Объёмы и площади поверхностей тел

В стереометрии ошибаются, как правило, не в формуле, а в вопросе: площадь какой именно поверхности спрашивается, объём чего, в каких единицах. Задача «найдите площадь поверхности цилиндра» и задача «найдите площадь боковой поверхности цилиндра» отличаются на две крышки, и ответ получается разный. Поэтому статья построена вокруг этих различий. Среди тем, где теряют больше всего, стереометрия названа в общем обзоре.

Три разные величины

Длина измеряется в сантиметрах, площадь в квадратных сантиметрах, объём в кубических. Это не формальность: по единицам видно, какой формулой пользуетесь. Если у вас получились сантиметры в первой степени, а искали объём, где-то потерялась степень.

Для любого тела различают площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности. Боковая — это стенки без оснований (у призмы и цилиндра без двух оснований, у пирамиды и конуса без одного). Полная — боковая плюс основания. Слово «площадь поверхности» без уточнения означает полную. Если в условии написано «боковая», основания не прибавляют, и это самое частое расхождение с ответом в конце задачника. Задачи по стереометрии есть и в ОГЭ, и в профильном ЕГЭ; как устроен последний, показывает разбор заданий по порядку.

Объём — сколько места занимает тело, и для всех тел с одинаковой формой сечения на разной высоте он вычисляется по одной схеме.

Призма и цилиндр: основание умножить на высоту

Нарисуйте основание, например треугольник, и поставьте над ним такой же треугольник на одной вертикали выше, соедините вершины рёбрами: получилась прямая призма. Объём любой призмы и любого цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: V = S · h. Идея понятна: тело можно нарезать на слои высотой в сантиметр, площадь каждого слоя S. Если основание не прямоугольник, его площадь берётся из плоской геометрии, например из статьи про площади плоских фигур.

Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c: V = abc, полная поверхность S = 2(ab + bc + ac), диагональ √(a² + b² + c²). Для рёбер 2, 3, 6 объём 36, поверхность 2 · (6 + 18 + 12) = 72, диагональ √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. У куба с ребром a объём a³ и поверхность 6a².

Для прямой призмы площадь боковой поверхности равна периметру основания на высоту. Основание — прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, высота 10. Площадь основания 6, объём 60. Боковая поверхность (3 + 4 + 5) · 10 = 120, полная 120 + 2 · 6 = 132. Условие «прямая» существенно: у наклонной призмы боковые грани — не прямоугольники, и формула с периметром не годится.

Цилиндр: возьмём R = 3 и h = 5. Объём πR²h = 45π, около 141,37. Боковую поверхность проще всего представить, если разрезать цилиндр по образующей и развернуть: получится прямоугольник со сторонами 2πR (длина окружности основания) и h, значит, S бок = 2πRh = 30π, около 94,25. Каждое основание — круг площадью πR² = 9π, и полная поверхность 30π + 18π = 48π, около 150,80. Если спрашивалась боковая, 18π добавлять нельзя.

Пирамида и конус: те же и множитель одна треть

Пирамида — многоугольник в основании и точка над ним, соединённая со всеми вершинами. Объём пирамиды и конуса V = S · h / 3, то есть ровно треть того, что дала бы призма или цилиндр с таким же основанием и такой же высотой. Множитель одна треть нельзя пропускать: из-за него объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Строгий вывод для пирамиды дают через интеграл в профильном курсе старших классов, а в основной школе формулу берут готовой; на опыте множитель видно так: три одинаковые пирамиды складываются в куб, если у них общая вершина в одном из углов, а основаниями служат три грани, не примыкающие к этой вершине.

Для правильной четырёхугольной пирамиды (в основании квадрат, высота падает в его центр) со стороной основания 6 и высотой 4 объём равен 36 · 4 / 3 = 48. Боковая грань — равнобедренный треугольник, и его высота называется апофемой: она равна √(h² + (a/2)²) = √(16 + 9) = 5. Боковая поверхность — периметр основания на апофему пополам, 24 · 5 / 2 = 60; полная 60 + 36 = 96. Боковое ребро √(16 + 18) = √34, около 5,83. Формула с апофемой верна только для правильной пирамиды. Частный случай — правильный тетраэдр, пирамида из четырёх равносторонних треугольников: при ребре 6 площадь поверхности равна сумме четырёх граней по 36√3 / 4, то есть 36√3 (около 62,35), объём 6³ · √2 / 12 = 18√2 (около 25,46). Здесь нет разделения на боковую и основание, все четыре грани одинаковы.

Часто в условии дано боковое ребро, а высоту надо найти. Пусть основание — квадрат со стороной 6√2, а боковое ребро равно 10. Половина диагонали основания равна 6√2 · √2 / 2 = 6. Высота, половина диагонали и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник: h = √(100 − 36) = 8. Площадь основания (6√2)² = 72, объём 72 · 8 / 3 = 192. Здесь высота падает именно в центр основания, потому что пирамида правильная.

Конус даёт ту же картину. Возьмём R = 3 и h = 4. Образующая l = √(R² + h²) = √(9 + 16) = 5. Объём πR²h / 3 = 12π, около 37,70. Боковая поверхность πRl = 15π, около 47,12; полная 15π + 9π = 24π, около 75,40. Формулу боковой поверхности πRl запоминают как «пи эр эль», и вместо образующей l в неё часто подставляют высоту h, получая неверный ответ. Проверка простая: образующая всегда длиннее высоты. Обратная задача решается той же формулой: у конуса объём 12π и радиус 3, значит, высота h = 3V / (πR²) = 36π / 9π = 4. Если из цилиндра с тем же основанием и той же высотой вырезать этот конус, останется 36π − 12π = 24π, две трети цилиндра.

