Алгебраическая задача второй части ОГЭ

Уравнение, система или неравенство во второй части ОГЭ почти никогда не требуют приёма, которого нет в программе седьмого — девятого классов: вынести общий множитель, сгруппировать слагаемые, ввести новую переменную, разложить на множители. Трудность лежит в другом месте. Решение читает чужой человек, ему нужно видеть каждый переход, и три корня, найденные в уме, ничего не стоят, пока на бумаге нет строк, из которых они получились.

Пишу для девятиклассника, который алгебру первой части уже решает уверенно, и для родителя, которому приходится проверять тетрадь и решать, что в ней считать ошибкой. Какая именно форма задания попадётся в вашем году, показывает демоверсия ФИПИ: для выпускников 2027 года нужны материалы 2027-го на сайте института. Номер задания, число баллов и время работы я не называю, пока вы не сверили их с документом своего года, любое число из статьи или из чужого пересказа может оказаться прошлогодним. Условия ниже придуманы мной и в вариантах не встречаются; приёмы в них школьные.

Из чего выбирают условие

Само умение, которое проверяется, в школьном курсе называется просто: решать уравнения, неравенства и системы. Под этим названием прячется несколько разных заготовок, и каждую стоит разобрать хотя бы по разу:

• кубическое или биквадратное уравнение, которое раскладывается на множители группировкой или заменой переменной;
• уравнение с дробями, где корень числителя может обнулить знаменатель;
• система из линейного уравнения и уравнения второй степени, решаемая подстановкой;
• неравенство, решаемое методом интервалов, в том числе дробное.

В одном варианте все четыре не встретятся, и какая заготовка достанется именно вам, угадать нельзя. Зато растут они из тем восьмого и девятого классов: квадратные уравнения, рациональные дроби, неравенства. Если в этих темах есть дыра, её сначала закрывают на задачах из алгебры первой части, и только потом берутся за запись.

Группировка и потерянный корень

Условие такого типа: решите уравнение x³ + 2x² − 9x − 18 = 0. Первые два слагаемых делят общий множитель x², вторые два делятся на 9, и после вынесения получается x²(x + 2) − 9(x + 2) = 0. Теперь общий множитель — скобка (x + 2), уравнение превращается в (x + 2)(x² − 9) = 0, а вторая скобка раскладывается как разность квадратов: (x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0. Корни: −2, 3 и −3. Проверка подстановкой занимает полминуты: при x = 3 выходит 27 + 18 − 27 − 18 = 0, остальные два проверяются так же.

Ломается это решение в одном месте, и оно у многих одно и то же. Ученик, которому группировка в голову не пришла, переносит слагаемые и видит скобку (x + 2) с обеих сторон. Он делит обе части на неё, получает x² = 9 и записывает два корня. Корень −2 исчез вместе со скобкой. Делить на выражение с переменной можно, только если отдельно разобран случай, когда оно равно нулю; проще перенести всё в левую часть и вынести общий множитель за скобку. Правило для тетради: после слова «разделим» стоит оговорка, что делитель не равен нулю, и рядом вторая ветка для случая, когда он нулю равен. Сколько снимут за потерянный корень, сказано в критериях вашего года, но ответ из двух корней вместо трёх полным не будет в любом случае.

Если группировка не видна, помогает другой ход: подобрать корень среди делителей свободного члена и разложить многочлен на множители. Для этого же уравнения подходит число −2, и дальше всё происходит само.

Биквадратное уравнение: замена и возвращение

Уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0 выглядит страшнее, чем оно есть. Обозначьте x² буквой t, и получится t² − 5t + 4 = 0 с корнями 1 и 4. Теперь важнее всего вернуться к исходной переменной: x² = 1 даёт x = 1 и x = −1, x² = 4 даёт x = 2 и x = −2, всего четыре корня. Ученик, остановившийся на t, отвечает «1 и 4», и этим ответом решено совсем другое уравнение.

Вторая ловушка тише. В уравнении x⁴ + x² − 6 = 0 замена даёт t² + t − 6 = 0 и t = 2 или t = −3. Вторая ветка корней не даёт, потому что квадрат числа отрицательным не бывает, и такую ветку стоит закрыть фразой «x² = −3 решений не имеет». Молча пропущенная, она оставляет читающего гадать, куда делся второй корень t. В ответ идут x = √2 и x = −√2.

Дробь, из-за которой появляется лишний корень

Уравнение x/(x − 2) = 8/(x² − 4) школьники решают по знакомой схеме. Знаменатель второй дроби раскладывается как (x − 2)(x + 2), обе части умножаются на общий знаменатель, и остаётся x(x + 2) = 8, то есть x² + 2x − 8 = 0. Корни этого уравнения: −4 и 2. Если на этом остановиться, ответ будет двумя числами, и он неверен.

Число 2 обращает в нуль знаменатель исходной дроби, значит, уравнение его не принимает; появился он потому, что мы умножили обе части на выражение, которое при x = 2 обнуляется. Остаётся x = −4. Подставьте: слева −4/(−6), то есть 2/3, справа 8/12, тоже 2/3.

