Логарифмы: как с ними работать

В старших классах логарифмы пугают записью. Выражение log₂ 8 выглядит так, будто в нём спрятана сложность, хотя оно задаёт один-единственный вопрос: в какую степень надо возвести двойку, чтобы получилось восемь. Ответ три, и на этом определение кончается; всё остальное — следствия. Кто помнит вопрос, у того большая часть задач на вычисление решается без единой формулы, а остальные сводятся к нескольким свойствам.

Беда в другом. Условия существования логарифма забываются, свойства применяются там, где не работают, и выходит ответ, на вид аккуратный и неверный. На профильном ЕГЭ логарифмы встречаются в обеих частях: в первой — вычисление значения выражения и простое уравнение, во второй — уравнение и неравенство. Общая раскладка заданий дана в статье про структуру профильной математики, а как не терять баллы на первой части — в разборе первой части. Все примеры ниже посчитаны, ответы проверяются возведением в степень.

Логарифм — это вопрос про степень

Запись log_a b читается «логарифм числа b по основанию a», и означает она показатель степени, в который надо возвести a, чтобы получить b. Число a называют основанием, число b — аргументом, то есть тем, что стоит под знаком логарифма. Если log_a b = c, то a^c = b, и это единственная формула, которую стоит выучить дословно.

Посчитаем несколько значений, каждое проверим возведением в степень. log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. log₃ 81 = 4, потому что 3⁴ = 81. log₁₀ 1000 = 3. log₂ (1/4) = −2, потому что 2⁻² = 1/4. log₅ 1 = 0, ведь любое число в нулевой степени равно единице. log₇ 7 = 1, потому что любое число в первой степени равно самому себе. И log₄ 2 = 1/2, потому что 4 в степени 1/2 — это квадратный корень из четырёх, то есть 2.

Для частых оснований есть краткие записи. Логарифм по основанию 10 пишут lg, по основанию e — ln, где e — число, примерно равное 2,718; о нём вы услышите в старших классах. Из определения прямо следует и основное логарифмическое тождество a в степени log_a b равно b (при условиях, о которых сейчас поговорим): 5 в степени log₅ 7 равно 7, потому что показатель — это «степень, которая даёт семь». Обратная связь тоже работает: log_a (a^k) = k, например log₂ 2⁵ = 5. Из них складываются типичные экзаменационные примеры вроде 2 в степени (log₂ 3 + 1): это 2 в степени log₂ 3, умноженное на 2¹, то есть 3 · 2 = 6.

Два условия, без которых логарифма нет

Основание должно быть больше нуля и не равно единице, а число под логарифмом — строго больше нуля. Все три условия нужны, и у каждого есть причина.

Единица в основании не годится: любая степень единицы равна единице, поэтому log₁ 5 не существует вовсе, а log₁ 1 мог бы равняться любому числу. Отрицательное основание сломало бы дробные степени: (−2)^(1/2) на множестве вещественных чисел не определено. Отрицательный аргумент невозможен, потому что положительное число в любой степени остаётся положительным: двойка в какой степени ни возводи, минус четыре не получится. По той же причине нет логарифма нуля. Именно эти три условия теряются чаще всего, и такая потеря — типичная картина темы, о которой идёт речь в обзоре тем школьной математики, которые западают чаще всего.

Свойства и места, где они ломаются

Пусть основание a > 0 и a ≠ 1, а числа x и y строго положительны. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 = 5, и log₂ (4 · 8) = log₂ 32 = 5. Логарифм частного равен разности: log₂ 32 − log₂ 4 = 5 − 2 = 3 = log₂ 8. Показатель степени выносится множителем: log₂ 8² = log₂ 64 = 6, и 2 · log₂ 8 = 6.

Есть ещё переход к другому основанию: log_a b = log_c b / log_c a. Для log₄ 8 берём основание 2: log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2, и проверка: 4^(3/2) = (√4)³ = 8. Частный случай — взаимные логарифмы: log₂ 8 = 3, а log₈ 2 = 1/3, они дают в произведении единицу. Формулу перехода учат после определения, иначе она превращается в набор букв: многие задачи на вычисление решаются через степени, а формула нужна там, где основания не сводятся друг к другу.

Теперь о том, что запрещено. Логарифм суммы не равен сумме логарифмов: log₂ (4 + 4) = log₂ 8 = 3, а log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Логарифм произведения не равен произведению логарифмов: log₂ (4 · 8) = 5, но log₂ 4 · log₂ 8 = 2 · 3 = 6. Квадрат логарифма и логарифм квадрата тоже разные вещи: (log₂ 8)² = 9, а log₂ 8² = 6. Все три ошибки пишутся рукой в минуту невнимания, и видны они, только если подставить числа.

Отдельная ловушка — условие. Свойство про произведение верно, только если оба числа положительны. Выражение log₂ ((−4)(−8)) существует и равно log₂ 32 = 5, а сумма log₂ (−4) + log₂ (−8) не существует вовсе. Поэтому применять формулу вслепую в уравнении значит менять область допустимых значений, и вот почему корни теряются или появляются лишние.

Уравнения и неравенства: сначала область допустимых значений

Первый шаг в любом уравнении с логарифмом — выписать, при каких x все выражения вообще имеют смысл. Дальше решаем, и в конце сверяем корни с этим условием. Тот же приём работает в тригонометрических уравнениях, где знаменатель или тангенс ограничивают корни.

