Давление, Архимед и плавание тел

Деревянный брусок массой 600 граммов плавает в воде, нужно найти объём его погружённой части. Ученик записывает силу Архимеда, ставит в неё плотность дерева, раз она дана в условии, умножает на объём всего бруска и получает число, которое ни с чем не сходится. Формулу он знает. Сбой в другом: в силе Архимеда стоят свойства жидкости и объём той части тела, что находится в жидкости, а из чего сделано тело и сколько оно весит, этой силе безразлично. Масса бруска нужна в соседнем уравнении, где сила тяжести уравновешивается архимедовой, и баллы пропадают на стыке двух записей.

Тема из седьмого класса, то есть проходится до векторов, до привычки подписывать, что к чему приложено, и до развёрнутого оформления. К экзамену от неё остаётся набор формул без картинки, а задачи там комбинированные.

Что стоит в формуле Архимеда

Сила Архимеда равна плотности жидкости, умноженной на g и на объём погружённой части тела: F = ρ·g·V. Три сомножителя, и у каждого свой способ ошибиться. Плотность берётся у жидкости; плотность тела в эту формулу не попадает никогда. Объём берётся погружённый: у плавающего тела это только часть, у полностью ушедшего под воду весь объём. Сила направлена вверх, приложена к телу и от глубины не зависит, пока тело не вышло на поверхность. Массы, материала и формы тела в формуле нет.

С единицами здесь обидно терять баллы, потому что арифметика простая. Плотность воды стоит в справочных данных в килограммах на кубический метр, а объём в условии то в литрах, то в кубических сантиметрах. В литре 0,001 кубического метра, в кубическом сантиметре 0,000001. Если плотность дана в граммах на кубический сантиметр, один такой грамм равен тысяче килограммов на кубический метр. Я бы советовал в начале решения переписать все данные в килограммы, метры и секунды, даже когда кажется, что обойдётся: решение в смешанных единицах, где часть величин в граммах, а g в метрах на секунду в квадрате, ломается молча, без видимого сигнала.

Округляют один раз, в самом конце: промежуточные числа держат с запасом, а в ответе оставляют столько значащих цифр, сколько в исходных данных. Если на первом шаге округлить до одной значащей цифры, на последнем из точности остаётся одна цифра, а то и ни одной.

Вернёмся к бруску. Он плавает, значит, сила тяжести равна силе Архимеда: m·g = ρ·g·V, где ρ — плотность воды, а V — погружённый объём. Ускорение свободного падения сокращается, и объём погружённой части равен массе, делённой на плотность воды: 0,6 кг / 1000 кг/м³ = 0,0006 м³, то есть 600 кубических сантиметров. Вопрос «брать 9,8 или 10» в такой задаче не возникает вовсе; плотность дерева тоже не понадобилась, она нужна, только если спросят, какая доля бруска погружена.

Четыре положения тела под водой

Почти все задачи на плавание сводятся к одному уравнению равновесия, а различаются тем, какие ещё силы действуют на тело. Сначала рисуется тело и силы на нём, потом пишется равенство. Положительным направлением удобно выбрать вверх, и тогда знаки в уравнении не теряются.

• Плавает на поверхности: сила Архимеда равна силе тяжести, других сил нет.
• Висит в воде на нити, привязанной сверху: сила Архимеда плюс натяжение нити равны силе тяжести.
• Лежит на дне: сила Архимеда плюс сила реакции дна равны силе тяжести, и вот эту реакцию забывают чаще всего.
• Удерживается нитью, привязанной ко дну, и тянет её вверх: сила Архимеда равна силе тяжести плюс натяжение нити.

Для третьего случая числа выглядят так. Железная гиря объёмом 0,5 литра и массой 3,9 кг лежит на дне, g принято за 10. Сила тяжести равна 39 Н, сила Архимеда — 1000·10·0,0005 = 5 Н, и реакция дна составляет 34 Н. Столько и давит гиря на дно. Ученик, забывший про Архимеда, получает 39 и не замечает, что вода уже «сняла» с гири часть веса.

Четвёртый случай ловит тех, кто выучил, что нить — это сила вверх. Нить тянет туда, где она закреплена, а не туда, куда хочется ответу.

Отдельная неприятность — слово «вес». Вес тела в жидкости, пока оно покоится, — это показание динамометра, на котором тело висит под водой, и равен он разности силы тяжести и силы Архимеда. Если в условии написано «вес 5 Н», это сила, и массу получают делением на g; если «масса 5 кг», силу ещё предстоит найти. В седьмом классе эти слова употребляют почти как синонимы, и в десятом их приходится разводить заново.

Давление: площадь и глубина

Давление твёрдого тела — сила, делённая на площадь, и в этой формуле баллы теряются на площади. У стола четыре ножки, значит, площадь опоры равна сумме площадей всех четырёх; если человек стоит на одной ноге, площадь вдвое меньше, чем при двух. Площадь в условии дана в квадратных сантиметрах, и перевод в квадратные метры — умножение на 0,0001 (в метре сто сантиметров, но площадь квадратная, поэтому сто в квадрате). Ошибка в сто раз выглядит как нормальный ответ, пока не сравнишь его с давлением атмосферы.

Числа для стола: масса 20 кг, четыре ножки по 5 квадратных сантиметров, g равно 10. Сила 200 Н, площадь 4·0,0005 = 0,002 м², давление 100 000 Па, то есть 100 кПа. Если площадь пересчитать умножением на 0,01, получится 0,2 м² и тысяча паскалей, а такой ответ для стола с тонкими ножками выглядит правдоподобно, и его никто не перепроверяет.

