Тригонометрические уравнения: базовые приёмы

У тригонометрического уравнения решений обычно бесконечно много, и в этом главная трудность. Школьник решает sin x = 1/2, получает x = π/6, радуется, и на этом баллы заканчиваются: угол 5π/6 тоже подходит, а ещё π/6 + 2π, π/6 + 4π и все остальные, получающиеся добавлением полных оборотов. Ответ записывают сериями с целым параметром, и привычка записывать так вырабатывается дольше, чем любой отдельный приём.

Если синус и косинус ещё не привычны, сначала прочитайте статью про синус, косинус и тангенс. Примеры ниже разобраны по шагам, ответы проверены подстановкой. Букву n во всех сериях читайте так: n — любое целое число, положительное, отрицательное или нуль.

Простейшие уравнения и арксинус

Всё решается сведением к простейшим уравнениям. Для начала нужны три «обратные» функции. Арксинус числа a — это угол из промежутка от −π/2 до π/2, синус которого равен a. Арккосинус числа a — угол из промежутка от 0 до π, косинус которого равен a. Арктангенс — угол строго между −π/2 и π/2 с заданным тангенсом. Промежутки важны: без них у «угла с синусом a» было бы бесконечно много значений, а арксинус обязан быть одним числом.

Формулы корней:

• sin x = a при |a| ≤ 1: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn;
• cos x = a при |a| ≤ 1: x = ± arccos a + 2πn;
• tg x = a при любом a: x = arctg a + πn;
• при |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a решений не имеют.

Посчитаем. Для sin x = 1/2 имеем arcsin (1/2) = π/6, и серии x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn (π − π/6 = 5π/6). Проверка: sin (5π/6) — это синус 150°, то есть 1/2. Для cos x = 1/2 получаем x = ±π/3 + 2πn, проверка: cos (−π/3) = 1/2. Для tg x = 1 серия x = π/4 + πn; при n = 1 это 5π/4, и тангенс 225° равен 1. Для tg x = −√3 серия x = −π/3 + πn, при n = 1 это 2π/3, то есть 120°, а tg 120° = −√3.

Отрицательные значения ловят на области значений. Решим sin x = −√2/2. Арксинус отрицательного числа отрицателен: arcsin (−√2/2) = −π/4. Серии: x = −π/4 + 2πn и x = π − (−π/4) + 2πn = 5π/4 + 2πn. Проверка: sin (5π/4) = −√2/2. Теперь cos x = −1/2: arccos (−1/2) = π − π/3 = 2π/3 (но никак не −π/3, ведь значения арккосинуса от 0 до π), и ответ x = ±2π/3 + 2πn. Проверка: cos 120° = −1/2.

Четыре случая стоит помнить отдельно, там формулы короче: sin x = 1 при x = π/2 + 2πn, sin x = 0 при x = πn, cos x = 0 при x = π/2 + πn, cos x = −1 при x = π + 2πn. А уравнение sin x = 2 — типичная ловушка: решений нет, и это так и пишут. Такие простейшие уравнения попадаются и в первой части профильного экзамена; как довести её до безошибочного решения, разобрано в статье про первую часть.

Серия — это часть ответа

Ответ «x = π/6» вместо «x = π/6 + 2πn» уравнения не решает: это один корень из бесконечного множества. На экзамене этот пункт проверяют внимательно, а в тетради он выглядит мелочью. Проверка серии простая: подставьте два-три значения параметра, обязательно включив нуль и единицу, и убедитесь, что каждое подходит.

Есть место, где серию портят чаще всего: когда под знаком функции стоит не x, а, скажем, 2x. Решим sin 2x = 1/2. Простейшее уравнение даёт 2x = π/6 + 2πn и 2x = 5π/6 + 2πn. Делить надо обе части целиком, вместе с периодом: x = π/12 + πn и x = 5π/12 + πn. Период стал вдвое короче, потому что угол 2x проходит окружность вдвое быстрее. Если оставить 2πn, то половина корней потеряется. Потерянный период относится к мелочам, из которых складывается провал на теме; общую картину даёт обзор тем, на которых западают чаще всего.

Квадратное уравнение, спрятанное в синусе

Когда в уравнении стоит одна функция в первой и во второй степенях, её обозначают новой буквой и решают как квадратное. Возьмём 2 sin²x − 3 sin x + 1 = 0. Пусть t = sin x. Тогда 2t² − 3t + 1 = 0, дискриминант 9 − 8 = 1, корни t = (3 ± 1)/4, то есть t = 1 и t = 1/2. Проверка: 2 − 3 + 1 = 0 и 2/4 − 3/2 + 1 = 0. Остаётся решить два простейших уравнения. sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πn, sin x = 1/2 даёт x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn. Итого три серии.

Здесь прячется ловушка с областью значений. Возьмём 2 cos²x − cos x − 3 = 0. Замена t = cos x даёт 2t² − t − 3 = 0, дискриминант 1 + 24 = 25, корни t = (1 ± 5)/4, то есть t = 3/2 и t = −1. Первый корень сразу отбрасывается: косинус не бывает больше единицы, и cos x = 3/2 решений не имеет. Остаётся cos x = −1, откуда x = π + 2πn. Подстановка t = −1 в исходное: 2 + 1 − 3 = 0.

