Векторы на плоскости и в пространстве

Вектор в школе вводят в девятом классе, и часто он остаётся стрелочкой, с которой непонятно что делать. Дальше выясняется, что в координатах векторы решают задачи про углы и расстояния, где обычной геометрии пришлось бы строить десяток дополнительных линий. Идей здесь пять: что такое вектор, как складывать, как мерить длину, как находить угол и перпендикулярность и что меняется в пространстве. Тема попадает в список тем, где ошибаются чаще всего: чаще всего из-за невнимания к знакам.

Вектор: отрезок со стрелкой

Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление. Два вектора равны, если у них одинаковые длина и направление, где бы они ни стояли на листе; поэтому вектор можно переносить параллельно самому себе. Нарисуйте на листе точки A и B и стрелку от A к B: это вектор AB, начало в A, конец в B. Стрелка от B к A — противоположный вектор BA.

Чтобы считать, вектору дают координаты. Поместите начало вектора в начало координат: координаты конца и есть координаты вектора. Если начало где-то ещё, вычитают: координаты вектора равны координатам конца минус координаты начала. Пусть A(1; 2) и B(4; 6), тогда вектор AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4). Вектор BA = (−3; −4). Порядок вычитания важен: «начало минус конец» дало бы вектор в противоположную сторону.

Длина вектора по теореме Пифагора: |a| = √(x² + y²). Для (3; 4) длина 5, как у гипотенузы в треугольнике 3, 4, 5. Для (1; 1) длина √2, около 1,41. Нулевой вектор (0; 0) имеет длину 0 и никакого направления не имеет.

Сложение, вычитание и умножение на число

Сложение. Поставьте второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого; сумма идёт от начала первого к концу второго (правило треугольника). Если векторы выходят из одной точки, достройте параллелограмм, его диагональ из общей точки и есть сумма. В координатах всё просто: складывают одноимённые координаты. Для a = (2; −1) и b = (−3; 4) сумма (−1; 3).

Вычитание. Разность a − b — вектор, который идёт от конца b к концу a, если векторы выходят из одной точки. В координатах вычитают одноимённые: a − b = (2 + 3; −1 − 4) = (5; −5). Умножение на число растягивает вектор: 2a = (4; −2), а умножение на отрицательное число ещё и разворачивает его: −3b = (9; −12). Тогда 2a − 3b = (4 + 9; −2 − 12) = (13; −14).

Предупреждение, на котором ловят часто: длина суммы не равна сумме длин. Здесь |a| = √5, |b| = 5, их сумма около 7,24, а длина a + b равна √(1 + 9) = √10, около 3,16. Равенство получается лишь тогда, когда векторы направлены одинаково.

Из жизни: лодка идёт со скоростью 4 км/ч на восток относительно воды, а течение несёт на север со скоростью 3 км/ч. Скорость относительно берега — сумма векторов (4; 0) и (0; 3), то есть (4; 3), и модуль 5 км/ч; арифметическая сумма 7 здесь неверна. Направления лежат под прямым углом, поэтому длины складываются по теореме Пифагора.

Сложением векторов доказывают и известные факты. Пусть M и N — середины сторон AB и AC треугольника. Вектор MN = AN − AM = (1/2)AC − (1/2)AB = (1/2)BC. Значит, средняя линия параллельна BC и вдвое короче его, и это без единого признака подобия, которые обсуждаются в статье про треугольники.

Ещё одна типичная задача — достроить четвёртую вершину параллелограмма. Для параллелограмма ABCD (вершины в порядке обхода) векторы AB и DC равны. Пусть A(0; 0), B(4; 1), C(6; 4). Вектор AB = (4; 1), поэтому D = C − AB = (2; 3). Проверка: DC = (6 − 2; 4 − 3) = (4; 1), совпало. Порядок вершин в условии надо соблюдать: если вершины названы в другом порядке, четвёртая точка будет другой.

Длина, середина и параллельность

Середина отрезка находится усреднением координат. Для A(1; 2; 3) и B(3; −2; 7) середина ((1 + 3) / 2; (2 − 2) / 2; (3 + 7) / 2) = (2; 0; 5). Центр тяжести треугольника, то есть точка пересечения его медиан, находится усреднением трёх вершин: для (0; 0), (6; 0), (0; 9) это (2; 3). Длины и середины по координатам считают и в первой части экзамена, как её закрыть, разбирает статья про первую часть ЕГЭ по математике.

Два вектора коллинеарны, то есть лежат на параллельных или совпадающих прямых, когда один получается из другого умножением на число. На плоскости это записывается через координаты: x₁ · y₂ − x₂ · y₁ = 0. Для (2; −3) и (−4; 6): 2 · 6 − (−3) · (−4) = 12 − 12 = 0, и действительно (−4; 6) = −2 · (2; −3), векторы противоположно направлены. Для (1; 2) и (2; 5): 1 · 5 − 2 · 2 = 1, не нуль, векторы не коллинеарны. Условие записывают именно так, без деления, потому что деление на нуль невозможно: у векторов (0; 3) и (0; −6) отношение первых координат 0 / 0 бессмысленно, а перекрёстное произведение 0 · (−6) − 0 · 3 = 0 показывает, что они коллинеарны.