Шар: одна поверхность и никаких оснований

Для шара радиуса R объём V = 4πR³ / 3, площадь поверхности S = 4πR². Оснований и боковой поверхности у шара нет, поверхность одна. При R = 3 объём 4π · 27 / 3 = 36π, около 113,10, и поверхность 4π · 9 = 36π. Совпадение чисел случайное, оно бывает только при R = 3: условие (4/3) R³ = 4R² выполняется лишь там. Но единицы разные, кубические сантиметры и квадратные, так что смешивать эти величины всё равно нельзя. У Архимеда есть красивое наблюдение: шар, вписанный в цилиндр (высота цилиндра равна диаметру), занимает две трети его объёма. Проверим при R = 3: цилиндр π · 9 · 6 = 54π, шар 36π, и 36 / 54 = 2/3.

Подобие тел и сосуды с водой

Если все линейные размеры тела увеличить в k раз, площадь поверхности вырастет в k², а объём в k³. Куб с ребром 2: поверхность 24, объём 8. Удвойте ребро, до 4: поверхность 96 (вчетверо), объём 64 (в восемь раз). Забыть про степени очень легко, и тогда ответ в задаче про «такую же, но вдвое большую» кастрюлю получается неверным.

Составные тела тоже требуют внимания к вопросу. Из куба с ребром 4 вырезали угловой кубик с ребром 1. Объём стал 64 − 1 = 63. А поверхность осталась прежней, 6 · 16 = 96: три квадрата площадью 1 в углу исчезли, зато три таких же квадрата появились на стенках выреза. Площади складывают и вычитают по граням, объёмы по телам, и на этом попадаются часто.

Особый класс задач — сосуд и вода. Цилиндрический сосуд с радиусом основания 5 наполнен водой до высоты 16. Воду перелили в другой цилиндрический сосуд с радиусом 10. Объём воды π · 25 · 16 = 400π. В новом сосуде площадь основания 100π, значит, высота 400π / (100π) = 4. Радиус вдвое больше, площадь основания вчетверо, уровень вчетверо ниже. Если в сосуд опускают деталь, объём вытесненной воды равен объёму детали, и уровень поднимается на объём, делённый на площадь основания.

Объёмы связаны и с вероятностью. Внутри куба с ребром 2 случайно выбирают точку. Какова вероятность, что она окажется внутри вписанного шара? Шар касается всех граней, его радиус 1, объём 4π / 3. Объём куба 8. Вероятность равна отношению объёмов (4π / 3) / 8 = π / 6, около 0,52. Условие «точка выбирается равномерно по всему кубу» нужно называть: от него зависит, что вероятность пропорциональна объёму. Больше об этом в статье про вероятность в школьном курсе.

Теперь самопроверка на типичной ошибке. Ученик пишет: объём конуса с радиусом 3 и высотой 4 равен π · 9 · 4 = 36π, и считает ответ готовым. Где ошибка? Это объём цилиндра с тем же основанием и той же высотой, а у конуса нужна треть: 12π. Образующая 5 в формуле объёма не участвует, она нужна только для боковой поверхности. Такие потери дороже всего обходятся в первой части экзамена, и как её закрыть, написано в статье про первую часть ЕГЭ по математике.

Начать поиск:

• стереометрия в подготовке к ОГЭ
• стереометрия и профильный ЕГЭ
• геометрия десятого–одиннадцатого класса
• математики по всем предметам и классам

Вопросы и ответы

Чем площадь поверхности отличается от площади боковой поверхности? Боковая поверхность — это стенки без оснований, полная — стенки и основания вместе. Если в условии просто «площадь поверхности», считайте полную. Для цилиндра с радиусом 3 и высотой 5 это 30π в первом случае и 48π во втором, разница 18π — две крышки по 9π. Спутать их проще всего именно в конце, когда ответ уже готов.

Почему в конусе и пирамиде множитель одна треть? Потому что к вершине они сужаются: сечение на высоте уменьшается, и в сумме набирается треть. Строгий вывод в профильном курсе идёт через интеграл. Для пирамиды с квадратным основанием 6 и высотой 4 объём 48, а призма с тем же основанием и высотой дала бы 144, ровно втрое больше.

Что сильнее растёт при увеличении тела, площадь или объём? Объём: он растёт в k³ раз, а площадь в k². Поэтому крупные тела при том же материале имеют относительно меньше поверхности, чем мелкие.

Если ребро куба вдвое больше, он вдвое тяжелее? Нет, в восемь раз, если материал тот же: масса пропорциональна объёму, а объём растёт в 2³ раз.

Как перевести кубические сантиметры в литры? Один литр равен кубическому дециметру, то есть 1000 см³. Бак с внутренними размерами 40 см, 50 см и 60 см вмещает 40 · 50 · 60 = 120 000 см³, это 120 литров. Переводить надо именно объём: делить на 10 или на 100 нельзя.

Как проверить, что ответ в задаче на объём правдоподобен? Сравните с описывающим телом. Конус с радиусом 3 и высотой 4 помещается в цилиндр с тем же основанием и той же высотой, объём которого 36π; у конуса получилось 12π, треть от этого, как и должно быть.