Статика: равновесие и момент силы

Доска лежит на двух опорах, на её конце стоит груз, и нужно найти силу, с которой она давит на одну из опор. Решение умещается в одно уравнение моментов, но ученик пишет три уравнения сразу, получает систему и запутывается на второй строке: ось выбрана неудачно, плечи отмерены до точки приложения силы, а не до линии её действия. Условие равновесия занимает две строки учебника: сумма сил равна нулю, сумма моментов тоже. Баллы теряются на пути от этих двух строк к уравнениям.

Тема короткая, уроков на неё отводят немного, задач в ней немного, и потому она тренируется хуже соседних. Сдающий экзамен в 2027 году проходил правило рычага в седьмом классе (2022/23 учебный год), а условие равновесия с произвольной осью по большинству линеек учебников — в десятом, год назад. На экзамене статика входит в механику; где именно она встретится в варианте, сверяйте по демоверсии года, номеров в этой статье нет сознательно.

Плечо — это перпендикуляр

Момент силы равен произведению силы на плечо, а плечо — расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой сила действует, измеренное по перпендикуляру. Слово «линия» здесь главное. Сила 50 Н приложена к концу стержня длиной 1 м под углом 30° к стержню, ось в другом его конце. Расстояние от оси до точки приложения равно метру, но плечо равно синусу тридцати градусов на метр, то есть 0,5 м, и момент получается 25 Н·м, а не 50. Ученик, который берёт «расстояние на глаз» и умножает на всю силу, ошибается ровно вдвое, и сумма моментов у него не сходится, хотя числа подставлены верно. Тот же результат даёт другой путь: разложить силу на составляющую вдоль стержня и составляющую поперёк. Продольная проходит через ось и момента не создаёт, поперечная равна 25 Н и действует на плече в метр. Если оба способа дают одно и то же, плечо измерено правильно; если нет, то один из чертежей нарисован с ошибкой, и искать её стоит на чертеже, а не в калькуляторе.

Единица момента — ньютон-метр. Размерность та же, что у работы, и на этом месте иногда записывают в ответе «Дж»: это две разные величины, и единицу в ответе стоит проверять отдельной строкой после числа. Подробнее про работу — в статье работа, энергия и мощность.

Со знаками есть способ, при котором их не нужно путать совсем. Не вводить знаки, а записать уравнение двумя частями: слева моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, справа — против. Тогда каждое слагаемое положительное, а вопрос «в какую сторону вращает эта сила» решается при подстановке по чертежу, один раз для каждой силы.

Доска на двух опорах

Однородная доска длиной 4 м и массой 20 кг лежит на двух опорах: левая стоит под левым концом, правая — на расстоянии 1 м от правого конца. На правый конец положили груз 10 кг. Найти силы, с которыми опоры действуют на доску, при g, равном 10 м/с².

Ось удобно провести через левую опору: тогда её неизвестная сила плеча не имеет и в уравнение моментов не входит. Силы, вращающие доску по часовой стрелке: тяжесть доски (200 Н) с плечом 2 м, потому что она приложена в середине, и тяжесть груза (100 Н) с плечом 4 м. Против часовой — сила правой опоры N с плечом 3 м. Получается N · 3 = 200 · 2 + 100 · 4, откуда N ≈ 267 Н. Сумма сил по вертикали даёт левую опору: 300 − 267 ≈ 33 Н.

Типичные ошибки здесь все в плечах. Плечо груза берут равным 1 м, потому что груз стоит «в метре от опоры», а считать нужно от оси, до которой четыре метра. Плечо доски берут равным 3 м, до правой опоры, хотя сила тяжести приложена в середине. И не доводят расчёт до проверки: если груз заменить на 40 кг, левая реакция получится отрицательной, −67 Н. Это не повод искать ошибку в арифметике; доска просто оторвалась бы от левой опоры и опрокинулась, потому что опора толкать умеет, а тянуть нет. Отрицательный результат в задаче на равновесие опор — сигнал, что либо ошибка в плечах, либо задача про опрокидывание.

Ответ можно проверить ещё и другой осью. Проведите её через правую опору и повторите: левая сила получится той же, 33 Н. Совпало — решение верно, и этот приём работает в любой задаче статики, где можно выбрать ось.

Отдельно про запись числа. В решении с осью через левую опору выходит 266,666…, и сколько знаков оставить, зависит от условия: данные здесь даны с двумя-тремя цифрами, поэтому ответ 267 Н не хуже и не лучше записи 266,7 Н. Округлять надо в самом конце. Ученик, который округлил промежуточное значение до 270, получает вторую силу 30 Н вместо 33 и расходится с эталоном уже в краткой части, где число сверяет машина.

Ось, которая убирает лишнее неизвестное

Умение выбрать ось определяет, сколько уравнений придётся решать. Ось проводят через точку, в которой приложена неизвестная сила или несколько: её момент обращается в нуль, и неизвестное из уравнения уходит.