Если точка C лежит на отрезке AB и делит его в отношении 1 : 2, считая от A, то вектор AC равен трети вектора AB. Для A(1; 2) и B(7; 11) вектор AB = (6; 9), его треть (2; 3), точка C = (3; 5). Так же любой вектор раскладывают по двум неколлинеарным: вектор (7; 1) по векторам (1; 1) и (1; −1) записывается как p · (1; 1) + q · (1; −1) с условиями p + q = 7 и p − q = 1, откуда p = 4, q = 3. Проверка: (4 + 3; 4 − 3) = (7; 1).

Скалярное произведение: число, а не вектор

Скалярное произведение двух векторов в координатах считают так: a · b = x₁ · x₂ + y₁ · y₂. Результат — одно число. Для a = (2; 3) и b = (4; −1): 2 · 4 + 3 · (−1) = 5. Другая запись, с углом φ между векторами: a · b = |a| · |b| · cos φ. Сравнивая записи, получаем формулу для угла: cos φ = a · b / (|a| · |b|).

Знак подсказывает вид угла: если скалярное произведение положительно, угол острый, если отрицательно, тупой, а нуль означает прямой угол. Поэтому условие перпендикулярности для ненулевых векторов: a · b = 0. Для (3; 4) и (−4; 3): −12 + 12 = 0, и векторы перпендикулярны. Вопрос «при каком k векторы (k; 4) и (2; −3) перпендикулярны» решается уравнением 2k − 12 = 0, откуда k = 6.

Найдём угол между векторами (1; 2) и (3; 1). Скалярное произведение 1 · 3 + 2 · 1 = 5, длины √5 и √10, их произведение √50 = 5√2. Тогда cos φ = 5 / (5√2) = 1 / √2 = √2 / 2, угол 45°. Ещё пример: (1; 0) и (−1; 1) дают скалярное произведение −1, длины 1 и √2, косинус −√2 / 2, угол 135°, тупой.

Угол в треугольнике тоже находится так. Пусть A(0; 0), B(4; 0), C(1; 3). Векторы AB = (4; 0) и AC = (1; 3), скалярное произведение 4, длины 4 и √10, cos A = 4 / (4√10) = 1 / √10, это около 0,316, угол приблизительно 71,6°.

Скалярное произведение применяют и в физике: работа постоянной силы равна скалярному произведению силы и перемещения. При силе (3; 4) ньютона и перемещении (2; 1) метра работа равна 3 · 2 + 4 · 1 = 10 джоулей. А путь по графику скорости считают другим способом, площадью под графиком, об этом статья про первообразную.

Третья координата: векторы в пространстве

В пространстве у вектора три координаты, и всё сказанное выше переносится дословно. Длина вектора |a| = √(x² + y² + z²), скалярное произведение a · b = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂, и перпендикулярность тоже записывается нулём. Для A(1; 2; 3) и B(3; −2; 7) вектор AB = (2; −4; 4), длина √(4 + 16 + 16) = √36 = 6. Векторы (1; 2; 2) и (2; −2; 1) перпендикулярны, потому что 2 − 4 + 2 = 0; длина у каждого 3.

Нового в пространстве немного. Коллинеарность проверяют пропорциональностью всех трёх координат, и одного условия «x₁ · y₂ − x₂ · y₁ = 0» здесь мало: у векторов (1; 2; 3) и (2; 4; 7) оно выполнено для первых двух координат, 1 · 4 − 2 · 2 = 0, а для первой и третьей уже нет, 1 · 7 − 2 · 3 = 1, так что векторы не коллинеарны. Зато появляется приём, ради которого векторы и вводят в старших классах: в стереометрии расставляют координаты. Возьмите куб с ребром 1, поместите одну вершину в начало координат и направьте три ребра по осям. Тогда вершины получают координаты из нулей и единиц, и угол между диагоналями граней (1; 1; 0) и (0; 1; 1) считается в одну строку: скалярное произведение 1, длины √2 и √2, косинус 1/2, угол 60°. Диагональ куба (1; 1; 1) и ребро (1; 0; 0): косинус 1 / √3, около 0,577, угол приблизительно 54,7°.

Угол между прямыми, в отличие от угла между векторами, берут не тупым: косинус считают по модулю скалярного произведения. Если забыть про модуль, получится тупой угол, которого между прямыми не бывает. Условия вроде этого стоит выписывать в начале решения.

Метод координат в стереометрии встречается в задачах профильного ЕГЭ; общую картину экзамена даёт разбор заданий по порядку. Проверьте себя: перпендикулярны ли векторы (2; −1; 3) и (1; 5; 1)? Скалярное произведение 2 · 1 + (−1) · 5 + 3 · 1 = 2 − 5 + 3 = 0, значит, да.

Начать поиск:

• векторы и координаты к ОГЭ
• метод координат в профильном ЕГЭ
• геометрия девятого класса
• специалисты по математике

Вопросы и ответы

Равны ли векторы, лежащие в разных местах листа? Да, если у них одинаковые длина и направление. Поэтому вектор переносят параллельно, как удобно для решения.

Чем скалярное произведение отличается от обычного умножения? Оно берёт два вектора и даёт одно число, которое зависит от длин и угла между ними. Можно умножить вектор на число, и тогда вектор растянется. Это другая операция, и знак «·» в ней ставят только между двумя векторами.

Что делать, если вектор задан только двумя точками? Вычесть координаты начала из координат конца. Для точек A(−2; 5) и B(1; 1) вектор AB = (1 − (−2); 1 − 5) = (3; −4), длина 5.

Как узнать, что угол тупой, не считая его? По знаку скалярного произведения: отрицательное значение означает тупой угол.