Давление жидкости определяется глубиной: p = ρ·g·h, где h отсчитывается по вертикали от свободной поверхности. Длина наклонной трубки, расстояние от дна и форма сосуда в формулу не входят, и это противоречит интуиции: в широком сосуде на той же глубине давление такое же, как в узком.

Отсюда следует вещь, которую в задачах на силу давления на дно путают постоянно. Эта сила равна p·S и совпадает с весом жидкости только в сосуде с вертикальными стенками; в сосуде, расширяющемся кверху, она меньше веса, в сужающемся больше.

Если нужна сила, с которой жидкость давит на стенку, давление меняется по глубине, и в формулу силы подставляют среднее значение — половину давления у нижнего края вертикальной стенки. Ученик, подставивший давление у дна, завышает силу вдвое.

Атмосфера добавляет своё: давление на глубине h в открытом сосуде равно атмосферному плюс ρ·g·h. Спрашивают «давление, создаваемое жидкостью» — атмосферу не добавляют; спрашивают полное давление на глубине — добавляют. Различие сидит в формулировке, поэтому её читают дважды.

В сообщающихся сосудах с разными жидкостями высоты столбов отсчитываются от границы раздела и обратно пропорциональны плотностям. В гидравлическом прессе давление одинаково, силы относятся как площади поршней, а пути обратно: в работе выигрыша нет, на сколько вырос силовой выигрыш, на столько же короче ход большого поршня.

Лёд и пароход

Качественные задачи на эту тему решаются одной мыслью: плавающее тело вытесняет воду, вес которой равен его собственному весу.

У плавающего тела доля погружённого объёма равна отношению плотности тела к плотности жидкости. Для льда в пресной воде это около девяти десятых, и отсюда привычная картина, где над водой торчит лишь небольшая часть.

Лёд плавает в стакане. Когда он растает, уровень воды не изменится: лёд вытеснял воду массой, равной своей, а растаяв, стал водой той же массы и занял тот же объём. Если во льду заморожен камень, уровень понизится: пока камень был во льду, вместе с ним вытеснялась вода по общему весу, а после таяния камень тонет и вытесняет только свой объём. Корабль, перешедший из реки в море, сидит в воде мельче, хотя сила Архимеда прежняя и по-прежнему равна силе тяжести: плотность морской воды больше, и тот же вес вытесняется меньшим объёмом.

Весы под сосудом

Сосуд с водой стоит на весах, в воду опускают груз, подвешенный к штативу, и до дна он не доходит. Показание весов растёт на силу Архимеда: вода давит на груз вверх, значит, по третьему закону Ньютона груз давит на воду вниз с такой же силой, и добавка передаётся на весы. Новичок обычно прибавляет к показанию весь вес груза, но груз висит на штативе и на весы не давит. Про пары сил и про то, как их искать, написано в статье о законах Ньютона и их применении.

Седьмой класс и экзамен

Давление, закон Архимеда и плавание тел проходят во второй половине седьмого класса, когда времени на тренировку остаётся немного. Во второй раз тема приходит в десятом классе как подкрепление статики: плавающее тело — это равновесие, к которому добавилась ещё одна сила, и умение стоит переносить оттуда, где разбиралась статика: равновесие и момент силы. Давление газа вернётся в молекулярной физике, об этом молекулярно-кинетическая теория и газовые законы и уравнение состояния.

К экзамену тема забывается по простой причине: в седьмом классе формулы даются почти без вывода, а потом три года не нужны. На экзамене же задача на плавание редко стоит отдельно, она соседствует с динамикой, и ученик ищет в ней знакомую формулу вместо того, чтобы расписать силы. Если такая задача окажется в части с развёрнутым ответом (о составе этой части написано в статье что входит во вторую часть ЕГЭ по физике и химии), баллы зависят от записи: названо ли условие равновесия, введены ли обозначения, получен ли ответ в нужных единицах. Где тема стоит среди разделов, видно из структуры ЕГЭ по физике и из статьи о разделах школьной физики и связях между ними.

По моему опыту, эту тему теряют в основном те, кто начинает решение с подстановки в формулу; тот, кто начинает с рисунка, ошибается заметно реже. Если не идёт совсем, возвращаться стоит в седьмой класс: взять десять задач и в каждой ответить только на вопрос «плавает, тонет или висит», с рисунком сил и без вычислений. Когда рисунок получается без подсказки, к счёту переходят.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• физика для 5–8 класса
• подготовка к ОГЭ по физике
• подготовка к ЕГЭ по физике

Вопросы и ответы

Какое g брать, 9,8 или 10? То, которое названо в условии или в справочных данных варианта. В задачах на плавание, где g сокращается, вопрос снимается сам.

Почему сила Архимеда не растёт с глубиной, если давление растёт? Давление на нижнюю грань больше, чем на верхнюю, но разность давлений от глубины не зависит. Для кубика с ребром a это видно прямо: ρ·g·(h + a)·a² − ρ·g·h·a² = ρ·g·a³, и глубина h из результата выпадает. Пока тело целиком в жидкости, сила остаётся той же, на сколько бы его ни опустили.

Нужно ли отдельно учить закон Паскаля? Он говорит, что давление, приложенное к жидкости, передаётся по всем направлениям без изменений. В школьных задачах он встречается в основном в гидравлическом прессе.

В каких единицах записывать ответ? В тех, которые названы в условии. Если просят давление в килопаскалях, расчёт идёт в паскалях и делится на тысячу в самом конце, а не посередине, где легко потерять степень.