягивая на месяцы. Если с законами разрыв есть, начните с них: без изохоры, изобары и изотермы графики цикла читаются как рисунок. Откуда берётся энергетическая часть, видно из статьи про работу и энергию, место раздела среди остальных показывает обзор разделов школьной физики, а какие задания по термодинамике бывают на экзамене, — структура ЕГЭ по физике. Решение с полным ответом оформляется по правилам, которые разобраны в статье о второй части.

Подобрать репетитора по физике:

• репетиторы по физике
• репетиторы по физике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса

Вопросы и ответы

Почему при адиабатном сжатии газ нагревается, если теплота не подводится? Работа внешней силы идёт на увеличение внутренней энергии: Q = 0, значит, ΔU = A' и температура растёт.

Как отличить работу газа от работы над газом в условии? По подлежащему. «Газ совершил работу», «газ расширился и произвёл работу» — это работа газа, и в записи Q = ΔU + A она идёт со своим знаком: плюс при расширении. «Над газом совершили работу» — работа внешних сил, и она равна работе газа с обратным знаком.

Внутренняя энергия идеального газа зависит от объёма? Нет, только от температуры. Когда газ расширяется изотермически, его энергия остаётся прежней; работа газа при этом ровно равна полученной теплоте. Реальные газы устроены иначе, но школьная модель идеальная, и здесь этого различия нет.

Может ли КПД теплового двигателя быть равным единице? Нет. Часть теплоты всегда отдаётся холодильнику, и даже у идеальной машины Карно КПД равен единице лишь при температуре холодильника в абсолютный нуль, а он недостижим. У реального двигателя КПД ещё ниже, чем даёт формула Карно для тех же температур нагревателя и холодильника.