Простейшее: log₂ (x − 1) = 3. Допустимы x > 1. По определению x − 1 = 2³ = 8, откуда x = 9; корень подходит, потому что 9 > 1. Проверка: log₂ 8 = 3.

Посложнее: log₃ (x + 2) + log₃ x = 1. Оба выражения определены при x > 0, потому что x + 2 > 0 выполняется само, когда x > 0. Складываем: log₃ (x(x + 2)) = 1, откуда x² + 2x = 3, то есть x² + 2x − 3 = 0 и (x + 3)(x − 1) = 0. Корни −3 и 1. Корень −3 нарушает условие x > 0 и отбрасывается; корень x = 1 даёт log₃ 3 + log₃ 1 = 1 + 0 = 1, подходит. Ответ один: x = 1.

Теперь пример, где ломается свойство. Уравнение log₂ x² = 4 даёт x² = 16, то есть x = 4 и x = −4, и оба подходят: log₂ 16 = 4. Если же вынести показатель, 2 log₂ x = 4, получится только x = 4, а корень −4 исчезнет, потому что запись log₂ x предполагает x > 0. Верная формула — log₂ x² = 2 log₂ |x|, с модулем.

Когда в уравнении логарифмы по разным основаниям, их сводят к одному. Пример: log₄ x + log₂ x = 3. Область допустимых значений x > 0. Переходим к основанию 2: log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = (log₂ x) / 2, и уравнение становится (3/2) · log₂ x = 3, откуда log₂ x = 2 и x = 4. Проверка: log₄ 4 + log₂ 4 = 1 + 2 = 3.

Основание тоже может содержать неизвестное, и тогда условия повторяются для него. Для log_x 9 = 2 получается x² = 9, то есть x = 3 или x = −3; корень −3 отбрасывается, потому что основание обязано быть положительным, а корень x = 3 подходит: 3² = 9 и 3 ≠ 1.

Если в уравнении логарифм стоит в квадрате, помогает замена. (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0: пусть t = log₂ x, тогда t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2, откуда x = 2 или x = 4; проверка: log₂ 2 = 1, 1 − 3 + 2 = 0; log₂ 4 = 2, 4 − 6 + 2 = 0.

В неравенствах добавляется ещё одно условие: основание. При a > 1 логарифм возрастает, и знак сохраняется: log₂ x > 3 даёт x > 8. При 0 < a < 1 логарифм убывает, и знак меняется на противоположный: log по основанию 1/2 от x больше 3 даёт x < 1/8, и вместе с условием x > 0 получается 0 < x < 1/8. Проверка: при x = 1/16 логарифм по основанию 1/2 равен 4, это больше 3; при x = 1/4 он равен 2, это меньше 3, и такой x не подходит.

Здесь область допустимых значений решает исход. Неравенство log₂ (x − 1) < 3 при основании 2 сохраняет знак: x − 1 < 8, то есть x < 9. Но ответ получается не x < 9, а 1 < x < 9, потому что под логарифмом должно быть положительное число, x − 1 > 0. Проверка: при x = 1,5 значение log₂ 0,5 = −1 < 3, подходит; при x = 0 выражения не существует, и x = 0, хотя и меньше девяти, в ответ не входит.

Картина помогает запомнить. График y = log₂ x проходит через (1; 0), (2; 1), (4; 2) и (1/2; −1), расположен правее оси y (при x ≤ 0 логарифма нет), и значения у него любые числа. У основания между нулём и единицей картина зеркальная по вертикали: график убывает. Эта кривая вернётся в производной: (ln x)′ = 1/x при x > 0, а у логарифма по основанию a производная равна 1 / (x · ln a).

Как тренировать

Порции небольшие. Сначала вычисления по определению, десять примеров подряд, пока вопрос «в какую степень» не возникает сам. Потом свойства на числах, где ответ проверяется. Затем уравнения, и в каждом первая строка — область допустимых значений, даже если она кажется очевидной. В конце неравенства с основанием меньше единицы, где знак меняется и где без подстановки легко ошибиться.

Для самопроверки решите log₂ (x − 3) + log₂ (x − 1) = 3. Что вы напишете первой строкой, и сколько корней останется после неё?

Начать поиск:

• математика для ЕГЭ
• математика в 10–11 классе
• пробный урок по математике

Вопросы и ответы

Чему равен логарифм по основанию 1? Он не существует: единица в любой степени даёт единицу, поэтому показателя, который дал бы другое число, нет, а для самой единицы подошёл бы любой.

Что такое lg и ln? Логарифм по основанию 10 и по основанию e соответственно.

Почему нельзя взять логарифм отрицательного числа? Потому что положительное основание в любой степени, целой, дробной, отрицательной или нулевой, даёт положительное число. Двойка в степени x равна минус четырём ни при каком x: 2² = 4, 2⁻² = 1/4, корень из двух положителен, и так далее. Значит, вопрос «в какую степень возвести двойку, чтобы получить −4» остаётся без ответа, и именно поэтому под знаком логарифма стоит только положительное.

Как проверить корень уравнения? Подстановкой в исходное уравнение: преобразования могли изменить область допустимых значений, и в преобразованном корень может выглядеть подходящим.