Если в уравнении смешаны синус и косинус, часто помогает основное тождество sin²x + cos²x = 1, сводящее всё к одной функции. В уравнении 2 cos²x + sin x − 1 = 0 заменим cos²x на 1 − sin²x: 2 − 2 sin²x + sin x − 1 = 0, то есть 2 sin²x − sin x − 1 = 0. Пусть t = sin x: 2t² − t − 1 = 0, дискриминант 1 + 8 = 9, t = (1 ± 3)/4, значит t = 1 или t = −1/2. Получаем x = π/2 + 2πn, а для sin x = −1/2 — x = −π/6 + 2πn и x = 7π/6 + 2πn (π − (−π/6) = 7π/6). Проверка на x = −π/6: cos²x = 3/4, значит 3/2 − 1/2 − 1 = 0.

Однородные уравнения и вынесение множителя

Уравнение вида sin x = cos x нельзя решить простейшей формулой, но его можно разделить на cos x. Перед делением надо проверить, не теряем ли мы корни: если cos x = 0, то sin x равен 1 или −1 и равенство не выполняется, значит такие x корнями не были, и делить можно. Получаем tg x = 1, откуда x = π/4 + πn. Проверка: при n = 1 угол 5π/4, и sin и cos там равны −√2/2.

Тем же приёмом решаются однородные уравнения, где у всех слагаемых одна суммарная степень синуса и косинуса. Возьмём sin²x − 3 sin x cos x + 2 cos²x = 0. Если cos x = 0, то sin²x = 0 — противоречие с тождеством, так что делим на cos²x: tg²x − 3 tg x + 2 = 0, откуда tg x = 1 или tg x = 2. Ответ: x = π/4 + πn и x = arctg 2 + πn. Проверка: 1 − 3 + 2 = 0 и 4 − 6 + 2 = 0.

Теперь обратный случай, где деление вредит. Уравнение sin x cos x = cos x. Поделим на cos x, получим sin x = 1 и x = π/2 + 2πn. Но корнем будет и 3π/2: sin x cos x при этом равно (−1) · 0 = 0 и cos x = 0. Корни с нулевым косинусом потеряны при делении. Надёжнее вынести множитель: cos x (sin x − 1) = 0, откуда cos x = 0 или sin x = 1, и ответ x = π/2 + πk (серия для sin x = 1 в нём уже содержится). Общее правило: делить на выражение можно, только когда доказано, что оно не обращается в нуль; в остальных случаях выносить.

Знаменатель и тангенс: область допустимых значений

Если в уравнении есть дробь с тригонометрическим знаменателем или тангенс, часть найденных корней может оказаться посторонней, ровно как в логарифмах: условие на аргумент приходится проверять после решения. Решим sin 2x / cos x = 0. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Числитель: sin 2x = 0, откуда 2x = πn и x = πn/2. Знаменатель: cos x ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πk. Среди x = πn/2 при чётном n = 2k получаем x = πk (косинус там ±1, годится), при нечётном n получаем x = π/2 + πk (косинус равен нулю, не годится). Ответ: x = πk. Проверка подстановкой: при x = 0 и x = π числитель равен нулю, знаменатель ±1, а при x = π/2 знаменатель обращается в нуль, и выражение не определено.

То же с тангенсом: tg x определён лишь там, где cos x ≠ 0, и любой корень, попавший в x = π/2 + πk, выбрасывается.

Отбор корней на промежутке

Во второй части профильного экзамена (раскладку заданий по порядку показывает статья о структуре профильной математики) к тригонометрическому уравнению прибавляют отбор корней на заданном промежутке, и это отдельное умение. Решим cos x = 1/2 на промежутке от 0 до 2π. Серия x = π/3 + 2πn даёт π/3 при n = 0 и 7π/3 при n = 1, что уже больше 2π. Серия x = −π/3 + 2πn даёт −π/3 при n = 0 (меньше нуля, не годится) и 5π/3 при n = 1. Остаются π/3 и 5π/3; проверка: cos 300° = 1/2. Сложнее с двойным углом: sin 2x = 0 на промежутке от 0 до π. Серия x = πn/2 даёт при n = 0, 1, 2 числа 0, π/2, π, и все три лежат на промежутке (концы включены), а n = 3 уже даёт 3π/2.

Теперь попробуйте сами: решите cos 2x = −1/2 на промежутке от 0 до π. Разбор ниже. Простейшее уравнение даёт 2x = ±2π/3 + 2πn, то есть x = ±π/3 + πn (период, как и раньше, делится вместе с углом). На промежутке: серия x = π/3 + πn при n = 0 даёт π/3, при n = 1 уже 4π/3, что больше π; серия x = −π/3 + πn при n = 0 даёт отрицательное число, при n = 1 даёт 2π/3, при n = 2 уже 5π/3, и это больше π. Ответ: π/3 и 2π/3. Проверка по удвоенному углу: для x = π/3 это cos (2π/3) = −1/2, для x = 2π/3 это cos (4π/3) = −1/2, оба значения подходят.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• математика для ЕГЭ
• математика в 10–11 классе

Вопросы и ответы

Чему равен arccos (−1/2)? 2π/3, ведь значения арккосинуса лежат от 0 до π.

Почему у синуса две серии, а у тангенса одна? На окружности две точки с одним и тем же синусом: симметричные относительно вертикальной оси, их углы дают в сумме π (отсюда x = arcsin a и x = π − arcsin a). У тангенса точки с одним значением диаметрально противоположны, их углы отличаются на π, и обе попадают в одну серию с периодом π.

Можно ли записать ответ в градусах? Можно: sin x = 1/2 даёт x = 30° + 360°n и x = 150° + 360°n. Но в задачах с производными и графиками углы почти всегда в радианах, поэтому стоит привыкнуть к ним.

Как понять, что серия записана верно? Подставьте n = 0 и n = 1 в исходное уравнение. Если оба значения подходят, серия, скорее всего, верна; если нет, проверьте, не потерян ли период при делении.