Удобнее всего поставить условие в самом начале решения: «x ≠ 2 и x ≠ −2», сразу под строкой с уравнением. Тогда лишний корень вычёркивается одной фразой, а проверяющий видит, что об ограничении вы знали с самого начала. Лишний корень отсекается ещё до вычислений, и подставлять его потом не нужно.

Система и неравенство: пары и промежутки

Система y − x = 1 и x² + y² = 25 решается подстановкой. Из первого уравнения y = x + 1, подставляем во второе: x² + (x + 1)² = 25, дальше 2x² + 2x − 24 = 0 и x² + x − 12 = 0, откуда x = 3 или x = −4. Ответ записывается парами: (3; 4) и (−4; −3). Многие останавливаются на значениях x, потому что на них интерес к решению пропадает. Вопрос же задан про пары.

Неравенство (x − 1)(x + 3)(x − 5) < 0 решается методом интервалов. Нарисуйте числовую прямую, отметьте на ней точки −3, 1 и 5 и расставьте знаки: правее самой большой точки произведение положительно, и дальше знаки чередуются. Отрицательное произведение получается левее −3 и между 1 и 5, поэтому ответ: x < −3 или 1 < x < 5.

Главные потери здесь случаются в записи ответа. Запись «−3 > x > 1» ничего не означает: такого числа нет. Включать концы в строгом неравенстве нельзя. Если неравенство нестрогое, точка из числителя входит в ответ, а точка из знаменателя не входит никогда: для (x − 1)/(x + 3) ≤ 0 получается −3 < x ≤ 1, и концы промежутка записаны по-разному. Ответ записывается промежутками или неравенствами и совпадает с тем, что нарисовано на прямой; саму прямую стоит перенести в чистовик, потому что по ней читающий проверяет знаки.

Запись, которую приятно проверять

Проверяющий идёт по вашему листу сверху вниз и хочет понимать, что произошло между двумя соседними строками. Поэтому одна строка — одно действие. Цепочка из пяти преобразований, нанизанная через знаки равенства в одну строку, экономит место и ломает чтение: ошибка в ней неуловима, а вместе с ней под сомнение попадает всё, что стоит дальше. Условия на переменную, если они есть, ставятся над решением. Слов «значит» и «следовательно» не жалейте: две-три связки на задание облегчают чтение заметно, а вам стоят секунды.

Отдельно о дискриминанте, на котором арифметика ломается чаще всего. В уравнении 2x² − 7x + 3 = 0 коэффициент b равен −7, и в формуле D = b² − 4ac он стоит в квадрате: 49 − 24 = 25. Минус перед семёркой в квадрате исчезает. Ученик, который пишет −49 − 24, получает отрицательный дискриминант и объявляет, что корней нет, хотя они есть: 3 и 1/2. Проверка подстановкой здесь ловит ошибку мгновенно.

Ответ ставится отдельной строкой в том виде, который просит задание: корни, пары чисел, промежуток. Если в условии просили указать наименьший корень, ответом будет одно число, весь набор корней записывать уже не нужно.

С чего начинать и когда нужна помощь

Если выбирать, с какого задания второй части начинать, я бы выбрал это. Приёмы здесь школьные, потери во многом лечатся дисциплиной записи, а новая теория почти не нужна, и прогресс заметен раньше, чем в геометрии. Дальше по сложности идёт текстовая задача: в ней те же уравнения, только составить их предстоит самому. Сильная алгебра при этом не заменяет геометрию, и об этом полезно помнить заранее: условия, на которых держится отметка, в разборе структуры работы описаны подробнее, а как готовить геометрию, смотрите в статье про геометрию первой части.

Работать над записью можно и самому: решили, закрыли тетрадь, на следующий день перечитали как чужое и пометили места, где непонятно, откуда что взялось. Репетитор нужен, когда ученик решает верно, а потери идут стабильно и причина не находится, или когда в восьмом классе тема была пройдена мимо. Устройство вариантов по другим предметам собрано в статье про ОГЭ в целом.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Нужна ли проверка подстановкой, если решение кажется верным? Для уравнения без дробей она занимает полминуты и ловит арифметику. Требует ли её критерий вашего года, смотрите в документе, но делать её я советую всегда.

Что делать, если не удаётся разложить многочлен на множители? Подберите корень среди делителей свободного члена: для уравнения x³ + 2x² − 9x − 18 = 0 это ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, и подходит −2. Затем запишите разложение в виде (x + 2)(x² + bx + c) и найдите b и c, раскрыв скобки и сравнив коэффициенты. Способ долгий, поэтому группировку ищите первой.

Достаточно ли записать ответ, если система простая? Нет: в задании с записью решения ответ без хода полного балла, скорее всего, не получит. Точный порядок оценивания указан в критериях.

Можно ли решить уравнение графически? Рисунок подсказывает корни, но подтвердить их всё равно придётся вычислением: что именно примет проверяющий, смотрите в критериях. Для уравнения с целыми корнями рисунок годится как способ проверки, и пользоваться им стоит именно так. Если же корни получаются нецелыми, график найдёт их лишь приблизительно, а ответ нужен точный.