Газовые законы и уравнение состояния

Газ в закрытом баллоне нагрели с 27 до 54 градусов Цельсия, и ученик пишет, что давление выросло вдвое. Градусов стало вдвое больше, формула p/T = const записана верно, и всё, что требуется, — подставить. Но в формуле стоят кельвины: 300 и 327, давление выросло в 327/300 раза, то есть на девять процентов.

Газовые задачи устроены так, что само решение занимает две-три строки, а баллы уходят до него: на единицах, на выборе процесса, на знаке добавки в трубке, на направлении обхода цикла.

Кельвины и остальные единицы

Температура в любом газовом законе стоит в кельвинах: T = t + 273. Давление и объём в отношениях можно не переводить, если в обеих частях они записаны в одних единицах: в формуле p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ литры сократятся с литрами, а мм рт. ст. с мм рт. ст. В уравнении Менделеева — Клапейрона p·V = ν·R·T всё переводится в СИ, потому что R = 8,31 Дж/(моль·К) содержит джоули: давление в паскалях, объём в кубических метрах, температура в кельвинах, количество вещества в молях. В литре 0,001 кубического метра, в килопаскале 1000 паскалей, молярная масса в таблице дана в граммах на моль и в формулу ν = m/M идёт в килограммах на моль, если масса тоже в килограммах: ошибка в тысячу раз скрывается как раз здесь.

Пример с баллоном: объём 10 литров, давление 2·10⁶ Па, температура 27 градусов. ν = 2·10⁶ · 0,01 / (8,31 · 300) = 2·10⁴ / 2493 ≈ 8,0 моль. Подставили 27 вместо 300 — вышло бы около 89 моль; оставили объём в литрах — в тысячу раз больше. Обе ошибки дают аккуратные числа без единого признака, что что-то не так. Округляют один раз, в конце: 8,02 до десятых даёт 8,0. При нормальных условиях (0 градусов Цельсия, атмосферное давление) один моль газа занимает 22,4 литра, и в задачах, где условия названы нормальными, это сокращает расчёт; при других условиях такая мерка не работает.

Какой процесс перед вами

Названия «изо-» путаются часто. Изотермический — постоянна температура, изобарный — давление (бар, как в барометре), изохорный — объём. После этого вопрос в задаче только один: что из трёх неизменно, и этим определяется, какую из частей объединённого закона сократить.

• Температура постоянна: p·V = const, то есть при сжатии вдвое давление растёт вдвое.
• Давление постоянно: V/T = const, то есть объём пропорционален температуре в кельвинах.
• Объём постоянен: p/T = const, и давление пропорционально температуре в кельвинах.
• Масса газа меняется (утечка, откачка, добавка): объединённый закон к такому газу неприменим, и уравнение состояния записывают отдельно для каждого состояния, с разным ν.

Последний пункт ловит многих. Давление в баллоне упало с 6 до 4 атмосфер при той же температуре. Объём баллона не менялся, значит, количество газа пропорционально давлению, и осталось две трети: выпущена треть. Считать это через p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ нельзя: V и T одинаковы, а равенство требует одинакового газа. Признак такой задачи — слова «выпустили», «накачали», «прорвалась» или негерметичный поршень.

Графики: гипербола, прямая и прямая без начала

На плоскости p–V изотерма — гипербола. Чем дальше гипербола от осей, тем выше температура, и сравнивать две изотермы можно по произведению p·V в любой их точке. Изобара на p–V горизонтальна, изохора вертикальна. На плоскости V–T изобара — прямая, которая при продолжении проходит через начало координат, если по оси отложены кельвины; если по оси стоят градусы Цельсия, та же прямая пересечёт ось в точке −273. Для изохоры на p–T всё то же самое, и чем круче такая прямая, тем меньше объём газа. На V–T чем круче прямая, тем меньше давление. Две изобары на плоскости V–T сравнивают, проведя вертикальную линию при одной температуре и посмотрев, у какой объём меньше: у неё давление больше.

Самая коварная ситуация — наклонная убывающая прямая на p–V, не проходящая через начало координат. Если давление убывает с ростом объёма по линейному закону p = a − b·V, то произведение p·V = a·V − b·V² — парабола, у которой есть максимум при V = a/(2b). Левее этой точки температура растёт, правее убывает. Вывод «газ нагревается» верен лишь для участка, целиком лежащего левее максимума; участок, пересекающий его, даёт сначала нагрев, потом охлаждение. Ученик, увидевший, что объём вырос, делает вывод о нагреве всей линии и ошибается именно в тех задачах, где на этом построен вопрос.

Столбик ртути, поршень и знак добавки

Задачи с трубкой и ртутью держатся на одном правиле: давление газа в запаянной части определяется равновесием столбика. Если открытый конец трубки направлен вверх, газ находится под столбиком, и его давление равно атмосферному плюс давление столбика: p = p₀ + ρ·g·h. Если открытый конец вниз и газ над столбиком, давление газа меньше атмосферного на то же самое слагаемое. Знак меняется с поворотом трубки, и это самая дешёвая потеря в теме: формула записана верно, просто для другого положения.

