Текстовая задача второй части ОГЭ по математике

В текстовой задаче алгебра начинается со слов. Условие приходит сюжетом: лодка на реке, велосипедист, две трубы, колба с раствором, и первое дело девятиклассника — перевести этот сюжет в уравнение. Готовое уравнение он решает почти всегда. Баллы уходят раньше и позже решения: на переводе, когда за неизвестное взято неудобное или не то, и на последней строке, где вместо ответа записано промежуточное число.

Сколько таких заданий в работе, как они оцениваются и какие сюжеты реально встречаются в демоверсии 2027 года, я здесь не утверждаю. Это проверяется по спецификации и критериям ФИПИ на ваш год; памяти репетитора и обзорам в интернете в таких вопросах верить нельзя. Четыре условия ниже придуманы для статьи, числа в них подобраны так, чтобы считать было удобно, и повторяют лишь устройство сюжетов, которые есть в школьных сборниках: движение и работа, проценты и смеси. Читать удобно вдвоём, ученику и родителю: родитель после этого проверит тетрадь без собственного решения задачи, ученик увидит, на что в записи смотрит проверяющий.

Что выписать до уравнения

Составление уравнения лучше разбить на короткие вопросы к самому себе, на которые можно ответить прямо в тетради. Они одни и те же для любого сюжета:

• что принято за неизвестное и в каких единицах оно измеряется;
• какие величины известны из условия и в тех ли они единицах, что неизвестное;
• какое равенство связывает данные: общий путь, суммарное время, вся работа равна единице, масса вещества сохраняется;
• какие значения неизвестного не имеют смысла, например отрицательное время или скорость больше скорости лодки;
• о чём спрашивается в самом конце условия.

Пятый пункт легко пропустить, потому что к последней строчке условия приходишь уже уставшим. Выпишите вопрос заранее, ещё до уравнения, и пусть он лежит на виду. Для задач на движение удобна строка из трёх величин: скорость, время, путь, по одной на каждый участок. На сайте таблиц нет, но на листе она пригодится: пустая клетка сразу показывает, что данных для уравнения не хватает.

Лодка и течение

Условие: собственная скорость лодки 8 км/ч, по течению реки она прошла 15 км и столько же против течения, затратив на весь путь 4 часа. Найдите скорость течения.

Пусть x км/ч — скорость течения. Тогда по течению лодка идёт со скоростью 8 + x, против течения — 8 − x. Время равно пути, делённому на скорость, и сумма времён даёт уравнение 15/(8 + x) + 15/(8 − x) = 4. Умножим обе части на (8 + x)(8 − x): получится 15(8 − x) + 15(8 + x) = 4(64 − x²), то есть 240 = 256 − 4x², и x² = 4. Корни: 2 и −2. Скорость течения положительна, значит, подходит 2. Проверка занимает минуту: по течению лодка идёт 10 км/ч и тратит 1,5 часа, против — 6 км/ч и 2,5 часа, вместе четыре.

Ошибаются здесь в двух местах. Первое — скорости и единицы: по течению течение к собственной скорости прибавляется, против вычитается, а минуты приходится переводить в часы, о чём подробнее ниже. Второе — отрицательный корень: в ответ он не попадает, но об этом нужно сказать словами, просто вычеркнутый он оставляет вопрос. Фраза «скорость течения положительна» занимает пять секунд и показывает проверяющему, что вы отбрасываете корень сознательно.

Минуты и часы: путь туда и обратно

Условие: велосипедист проехал 30 км из A в B, а возвращался по той же дороге со скоростью на 3 км/ч меньше и потратил на обратный путь на 30 минут больше. Найдите его скорость на пути из A в B.

Пусть x км/ч — скорость на пути туда. Обратно она x − 3. Разность времён равна получасу, и в уравнение она входит как 1/2 часа, потому что скорость измерена в километрах в час: 30/(x − 3) − 30/x = 1/2. Домножаем на 2x(x − 3): 60x − 60(x − 3) = x(x − 3), то есть 180 = x² − 3x и x² − 3x − 180 = 0. Дискриминант 9 + 720 = 729, это 27 в квадрате, корни (3 + 27)/2 = 15 и (3 − 27)/2 = −12. Подходит 15. Для проверки найдите оба времени: туда 2 часа, обратно 30/12 = 2,5 часа, разность как раз полчаса.

Такой сюжет полезен тем, что в нём собираются сразу две привычные ошибки: единицы и условие на знаменатель. Скорость на обратном пути должна быть положительной, значит, x больше 3, и это ограничение стоит записать до решения, как для дробного уравнения в статье про алгебраическую задачу.

Две трубы и корень, которого быть не может

Условие: две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 6 часов, причём первая одна наполняет его на 5 часов быстрее, чем одна вторая. За сколько часов наполнит бассейн первая труба?

Спрашивают про первую, поэтому я бы взял за x именно её время: x часов у первой трубы, x + 5 у второй. В час первая наполняет 1/x бассейна, вторая 1/(x + 5), вместе 1/6. Уравнение 1/x + 1/(x + 5) = 1/6 умножается на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), откуда x² − 7x − 30 = 0. Дискриминант 49 + 120 = 169, корни (7 + 13)/2 = 10 и (7 − 13)/2 = −3. Время отрицательным не бывает, ответ 10 часов. Проверка: 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6.

