Текстовые задачи на движение, работу и смеси

Эти три вида задач пугают одинаково: условие длинное, чисел много, и непонятно, с чего начинать. Ученик, который решает уравнения без ошибок, на словесной задаче вдруг останавливается. Дело в том, что решать тут нечего, пока условие не переведено на язык математики: сначала слова превращаются в уравнение, и только потом идёт знакомая алгебра. Хорошая новость в том, что у трёх видов задач одна и та же схема, и её можно выучить. Ниже по несколько задач на каждый вид, а в конце — задача про два сосуда с кислотой, похожая на экзаменационные, и порядок заданий профильного экзамена можно сверить по разбору его структуры.

Три величины, которые связаны произведением

В каждой из этих задач есть три величины, и одна равна произведению двух других. В задачах на движение путь равен скорости, умноженной на время: s = v × t. В задачах на работу объём работы равен производительности, умноженной на время: A = p × t. В задачах на смеси масса чистого вещества в растворе равна массе раствора, умноженной на концентрацию, то есть на долю вещества.

Отсюда практический приём. Прежде чем писать уравнение, выпишите для каждого участника задачи эти три величины: две известны из условия или выражаются через неизвестное, третья считается произведением. Условие превращается в несколько коротких строк, и уравнение возникает из того, что что-то в этих строках одинаково: общий путь, общее время, общий объём работы, общая масса вещества.

За неизвестное x удобнее брать то, о чём спрашивают в вопросе. Но если из-за этого дробей становится много, берите то, через что выражается всё остальное, а ответ находите после; это моё рабочее правило, в учебнике его нет, и бывают задачи, в которых оно проигрывает.

Задачи на движение

Встречное движение. Два города на расстоянии 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля со скоростями 80 и 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Пока оба в пути, расстояние между ними сокращается со скоростью 80 + 60 = 140 км/ч, значит, встреча через 420 : 140 = 3 часа. Проверка: за 3 часа первый проехал 80 × 3 = 240 км, второй 60 × 3 = 180 км, вместе 420 км.

Движение вдогонку. Из города выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч, через час вслед за ним выехал второй со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после своего выезда второй догонит первого? К моменту выезда второго первый уже уехал на 60 км. Дальше расстояние сокращается со скоростью 80 − 60 = 20 км/ч, значит, догнать второй сможет за 60 : 20 = 3 часа. Проверка: второй проехал 80 × 3 = 240 км, а первый ехал на час дольше, 4 часа, и проехал 60 × 4 = 240 км.

Движение по реке. Катер прошёл 36 км по течению и 36 км против течения за 5 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера, то есть скорость в стоячей воде. Пусть она равна v км/ч. По течению катер идёт со скоростью v + 3, против течения со скоростью v − 3, и время складывается: 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 5. Умножаем обе части на (v + 3)(v − 3), знаменатели при этом не нулевые, потому что v должно быть больше 3, иначе против течения катер не пройдёт: 36(v − 3) + 36(v + 3) = 5(v² − 9). Слева 72v, справа 5v² − 45, получаем 5v² − 72v − 45 = 0. Дискриминант 72² + 4 × 5 × 45 = 5184 + 900 = 6084 = 78², корни v = (72 + 78) : 10 = 15 и v = (72 − 78) : 10 = −0,6. Скорость не бывает отрицательной, значит, подходит только 15. Проверка: по течению 36 : 18 = 2 часа, против течения 36 : 12 = 3 часа, вместе 5.

Отдельное место, где ошибаются почти все: средняя скорость. Туда автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, обратно по тому же пути со скоростью 40 км/ч. Среднее арифметическое 50 здесь не подходит. Пусть путь в одну сторону 120 км: туда 120 : 60 = 2 часа, обратно 120 : 40 = 3 часа, всего 240 км за 5 часов, и средняя скорость 240 : 5 = 48 км/ч. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, и ни на что другое делить нельзя.

Задачи на работу

Весь объём работы принимают за единицу, а производительность — это доля работы, выполняемая за единицу времени. Если один человек выполняет заказ за 12 дней, его производительность 1/12 заказа в день.

Пример. Одна труба наполняет бассейн за 12 часов, вторая за 4 часа. За сколько часов они наполнят его вместе? Производительности складываются: 1/12 + 1/4 = 1/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3 бассейна в час, значит, на весь бассейн нужно 3 часа. Проверка: за 3 часа первая труба нальёт 3/12 = 1/4 бассейна, вторая 3/4, вместе ровно один бассейн.

Если труба не наполняет, а выпускает воду, её производительность вычитается. Наполняющая труба справляется за 6 часов, выпускающая опорожняет полный бассейн за 18. Сколько часов нужно, чтобы заполнить бассейн при открытых обеих? Чистая производительность 1/6 − 1/18 = 3/18 − 1/18 = 2/18 = 1/9 бассейна в час, то есть 9 часов. Проверка: за 9 часов налилось 9/6 = 1,5 бассейна, вытекло 9/18 = 0,5, остаётся ровно 1.

Обратная задача. Два мастера вместе делают заказ за 6 дней. Один мастер справился бы один на 5 дней быстрее, чем другой. За сколько дней сделал бы заказ каждый? Пусть первый тратит x дней, тогда второй x + 5. Производительности 1/x и 1/(x + 5), вместе они дают 1/6: 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), откуда x² − 7x − 30 = 0. Дискриминант 49 + 120 = 169 = 13², корни x = (7 + 13) : 2 = 10 и x = (7 − 13) : 2 = −3. Дни не бывают отрицательными, значит, первый справится за 10 дней, второй за 15. Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6, то есть вместе за 6 дней.

