Механические и электромагнитные колебания

Груз на пружине подчиняется уравнению m·a = −k·x: ускорение пропорционально смещению и направлено против него. Контур из катушки и конденсатора подчиняется уравнению L·(скорость изменения тока) = −q/C, и по виду оно то же самое. Стоит заменить массу на индуктивность, жёсткость на величину, обратную ёмкости, смещение на заряд, а скорость на силу тока, и одно уравнение превращается в другое. Ученик, который это увидел, учит одну тему на двух материалах. Остальные учат две, и учебник им не помогает: две главы, разные буквы и разные слова для одного и того же.

Механические колебания проходят в девятом классе (маятник, резонанс) и повторяют в одиннадцатом, электромагнитные идут в одиннадцатом, после индукции, и точный порядок зависит от учебника. Два года между первой и второй встречей объясняют, почему ученик, знавший формулу периода маятника в девятом, в одиннадцатом смотрит на контур как на новую тему. А она та же.

Что чему соответствует

Соответствие удобно держать в голове парами, где каждая пара — одно и то же свойство в двух материалах:

• масса груза соответствует индуктивности катушки: обе мешают быстрому изменению (скорости, тока)
• жёсткость пружины соответствует величине, обратной ёмкости: чем «мягче» пружина и чем больше ёмкость, тем больше смещение или заряд при той же силе или напряжении
• смещение груза соответствует заряду конденсатора
• скорость груза соответствует силе тока в контуре

Энергия переходит между двумя формами. У груза это потенциальная энергия пружины k·x²/2 и кинетическая m·v²/2, у контура энергия электрического поля конденсатора q²/(2C) и энергия магнитного поля катушки L·I²/2. Сумма постоянна, пока потерь нет. Отсюда следует вопрос, на котором теряют: когда груз в крайнем положении, его скорость нулевая, а смещение наибольшее; в контуре в тот же момент ток нулевой, а заряд наибольший. Ученик, решающий задачу про контур, нередко считает, что максимальному заряду соответствует максимальный ток, и это переносит неверное чтение из механики: он забыл, что наибольшая скорость у груза в положении равновесия, а там смещение нулевое.

У соответствия есть следствие, на котором ловят тех, кто выучил его без понимания. Ёмкость отвечает не жёсткости, а величине, обратной ей, поэтому конденсаторы, соединённые параллельно, складывают ёмкости, как складываются податливости (величины, обратные жёсткости) у пружин, соединённых последовательно. Параллельные конденсаторы поэтому соответствуют последовательным пружинам, и наоборот. Для тех, кто решал обе задачи по отдельности, это совпадение выглядит перевёрнутым, а для тех, кто держит пары в голове, оно очевидно.

Учебники раскладывают эти две темы по разным главам, и выучить соответствие придётся самому: на мой взгляд, самый быстрый способ — вести на одном листе две строки рядом, формулы механики над формулами электричества, и дописывать в них по ходу решения задач.

Период: корень и то, чего в нём нет

Для пружинного маятника период равен 2π·√(m/k), для математического 2π·√(l/g), для контура 2π·√(L·C). Три формулы выглядят по-разному, и всё равно это одна: под корнем стоит «инерция, делённая на возвращающее свойство». Вопросы строятся на том, как изменится период при заданной перемене, и типичная ошибка одна: увеличили массу груза на пружине в четыре раза, а период возрос в четыре. Он вырос только вдвое, потому что масса стоит под корнем. С ёмкостью то же: ёмкость вдвое больше, период в √2 раз.

Вторая ловушка: чего в формуле нет. В формуле математического маятника отсутствует масса, и амплитуда при малых отклонениях тоже в ней не участвует: тяжёлый и лёгкий шарики на одной нити качаются синхронно. В формуле Томсона отсутствует заряд, с которого начались колебания, то есть начальное напряжение на конденсаторе меняет амплитуду, но не период. Вопрос «как изменится период, если зарядить конденсатор сильнее» решается одним словом, и ошибаются те, кто начинает искать формулу, в которой заряд есть.

Ёмкости в контуре соединяют, и здесь тоже ловят. При параллельном соединении конденсаторов ёмкости складываются, общая ёмкость растёт, и период растёт вместе с корнем из неё; при последовательном общая ёмкость меньше каждой, и период уменьшается. Две одинаковых ёмкости параллельно дают удвоенную, последовательно половинную, и по этим двум случаям можно проверить любой ответ.

Знак и направление ускорения проявляются и здесь. Маятник в лифте, который разгоняется вверх с ускорением a, качается так, как если бы ускорение свободного падения стало равным g + a, и период уменьшается; в лифте, разгоняющемся вниз, g − a, и период растёт. Скорость лифта в формуле не участвует, только ускорение, и направление его определяется по тем же правилам проекций, что в кинематике.

Единицы в контуре: микрофарады и миллигенри нужно перевести до подстановки, один микрофарад равен 10^−6 Ф, один миллигенри 10^−3 Гн. Для катушки 1 мГн и конденсатора 1 мкФ произведение равно 10^−9, корень из него примерно 3,2·10^−5, и период около 2·10^−4 с, то есть примерно 0,2 мс (оценка, по расчёту). Ученик, подставивший ёмкость в микрофарадах как есть, получает период, на три порядка отличающийся, и отлавливает это тот, кто привык сравнивать результат с разумным: период контура радиоприёмника не бывает секундой.

