Алгебра в первой части ОГЭ по математике

Уравнение x в квадрате равно пяти x выглядит безобидно. Девятиклассник делит обе части на x, получает x равно пяти и спокойно пишет ответ. Корень потерян: решений два, ноль и пять, и в задании, где просят указать меньший из корней, верный ответ как раз ноль. Ученик не ошибся в арифметике и не забыл формулу, он просто сократил на величину, которая может оказаться нулём. Алгебра первой части почти вся устроена так: знаний хватает, а срывается на одном шаге, который казался очевидным.

Для родителя полезно иметь в голове именно эту картину. Раздел ругают за «сложность», но сложного в нём мало. Здесь несколько типов заданий (точное число и порядок смотрите в демоверсии вашего года, в статье номера не названы), у каждого есть свои ловушки, и после первого проработанного круга они перестают быть неожиданностью. Дальше идут типы и их ловушки по очереди, а для общей картины работы есть разбор устройства ОГЭ по математике.

Уравнения

Линейные уравнения даются без труда почти всем, и потери здесь случаются из-за знака при переносе слагаемого и из-за скобок: раскрыв скобку со знаком минус перед ней, меняют знак только у первого слагаемого. С квадратными картина богаче. Неполные квадратные (x в квадрате равно девяти, x в квадрате плюс пять x равно нулю) решаются без дискриминанта, а ученик, выучивший общую формулу как единственную, тратит на них заметно больше времени и чаще ошибается в вычислениях. Вынесение x за скобку и разложение на множители, пока они возможны, надёжнее дискриминанта.

Для полных квадратных уравнений стоит держать под рукой теорему Виета. Для x в квадрате минус семь x плюс десять равно нулю сумма корней равна семи, произведение десяти, корни два и пять находятся подбором за несколько секунд. Если же подбор не идёт, считайте дискриминант. Ошибаются в нём чаще всего на знаке: коэффициент b отрицателен, его возводят в квадрат, а потом из результата вычитают учетверённое произведение a на c, и минусы сталкиваются.

Дробные уравнения добавляют новую обязанность: выяснить, при каких значениях знаменатель обращается в ноль. Уравнение «x в квадрате минус девять, делённое на x плюс три, равно нулю» после разложения числителя даёт два кандидата, три и минус три, но минус три обнуляет знаменатель, поэтому остаётся одно решение. Ученик, который эту проверку не сделал, напишет два корня или сложит их, и в обоих случаях потеряет задание.

Отдельно о вопросе, который стоит над уравнением. «Меньший из корней» и «сумма корней» дают разные ответы к одному и тому же уравнению, а решает ученик обычно сразу и находит оба корня. Подчеркните вопрос на пробнике карандашом перед решением, и часть бытовых промахов исчезнет: ответ будет взят из верного места.

Ещё одна страховка — подстановка. Найденный корень ставят в исходное уравнение, не в преобразованное, и убеждаются, что обе части равны. Это занимает меньше минуты и спасает от посторонних корней в дробных уравнениях, о которых выше.

Неравенства и промежутки

Решение линейного неравенства повторяет решение уравнения с одной поправкой, которая и губит: умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Девятиклассник знает об этом правиле и всё равно забывает в тот момент, когда делит минус два x больше шести на минус два. Хорошая привычка — проверить ответ подстановкой: выберите число из получившегося промежутка и подставьте в исходное неравенство, потом число из соседнего промежутка. Первое должно подойти, второе нет, и вся проверка занимает полминуты.

Ответ в таких заданиях обычно связан с числовой прямой: среди рисунков или промежутков нужно выбрать тот, что соответствует решению (вид ответа смотрите в демоверсии вашего года). Здесь работают два правила. Строгое неравенство даёт выколотую точку и круглую скобку, нестрогое закрашенную точку и квадратную скобку. А неравенство вида «x больше двух» отвечает на вопрос «где правее двух», то есть луч уходит вправо; перепутать сторону ученики умудряются даже после верного решения, поэтому направление луча стоит назвать вслух.

Если встречается квадратное неравенство, помогает схематический рисунок параболы. Ветви вверх, корни отмечены на оси, значения выше нуля лежат снаружи от корней, ниже нуля между ними. Рисунок рисуется за десять секунд, а без него знак промежутка угадывается, и угадывается чаще неверно.

Выражения и расчёты по формулам

В этих заданиях обычно нужно упростить выражение и подставить число или вычислить величину по готовой формуле. Всё держится на формулах сокращённого умножения: квадрат суммы равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго. Забытым оказывается именно удвоенное произведение: ученик пишет «a в квадрате плюс b в квадрате» и получает неверный ответ с лёгкой душой. Покажу типичную ловушку на выражении: квадрат суммы a плюс три минус квадрат разности a минус три. Раскрываем: a² + 6a + 9 минус (a² − 6a + 9). Минус перед второй скобкой меняет знак у всех трёх слагаемых, и остаётся 6a + 6a = 12a. Ученик, поменявший знак у первого слагаемого скобки, получает просто 18, и число без буквы его даже не смущает. Совет один: раскрывая скобку с минусом, ставьте стрелочку к каждому слагаемому.

Разность квадратов запоминается лучше, и работает она в обе стороны: её применяют и для разложения, и для сокращения дроби.