В миллиметрах ртутного столба вычисления сводятся к сложению и вычитанию: при атмосферном давлении 750 мм рт. ст. и столбике 100 мм газ под столбиком имеет давление 850, над ним 650. Сечение трубки одинаково по всей длине, поэтому вместо объёмов в законе используют длины воздушных столбов. Пусть в горизонтальной трубке воздушный столбик длиной 300 мм отделён от атмосферы ртутным столбиком в 100 мм при давлении 750 мм рт. ст. Трубку поставили открытым концом вверх: давление воздуха стало 850, длина по изотерме 750·300/850 ≈ 265 мм. Перевернули открытым концом вниз: давление 650, длина 750·300/650 ≈ 346 мм. Для разных положений одной и той же трубки ответы различаются на добрую треть, и всё это только из-за знака добавки.

Свободно скользящий поршень делает процесс изобарным без единого слова об этом в условии: поршень в равновесии, давление определяется его весом и атмосферой, и при нагреве газа оно остаётся прежним, зато растёт объём. Если же поршень закреплён, получается изохорный процесс, и давление растёт вместе с температурой. Различие между «скользит» и «закреплён» нужно искать в тексте до начала расчёта.

Для поршня массой m и площадью S добавка равна m·g/S, и площадь здесь в квадратных метрах; что бывает при переводе сантиметров, подробно описано в статье про давление, силу Архимеда и плавание тел.

Работа газа и первый закон

Работа газа A = p·ΔV верна только при постоянном давлении; в остальных случаях её считают как площадь под графиком на плоскости p–V. При расширении она положительна, при сжатии отрицательна, а за цикл — положительна, если на плоскости p–V цикл обходят по часовой стрелке, и отрицательна, если против. Знак работы путают потому, что в первом законе Q = ΔU + A стоит работа, совершённая газом, а в условии бывает дана работа внешних сил над газом.

Число для примера: при давлении 2·10⁵ Па газ расширился от 1 до 3 литров, и работа равна 2·10⁵ · 2·10⁻³ = 400 Дж; литры в кубические метры переводятся до подстановки, как всюду в этой теме.

Для одноатомного идеального газа ΔU = (3/2)·ν·R·ΔT, и множитель 3/2 относится именно к такому газу. При постоянном давлении такой газ тратит на работу две пятых полученного тепла, а остальные три пятых идут во внутреннюю энергию: из 500 Дж работа составит 200 Дж. Подробнее о том, как применять первый закон и находить КПД, — в статье о термодинамике. О связи давления с движением молекул, где температура в кельвинах встречается снова (при вдвое большей температуре средняя квадратичная скорость молекул растёт в корень из двух раз), рассказано в статье о молекулярно-кинетической теории.

Где тема в курсе и почему уходит

Давление газа и атмосферу проходят в седьмом классе, тепловые явления в восьмом, и всё это качественно. Количественно газовые законы приходят в десятом классе, обычно сразу после основ молекулярно-кинетической теории и перед термодинамикой. К экзамену подзабываются названия и условия: какой закон для какого процесса, при каком постоянном. А уравнение Менделеева — Клапейрона держится дольше, потому что оно одно и записывается одной строкой.

Объединённый закон и три изопроцесса я бы учил как одно уравнение состояния с вопросом «что постоянно», а не как четыре формулы: все четыре получаются из pV = νRT делением двух его записей, и запоминать остаётся одну строку.

Что от чего зависит в курсе физики, показано в статье о разделах школьной физики, а разделы и типы заданий экзамена описаны в структуре ЕГЭ по физике. Если газовая задача попадёт в часть с развёрнутым ответом, запись двух состояний и связывающего их закона потребуется целиком; что входит в эту часть, рассказано в статье о второй части ЕГЭ по физике и химии.

Когда газовые задачи не получаются вовсе, помогает форма записи. Две строки, «было» и «стало», в каждой p, V, T, ν, и справа отметка, что остаётся постоянным. Пока эта запись не получается сама, решать ничего не нужно.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• подготовка к ЕГЭ по физике
• физика для 10–11 класса
• физика для студентов

Вопросы и ответы

Можно ли оставить давление в атмосферах? В отношении p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ можно, если в обеих частях одинаковые единицы. Температуру переводят всегда.

Что значит «температура выросла вдвое»? Только то, что вдвое выросла температура по шкале Кельвина. Если в условии даны градусы Цельсия и сказано «в два раза», переводят в кельвины, умножают на два и возвращаются обратно, когда спрашивают ответ в градусах. При нагреве с 27 до 54 градусов Цельсия температура по Кельвину выросла лишь в 1,09 раза.

Идеальный ли газ в задаче? Если не оговорено другое, да.

Как проверить ответ, не пересчитывая задачу заново? Сначала по направлению: при нагреве в закрытом сосуде давление растёт, при сжатии без изменения температуры тоже растёт, при расширении газа при постоянном давлении температура растёт. Затем по порядку величины: давление воздуха в комнате около ста тысяч паскалей, объём бутылки порядка литра, число молей в такой бутылке — сотые доли моля. Ответ, не лежащий в пределах разумного, чаще всего содержит нераскрытую приставку или температуру в градусах.

Почему в уравнении количество вещества, а в условии масса? Количество вещества получают из массы делением на молярную массу, ν = m/M. Молярную массу берут из таблицы Менделеева: числовое значение относительной атомной (молекулярной) массы совпадает с молярной массой в граммах на моль, и в килограммах она в тысячу раз меньше. Для кислорода в виде молекул это около 32 г/моль, то есть 0,032 кг/моль.