Уравнение и график: что из них читается

Смещение груза или заряд конденсатора записывают в виде A·cos(ω·t), где ω — циклическая частота, она же 2π, делённое на период, и она же 2π, умноженное на частоту. Для уравнения x = 0,05·cos(10π·t) амплитуда 0,05 м, циклическая частота 10π рад/с, частота 5 Гц и период 0,2 с. Теряется тут одно и то же: коэффициент при t принимают за частоту или за период и выдают его в герцах, не поделив на 2π. Слово «циклическая» в условии и единица «рад/с» подсказывают, что до частоты в герцах остался один шаг.

График читают по двум вещам, амплитуде и периоду, и период ищут между двумя соседними одинаковыми точками, например между соседними максимумами. Расстояние от нуля до ближайшего нуля — только половина периода, а от максимума до ближайшего нуля — четверть, и ученик, измеривший не то расстояние, ошибается ровно в два или четыре раза: ответ по виду разумный, поэтому ошибка не заметна. Цену деления по оси времени (миллисекунды, секунды) тоже читают до расчёта.

Начало отсчёта влияет на запись. Если в нулевой момент груз проходит положение равновесия, колебание пишут через синус, если он в крайней точке, через косинус; это одно и то же движение с разным началом времени, и график, выходящий из нуля, требует синуса. Начальная фаза в простых заданиях обычно равна нулю, но стоит выяснить это до записи уравнения, иначе амплитуда и период найдутся верно, а значение в заданный момент нет.

Скорость читается по наклону графика смещения, как в кинематике, и точно так же ток читается по наклону графика заряда. Там, где график заряда пересекает ось круче всего, ток наибольший, там, где у графика вершина, ток нулевой. Аналогия работает и здесь полностью: кто научился читать график смещения, прочтёт и график заряда, и вопросов про ток у него станет меньше.

Энергия, затухание и резонанс

Энергия колеблется между двумя формами, и вопросы на это строятся с долей периода. Конденсатор заряжен полностью в начале отсчёта, через четверть периода он разряжен, и вся энергия сидит в катушке; через восьмую часть периода энергии обоих полей равны. Для пружины то же самое с потенциальной и кинетической энергией. Ученик, умеющий записать заряд как косинус от ωt, получает «восьмую» за одну строку: косинус и синус равны при ωt = π/4, и остаётся разделить на 2π.

У настоящих колебаний энергия теряется: трение, сопротивление провода, излучение. Амплитуда затухающих колебаний убывает, а период у слабо затухающих меняется мало, и в школьных задачах им пренебрегают. Вопрос «что произойдёт с колебаниями при добавлении сопротивления» требует двух слов: амплитуда будет уменьшаться, колебания затухнут. Сохранение энергии при этом не нарушается: она переходит в тепло.

Вынужденные колебания появляются, когда на систему действует внешняя периодическая сила или напряжение. Амплитуда оказывается наибольшей, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы. Это резонанс, и он стоит как за раскачиванием качелей, так и за настройкой радиоприёмника: поворотом конденсатора подгоняют собственную частоту контура под частоту нужной станции. Связь периода колебаний с длиной волны разбирается в статье про волны и звук. Сама катушка ведёт себя как «инерция» контура из-за самоиндукции, и о причинах этого можно прочесть в статье про электромагнитную индукцию.

Как возвращаться к теме и что делать, если она не идёт

Почему тема выветривается, ясно из положения в курсе: механическую часть проходят в девятом, электромагнитную в самом конце одиннадцатого, и между ними нет повторения. Если не идёт совсем, начинать нужно с маятника. Возьмите нитку и гайку, измерьте время десяти колебаний и поделите на десять: так проверяется, что период не зависит ни от массы, ни от размаха при малом отклонении, а от длины зависит. Затем читаются графики смещения, и только потом выписывается соответствие с контуром. Полезное упражнение для занятия: решить пару задач, сначала про груз, потом ту же про контур, и сравнить решения построчно. Если эту пару ученик решает с одинаковыми шагами, тема закрыта; если шаги разные, значит, соответствия ещё нет, и ученик знает две отдельные темы. Такой порядок даёт ученику опору в чём-то, что он видел руками, и на этой опоре электричество становится понятным.

Где колебания стоят в экзамене и как делится по типам, показывает разбор структуры ЕГЭ по физике; в каком порядке разделы связаны, показывает карта школьной физики. Номер задания не назван, пока он не сверен с демоверсией. Описание того, как решаются задания второй части, лежит в статье о том, что туда входит.

Начать поиск:

• репетиторы по физике
• репетиторы по физике для 9 класса
• репетиторы по физике для 10–11 класса
• репетиторы по физике для подготовки к ЕГЭ

Вопросы и ответы

Нужно ли отдельно учить формулу Томсона? Лучше выучить её как частный случай формулы периода пружины: стоит заменить массу на индуктивность и жёсткость на обратную ёмкость.

Как не путать частоту и циклическую частоту? Смотрите на единицу. Если стоит «рад/с» или в уравнении коэффициент при t записан как кратное числа пи, это циклическая частота, и до герц нужно поделить на 2π. Частота в герцах и период связаны проще: частота равна единице, делённой на период.

Маятники понятны, электричество не идёт. С чего начать? С перевода обозначений: выпишите уравнение для маятника, подставьте в него вместо массы индуктивность, вместо смещения заряд и посмотрите, что получилось. Потом решите две задачи про контур, пользуясь одним соответствием и не обращаясь к электричеству.

Почему период не зависит от амплитуды? Для малых отклонений возвращающая сила пропорциональна смещению, и это даёт одинаковое время одного колебания при любом размахе. При больших углах маятник уже отклоняется от этого закона.