Лестница опирается на гладкую вертикальную стену и шероховатый пол. Сил у неё четыре: тяжесть в середине, реакция стены, перпендикулярная стене, то есть горизонтальная (стена гладкая, трения на ней нет), и две силы от пола — вертикальная реакция и горизонтальное трение. Если провести ось через нижний конец, обе силы от пола уходят из уравнения моментов, и остаётся реакция стены R с плечом L·sin α и тяжесть mg с плечом (L/2)·cos α, где α — угол лестницы с полом. Отсюда R = mg / (2·tg α). Горизонтальные силы равны, значит, трение пола F = R, вертикальные тоже, значит, реакция пола N = mg.

Лестница не соскользнёт, пока F не превышает μN, то есть tg α не меньше 1 / (2μ). При коэффициенте трения 0,4 это угол не меньше примерно 51°. Здесь повторяется ошибка из динамики: трение покоя не равно μN, это его наибольшее значение, и равенство справедливо только на границе. Откуда берётся эта разница, разобрано в статье про законы Ньютона, а здесь достаточно помнить, что равенство подставляют только тогда, когда лестница в предельном положении.

Если направление реакции шарнира или пола неизвестно, её раскладывают на две составляющие, горизонтальную и вертикальную, и вводят две неизвестные. Угадывать направление одной силой, не разложив, — способ получить неверное уравнение моментов, даже при верном чертеже.

Рычаг из седьмого класса и статика из десятого

Правило рычага из седьмого класса (сила на её плечо слева равна силе на плечо справа) работает только в частном случае: две силы, перпендикулярные рычагу, и ось в точке опоры. Многие считают, что знают статику, потому что помнят это правило, и теряются при первой же наклонной силе или при третьем теле на стержне. Моё мнение: правило рычага и условие моментов относительно любой оси стоит учить как два отдельных навыка, а не как один школьный параграф в двух частях, и проверять каждый отдельным заданием.

Забывается тема по двум причинам. Задач на неё немного, поэтому она не повторяется за годы так, как кинематика или законы Ньютона. И в ней нет формулы, которую можно выучить: решение каждый раз собирается заново из чертежа и плеч, а на таком навыке время без практики сказывается быстро. Зато и вернуть его проще всего: типов задач мало, и после десятка разобранных они начинают узнаваться.

Рычаг ничего не выигрывает в работе, и это та связь с энергией, которая в седьмом классе называется золотым правилом механики. Груз 60 Н поднимают рычагом, у которого плечо груза 0,2 м, а плечо приложенной силы 0,6 м: нужна сила 20 Н. Но конец, к которому она приложена, опускается втрое глубже, чем поднимается груз. Груз поднялся на 0,1 м, значит, конец прошёл 0,3 м; работа по подъёму груза 60 · 0,1 = 6 Дж равна работе приложенной силы 20 · 0,3 = 6 Дж. В идеальном рычаге они совпадают, в реальном работа силы больше, и отношение полезной работы к затраченной даёт КПД. К этому закону возвращает статья про работу и энергию.

С другими темами статика сцеплена слабее остальных: ей нужны только силы, которые вы уже знаете. Силы, которые в неё входят, вам уже знакомы по механике девятого класса: тяжесть, реакция опоры, трение. Плавающее тело добавляет ещё одну, и о ней идёт речь в статье давление, Архимед и плавание тел: сила Архимеда приложена в центре вытесненного объёма, и устойчивость плавания тоже записывается через моменты. В обзоре разделов школьной физики статика стоит рядом с динамикой, но отдельной ветвью.

С чего начинать, если не идёт

Двигаться стоит по ступеням, и каждую проверять собственным числовым ответом. Рычаг с двумя грузами и осью посередине. Рычаг с осью смещённой, так что плечи неодинаковы. Доска на двух опорах с грузом, как выше. Лестница у стены. Только после этого имеет смысл брать задачи с наклонной силой и с блоками, где статика сцеплена с законами Ньютона.

Для развёрнутого решения полезно приучить себя к одной записи: сначала словами называется ось, относительно которой записаны моменты, потом идёт условие равновесия, потом числа. Как оформляют вторую часть и чем она отличается от краткой, написано в статье что входит во вторую часть ЕГЭ по физике и химии, а как устроена вся работа — в структуре ЕГЭ по физике.

Репетитор по физике в каталоге:

• репетиторы по физике
• репетиторы по физике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса

Вопросы и ответы

Можно ли проводить ось через любую точку? Да, и в равновесии результат от этого не зависит. Выбирают так, чтобы неизвестная сила попала на ось.

Что делать, если реакция опоры получилась отрицательной? Сначала перепроверить плечи: чаще всего ошибка в них. Если плечи верны, то задача про опрокидывание, и равновесия в заданной конфигурации нет: опора может толкать тело, но не тянуть его.

Какие слова в условии подсказывают, что это статика? «Покоится», «находится в равновесии», «не опрокидывается», «не соскальзывает», «в состоянии покоя». Если сказано «движется с ускорением», это уже динамика, и сумма сил в ней не равна нулю.

Центр тяжести всегда в середине? Только у однородного симметричного тела. Если на стержне есть груз или он состоит из двух материалов, центр тяжести смещается, и его положение либо даётся в условии, либо находится отдельным расчётом через моменты частей. Заменять неоднородный стержень точкой посередине — частая и дорогая ошибка.