Треугольники: признаки равенства и подобия

Треугольники начинаются в седьмом классе и потом не кончаются: подобие и равенство работают и в окружности, и в пирамиде. Путаются обычно в одном: признак равенства и признак подобия звучат почти одинаково. Подменишь один другим, и ответ выйдет неверным, хотя решение выглядит гладко. Если после контрольной у вас остались «признаки» без смысла, дело поправимое, разберём по порядку и на числах. Тема входит в список тем, где ошибаются чаще всего, так что вы не одиноки. Картинок в тексте нет, зато построения рассказаны так, что их можно повторить карандашом на клетчатом листе.

Равенство: три признака и один, которого не существует

Два треугольника равны, если один можно наложить на другой так, что совпадут все стороны и все углы. Проверять сразу шесть величин не надо, хватает трёх, но подходят не любые три.

Первый признак: две стороны и угол между ними. Нарисуйте угол в 30°, отложите на одной его стороне отрезок 8 см, на другой 5 см и соедините концы. Любой треугольник, построенный так же, равен вашему. Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла. Проведите отрезок и при каждом его конце постройте заданный угол: лучи сойдутся в единственной точке, но только если сумма двух углов меньше 180°: при сумме 180° лучи параллельны, а при большей расходятся, и треугольника нет. Третий признак: три стороны. Из трёх отрезков треугольник строится, только если каждый короче суммы двух других (из отрезков 3, 4 и 8 его нет, потому что 3 + 4 = 7 < 8), и строится он единственным способом, с точностью до зеркального отражения.

Слово «между» в первом признаке нельзя пропускать, и вот почему. Нарисуйте угол A = 30° и отложите на одной его стороне отрезок AC = 8. Расстояние от точки C до другой стороны угла равно 4: это катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, а он равен половине гипотенузы. Теперь поставьте циркуль в точку C и раствором 5 сделайте засечку на другой стороне. Раз 5 больше 4, засечек две, по обе стороны от основания перпендикуляра. Основание перпендикуляра H находится на расстоянии 8 · cos 30° = 4√3 от точки A, и от H до каждой засечки √(25 − 16) = 3. Значит, третья сторона AB получается либо 4√3 − 3 (около 3,93), либо 4√3 + 3 (около 9,93). У двух построенных треугольников равны две стороны (8 и 5) и угол 30°, но угол не лежит между ними, и треугольники не равны. Приближённые числа округлены, точные значения написаны рядом.

Для прямоугольных треугольников есть удобный частный случай: равны гипотенуза и катет. Тут неоднозначности нет, потому что третий катет находится по теореме Пифагора.

Как признаки работают в доказательстве, видно на равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC. Проведём биссектрису BM. Треугольники ABM и CBM равны по первому признаку: AB = CB, углы ABM и CBM равны, сторона BM у них общая. Из равенства следует, что AM = MC и что углы при вершине M равны; в сумме они дают развёрнутый угол 180°, значит, каждый равен 90°. Одно равенство даёт сразу два вывода: биссектриса, проведённая к основанию, оказывается и медианой, и высотой. Тем же приёмом доказывают, что у параллелограмма ABCD противоположные углы равны. Диагональ AC разрезает его на треугольники ABC и CDA, у которых AB = CD, BC = DA и сторона AC общая. По трём сторонам они равны, значит, равны и углы B и D, которые лежат против общей стороны. Вершины в записи «треугольник ABM равен треугольнику CBM» стоят в порядке соответствия, и если его нарушить, из равенства вывести ничего нельзя.

Подобие: тот же вид, другой масштаб

Подобные треугольники отличаются друг от друга только размером: углы у них равны, а стороны одного пропорциональны сторонам другого. Число k, во сколько раз стороны увеличились, называют коэффициентом подобия. Равенство — частный случай подобия, с коэффициентом 1. Подобие с любым другим коэффициентом равенства не даёт: треугольник и его вдвое увеличенная копия подобны, но не равны.

Признаков опять три. По двум углам: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, третьи тоже равны, потому что сумма углов треугольника 180°, и проверять их уже не нужно. По двум сторонам и углу между ними: стороны пропорциональны, а угол между ними равен. По трём сторонам: все три отношения соответствующих сторон равны.

Сравните с равенством. Для равенства стороны должны совпасть, для подобия достаточно, чтобы они были в одном отношении. Возьмите треугольники 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Отношения 6 : 3, 8 : 4 и 10 : 5 равны 2, значит, они подобны по трём сторонам с коэффициентом 2. Равными они не будут: стороны разные. Периметры 12 и 24 (отношение k = 2), а площади 6 и 24, то есть отношение 4 = k². Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента, это пригодится дальше, когда дойдёте до площадей плоских фигур.

Чтобы сравнивать стороны правильно, упорядочите их по величине и составьте отношения парами: меньшая к меньшей, средняя к средней. Для треугольников 4, 6, 8 и 6, 9, 11 получается 1,5, 1,5 и 1,375, а три разных числа одним коэффициентом быть не могут, поэтому подобия нет. Если сравнить стороны наугад, например 4 с 6 и 8 с 11, можно выбрать какие-нибудь «подходящие» пары и ошибку не заметить: упорядочивание этот соблазн снимает.

Где подобие нужно на деле

Самая частая задача: через точки M на стороне AB и N на стороне AC проведена прямая MN, параллельная BC. Угол A у треугольников AMN и ABC общий, а углы AMN и ABC равны как соответственные при параллельных прямых. Значит, треугольники подобны по двум углам. Пусть AM = 4, MB = 8 и BC = 15. Тогда AB = 12, коэффициент 4 / 12 = 1/3, и MN = 15 · 1/3 = 5. Если площадь ABC равна 90, то площадь AMN равна 90 / 9 = 10, а площадь трапеции MBCN равна 80. Частный случай, когда M и N — середины сторон: MN вдвое короче BC, это средняя линия. Её свойство можно доказать и без подобия, сложением векторов, как это показано в статье про векторы на плоскости и в пространстве.