Задачи на смеси и растворы

Здесь есть один приём, который избавляет почти от всех ошибок: считайте не раствор, а чистое вещество в нём. Масса вещества равна массе раствора, умноженной на концентрацию, записанную в долях: 12 процентов превращаются в 0,12. Сколько соли в 300 граммах 12-процентного раствора? 300 × 0,12 = 36 граммов.

Смешивание. Смешали 200 граммов 10-процентного раствора и 300 граммов 20-процентного. Какой стала концентрация? Вещества в первом 200 × 0,1 = 20 граммов, во втором 300 × 0,2 = 60, вместе 80 граммов в 500 граммах раствора, значит, 80 : 500 = 0,16, то есть 16 процентов. Ответ не равен среднему арифметическому 15 процентов: растворы взяты в разных количествах, и второго больше, поэтому итог ближе к 20, чем к 10.

Разбавление. К 400 граммам 15-процентного раствора долили воды, чтобы концентрация стала 10 процентов. Сколько воды долили? Вещества в растворе 400 × 0,15 = 60 граммов, и при добавлении воды оно не меняется. Раствор должен весить 60 : 0,1 = 600 граммов, значит, долили 600 − 400 = 200 граммов. Проверка: 60 : 600 = 0,1.

Выпаривание наоборот: из 500 граммов 8-процентного раствора выпарили воду до 10 процентов. Вещества 500 × 0,08 = 40 граммов, раствор должен весить 40 : 0,1 = 400 граммов, значит, выпарили 100. Проверка: 40 : 400 = 0,1.

Теперь задача в духе экзаменационных. Два сосуда содержат растворы кислоты разной концентрации: в первом 30 кг, во втором 20 кг. Если слить их, получится раствор, в котором 68 процентов кислоты. Если слить равные массы этих растворов, получится раствор с 70 процентами кислоты. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде? Пусть концентрации x и y (в долях). Слив всё: 30x + 20y = 0,68 × 50 = 34. Если слить равные массы, то кислоты окажется x и y долей от одной и той же массы, и концентрация итога равна среднему арифметическому: (x + y)/2 = 0,7, откуда y = 1,4 − x. Подставляем: 30x + 20(1,4 − x) = 34, то есть 10x + 28 = 34 и x = 0,6, а y = 0,8. В первом сосуде 30 × 0,6 = 18 кг кислоты. Проверка: 18 + 20 × 0,8 = 34, а 34 : 50 = 0,68; равные массы дают (0,6 + 0,8) : 2 = 0,7. Оба условия выполнены.

Что обычно теряется

Единицы измерения: скорость в километрах в час, а время дано в минутах, и 20 минут надо записать как 1/3 часа. Пешеход со скоростью 5 км/ч за 20 минут пройдёт 5 × 1/3 = 5/3 километра, то есть 1⅔; подставить 20 вместо 1/3 значило бы получить сто километров. Лишние корни: в двух задачах выше отрицательный корень был отброшен потому, что скорость и срок положительны, и любой корень, не подходящий по смыслу, стоит проверить, прежде чем писать ответ. Течение, которое забыли вычесть при движении против него. Вопрос задачи: найдено время в пути, а спрашивали скорость. Эти ошибки видны, если подставить ответ в условие, а это занимает меньше минуты. Если же ошибки в самих дробях и процентах, до уравнения дело не доходит, и это одна из тем из обзора самых частых провалов школьной математики.

Что спрашивают и как тренироваться

Такие задачи встречаются на экзамене девятиклассников и в профильном ЕГЭ, а как подходить к первой части экзамена в целом, написано в статье о том, как её закрыть.

Тренироваться стоит на бумаге: поначалу каждую такую задачу записывать короткими строками «участник — величина — значение», а в уме не решать вовсе. Кто так делает, потом сам опускает запись, а кто начинает в уме, обычно путает, какая величина к какому участнику относится. Если эта статья прошла легко, следующий шаг — Теория вероятностей в школьном курсе: там нет уравнений, но та же дисциплина — расписать условие, прежде чем считать.

Для самопроверки возьмите такую задачу. Из пункта A вышел пешеход со скоростью 5 км/ч, а через 2 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через сколько часов после своего выезда велосипедист догонит пешехода? Ответ: к выезду велосипедиста пешеход уже ушёл на 10 км, скорость сближения 15 − 5 = 10 км/ч, значит, через 1 час. Проверка: велосипедист проехал 15 км, пешеход шёл 3 часа и прошёл 5 × 3 = 15 км.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для ЕГЭ
• репетиторы по математике для ОГЭ

Вопросы и ответы

С какого вида задач начинать? С движения: есть наглядная картинка, и ошибку видно по здравому смыслу. Работа и смеси идут следом по той же схеме.

Почему нельзя просто подбирать ответ? В школьной задаче с круглыми числами подбор иногда срабатывает, на экзамене числа подобраны так, что угадать с первой попытки трудно, а подставлять каждую догадку долго. Уравнение составляется один раз и работает для любых чисел.

Что делать, если уравнение получилось сложное? Перечитать условие и убедиться, что вы не ввели лишнюю неизвестную. Обычно усложнение означает, что за x взяли не ту величину.