С формулами, взятыми из физики или экономики, происходит другая история. Условие даёт буквенную запись и два-три числа, а задача сводится к подстановке. Ошибаются на единицах: в формулу ставят и метры, и сантиметры, не заметив разницы. Подстановку лучше делать в два хода: сначала переписать формулу, заменив буквы числами и сохранив скобки, потом считать. Если требуется выразить одну величину через другие, помогает правило: то, что нужно оставить, переносят в одиночку на одну сторону, а всё остальное делят или вычитают по порядку, обратному порядку действий в формуле.

Упрощать выражение до подстановки или подставлять сразу? Когда числа неудобные, упрощайте: после упрощения часто остаётся короткое выражение, в котором считать нечего. Когда числа удобные, подставляйте. Ориентируйтесь на то, что быстрее и меньше шансов ошибиться, а не на то, как принято в учебнике.

Графики и последовательности

В заданиях на графики обычно нужно сопоставить формулу и рисунок или узнать по картинке коэффициенты. Для прямой смысл коэффициентов такой: число перед x задаёт наклон (положительное — график идёт вверх слева направо), свободный член показывает, где прямая пересекает ось y. У параболы вверх или вниз смотрят ветви по знаку старшего коэффициента. У гиперболы всё зависит от знака числа в числителе: положительное оставляет ветви в первой и третьей четвертях, отрицательное во второй и четвёртой. Полезный приём — подставить в формулу две точки и посмотреть, лежат ли они на графике: надёжнее, чем рассуждать о наклоне.

Последовательности — арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулу арифметической знают почти все: n-й член равен первому члену плюс (n минус один), умноженное на разность. И почти все теряют единицу, подставляя n вместо n минус один. Для геометрической тот же сдвиг в показателе степени: n-й член равен первому, умноженному на знаменатель в степени n минус один. Проверка проста: при n равном единице должен получиться первый член, а если получился другой, формула применена неверно.

Как построить подготовку

Алгебра первой части решается тренировкой по типам: набирается порция однотипных заданий, а затем идёт разбор тетради ошибок. Вот порядок, который работает у большинства:

• сначала линейные и квадратные уравнения, потому что на них держатся остальные темы;
• затем неравенства с рисунком промежутка и формулы;
• после этого графики функций и прогрессии, где нужно вспоминать правила;
• параллельно с первыми тремя пунктами вести тетрадь ошибок и раз в неделю её перечитывать;
• в конце смешанные варианты, где типы идут вперемешку и нужно распознавать их самому.

Раньше всего в плане стоят уравнения, и это моя позиция, с которой можно спорить: многие начинают с графиков, потому что они «интереснее», и обнаруживают в феврале, что квадратные уравнения решаются медленно. Скорость здесь определяется количеством сделанных упражнений, обходного пути нет.

Родителю в этой работе не нужно разбираться в уравнениях. Достаточно раз в неделю просить показать тетрадь ошибок и спросить, какая разновидность ошибки повторилась чаще всего. Если одна и та же, значит, тренировка идёт не туда, и менять надо задания, а не усилие. Осенью девятого класса, пока школа повторяет курс, этого хватает; к весне темп приходится поднимать, и тогда пробные варианты на время становятся главным инструментом.

Нужен ли репетитор? Для алгебры первой части в большинстве случаев нет: учебник, сборник заданий с ответами и тетрадь ошибок решают задачу. Репетитор нужен там, где ученик не понимает, почему так делается, а не там, где он ошибается в вычислениях. Если после объяснения ребёнок снова теряет корень при сокращении, разбор у человека экономит недели. Понимание быстро проверяется на пробном занятии. А если алгебра первой части идёт хорошо, следующий шаг — алгебраическая задача второй части, где оценивается уже запись решения. Если же алгебра идёт, а геометрия нет, о ней — следующая статья. Вычислительные основания (дроби, знаки, степени) разобраны в статье о числах и вычислениях, и если там проблемы, начинать надо с неё.

В профильной математике ЕГЭ алгебра станет заметно тяжелее, и подготовка к ней опирается на привычки, которые закладываются именно сейчас: структура ЕГЭ по профильной математике показывает, куда ведёт этот курс. Общий обзор экзамена по всем предметам собран в материале «ОГЭ: как устроены варианты по всем предметам».

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• репетиторы по математике с пробным занятием
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ
• репетиторы для 9 класса

Вопросы и ответы

Можно ли пропустить прогрессии и графики и взять баллы на остальном? Возможно, если цель только сдать, но решать это нужно заранее и по шкале вашего года (шкалу смотрите в документах ФИПИ и порядке проведения). Прогрессии при этом учатся быстрее остальных тем: две формулы и проверка при n равном единице. Если что-то и пропускать, то в последнюю очередь не их.

Ребёнок решает дома верно, а на пробнике делает ошибки. Почему? Скорее всего, дело в темпе и в том, что дома можно сколько угодно стирать и переписывать, а на пробнике на это нет времени. Попробуйте решать в тетради без ластика: зачёркнутое остаётся на странице, и по следам потом видно, какие шаги вызывают сомнение. Если ошибки не уходят и после этого, значит, пробел в знаниях, а нервы ни при чём.

Нужен ли дискриминант, если есть теорема Виета? Нужен: Виета работает, когда корни целые и подбираются, а когда корни нецелые, остаётся только дискриминант. Учите обе техники и начинайте с Виета.

Сколько заданий в день решать? Столько, чтобы после разбора ошибок хватило сил записать выводы. Для одного это порядок десяти, для другого пять, и называть универсальное число я не стану: оно ничем не подкреплено.

Как быстро убедиться, что корень найден верно? Подставьте его в исходное уравнение.