Другая знакомая задача про тень. Шест высотой 2 метра отбрасывает тень 3 метра, в тот же момент дерево отбрасывает тень 12 метров. Какова высота дерева? Солнечные лучи параллельны, предметы стоят вертикально на ровной земле, и тогда прямоугольные треугольники из предмета и его тени подобны по двум углам: прямому и углу падения лучей. Высота относится к тени как 2 : 3, откуда 12 · 2 / 3 = 8 метров. Условия про ровную землю и один и тот же момент в решении надо называть, иначе подобие не доказано. Такие задачи на подобие входят в обычную планиметрию ОГЭ и профильного ЕГЭ, а общий порядок заданий профильного экзамена описан в разборе его структуры.

Прямоугольный треугольник и его высота

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, a² + b² = c². Она верна только для прямоугольного треугольника, а для остальных не работает. Верно и обратное: если для трёх сторон выполнено a² + b² = c², угол против стороны c прямой. Знакомые тройки: 3, 4, 5, затем 5, 12, 13 (25 + 144 = 169) и 8, 15, 17 (64 + 225 = 289). Катеты 1 и 2 дают гипотенузу √5, а это приблизительно 2,24; в ответе корень лучше оставить.

Теперь проведите в прямоугольном треугольнике высоту к гипотенузе. Она делит его на два меньших, и оба подобны исходному и друг другу: у каждого есть прямой угол, и у каждого общий острый угол с большим треугольником. Отсюда два полезных соотношения. Высота в квадрате равна произведению отрезков гипотенузы, а квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок.

Проверим на треугольнике с катетами 6 и 8, гипотенуза 10. Отрезок, прилежащий к катету 6, равен 6² / 10 = 3,6, другой 8² / 10 = 6,4, их сумма 10, как и должно быть. Высота в квадрате: 3,6 · 6,4 = 23,04, значит, высота 4,8. Проверка через площадь: 6 · 8 / 2 = 24 и 10 · 4,8 / 2 = 24, всё сходится. Из площади выходит и короткое правило: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу, h = ab / c, и подобие для него не нужно. Нужно оно тогда, когда известны отрезки гипотенузы и нет катетов. Ещё одна житейская задача на теорему Пифагора: лестница длиной 5 м приставлена к стене, нижний конец стоит в 3 м от стены. Высота верхнего конца √(25 − 9) = 4 м. А если вокруг прямоугольного треугольника нарисовать окружность, то диаметром окажется гипотенуза: об этом в статье про окружность, углы и касательные.

Для полноты ещё два факта, которыми пользуются постоянно. Сумма углов треугольника равна 180°, а внешний угол, то есть смежный с углом треугольника, равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Проверим: у треугольника с углами 50° и 70° третий угол 60°, внешний угол при нём 120° = 50° + 70°. И точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины: если медиана равна 9, то от вершины до этой точки 6, а дальше до середины стороны 3.

Чем проверить себя перед словом «подобны»

Прежде чем писать «по первому признаку», спросите себя про угол: лежит ли он между сторонами? Если нет, признака нет, как в примере с углом 30°. Потом про порядок букв: вершины в записи подобия должны идти в порядке соответствия. И про самое простое: существует ли такой треугольник, то есть каждая ли сторона меньше суммы двух других.

Теперь задача, на которой ловят. У одного прямоугольного треугольника катеты 5 и 12, у другого 6 и 8. Оба прямоугольные, у обоих по два острых угла. Подобны ли они? Нет: отношения катетов 6 / 5 = 1,2 и 8 / 12 = 2/3 различны, и при другой расстановке пар (8 / 5 и 6 / 12) тоже. Слова «оба прямоугольные» подобия не дают: нужен ещё равный острый угол или пропорциональные катеты. Как не терять такие задачи на экзамене, разобрано в статье про первую часть ЕГЭ по математике.

Начать поиск:

• геометрия к ОГЭ с репетитором
• планиметрия на профильном ЕГЭ
• геометрия седьмого–девятого класса
• специалисты по математике

Вопросы и ответы

Если у треугольников равны все три угла, они равны? Нет, они подобны. Углы 60°, 60° и 60° есть и у треугольника со стороной 1, и у треугольника со стороной 2.

Как понять, какая сторона какой соответствует? Соответственные стороны лежат против равных углов. Если углы известны, найдите в каждом треугольнике наибольший и наименьший, это сразу даёт пары. Если углов нет, а есть одни стороны, упорядочите их по длине и составьте отношения по очереди: самая короткая к самой короткой и так далее. Тогда случайно удачная пара не введёт в заблуждение.

Достаточно ли двух сторон и угла, чтобы утверждать подобие? Достаточно, если угол между этими сторонами и они пропорциональны сторонам второго треугольника. Просто «угол равен и две стороны равны или пропорциональны» признаком не служит.

Работает ли теорема Пифагора в остальных треугольниках? Не в такой записи. Для любого треугольника верна теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab · cos C, где C — угол между сторонами a и b. Когда угол C прямой, косинус равен нулю, и остаётся теорема Пифагора. Пример: стороны 5 и 7 с углом 60° между ними. Тогда c² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · 0,5 = 39, третья сторона √39, приблизительно 6,24. Эту теорему проходят в девятом классе, раньше ею пользоваться нельзя.

Зачем доказывать, если можно измерить линейкой? Линейка даёт приближение, а доказательство даёт ответ при любых размерах.