Тот же сюжет можно записать иначе, взяв за t время второй трубы. Получится t² − 17t + 30 = 0 с корнями 15 и 2, и корень 2 отбрасывается лишь потому, что тогда у первой трубы выходит t − 5 = −3 часа. Отбросить его труднее, чем −3 в первом решении, а главное, в тетради остаётся число 15, и в ответ его вписывают, потому что оно «получилось». Вопрос же был про первую трубу. Отсюда мой совет, с которым можно поспорить: если уравнение от этого не усложняется, берите за неизвестное ту величину, о которой спрашивают. В последней строке остаётся написать «10 часов».

Раствор: проценты не складываются

Условие: смешали 10-процентный и 30-процентный растворы одного вещества и получили 200 граммов 15-процентного раствора. Сколько граммов каждого взяли?

Пусть x граммов 30-процентного раствора, тогда 10-процентного 200 − x. Складываются не проценты, а массы чистого вещества: 0,3x + 0,1(200 − x) = 0,15 · 200. Это 0,2x + 20 = 30, x = 50. Значит, взяли 50 граммов 30-процентного и 150 граммов 10-процентного. Проверка: 15 + 15 = 30 граммов вещества на 200 граммов смеси, это и есть 15 процентов.

Типичный промах в таких задачах — записать в левую часть проценты как числа: 10 + 30 = 40. Уравнение, где они сложены, решение даст, но чужое.

Оценить ответ можно ещё до подстановки. Пятнадцать процентов лежат между десятью и тридцатью и ближе к десяти, значит, слабого раствора должно быть больше: 150 граммов против 50 так и выходит. Если бы вышло наоборот, ошибку стоило бы искать сразу. Те же рассуждения работают для сплавов и для задач о цене смеси двух сортов конфет, где вместо вещества в растворе стоит стоимость.

Когда уравнение не составляется

Бывает, что условие прочитано трижды, а уравнения нет. Лучшее, что можно сделать, — перестать искать общий вид и посчитать частный случай. Для лодки предположите, что течение равно 1 км/ч, и вычислите время в обе стороны: по течению лодка идёт 9 км/ч, против 7, и выходит 15/9 и 15/7 часа. Уже в этой минуте видно, какие действия вы делали, а их-то и нужно записать с буквой вместо единицы. Способ работает для любого сюжета, и дома стоит отрабатывать его на задачах из первой части, где ответов много, а ставки низкие.

Если запас сил остаётся, можно прийти от одного уравнения к системе с двумя неизвестными: она нередко проще по записи, хотя решать её дольше. Принимается ли такой путь на экзамене, зависит от критериев, и в общем положении они допускают любой верный и обоснованный способ (сверьте формулировку в документе вашего года).

Как тренироваться и с кем

Текстовые задачи лучше брать после алгебраических: сначала уравнения, неравенства и системы, где запись ещё не усложнена сюжетом, потом сюжеты. Иначе трудность перевода и трудность решения накладываются, и непонятно, над чем работать. Следом идёт задача с графиком, в ней уравнения опять другого рода. Общую картину работы смотрите в статье про структуру ОГЭ по математике, а про остальные предметы — в обзоре устройства вариантов ОГЭ.

Те же сюжеты вернутся, если пойдёте в десятый класс и будете сдавать профильный ЕГЭ: текстовые задачи там есть, а какие и под какими номерами, сверяйте по демоверсии года. Умение составлять уравнение тогда пригодится ещё раз, и начало ему положено в девятом классе.

Хороший ритм занятий такой: одна задача каждого сюжета в неделю, решённая полностью и записанная начисто, и проверка вслух. Ученик читает свою запись так, будто видит её впервые, и останавливается там, где сам не понимает, откуда взялась строка. Такая работа даёт больше, чем россыпь задач, решённых в уме.

Репетитор здесь нужен тем, у кого решение получается, но на этапе «придумать уравнение» тратится полчаса. Это лечится разбором, где репетитор ведёт ученика вопросами и не подсказывает ответ, и подборкой разных сюжетов подряд.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Нужно ли писать «пусть x — …»? Да, и с единицами: «пусть x км/ч — скорость течения». Без этой строки проверяющему приходится угадывать, что означает буква.

Что делать, если в ответе получилась дробь? Для времени и скорости дробь нормальна, девять десятых часа — обычное время. Если же искали число людей, деталей или книг, дробь говорит об ошибке в уравнении или в чтении условия, и решение стоит пересмотреть с первой строки: подгонять ответ нельзя.

Можно ли решать системой из двух уравнений? Критерии в целом оценивают верное и обоснованное решение, каким бы способом оно ни получилось, но это стоит сверить в документе вашего года. Систему я бы брал, когда одно уравнение выходит громоздким. Иначе запись только удлиняется.

Что делать с незнакомым сюжетом? Любой сюжет сводится к равенству двух выражений для одной и той же величины. Найдите эту величину: общий путь или общую работу.