Числа и вычисления в ОГЭ по математике

Дроби девятиклассник проходил давно: обыкновенные в пятом и шестом классах, отрицательные числа в шестом, степени и корни в седьмом и восьмом (порядок зависит от учебника, откройте оглавление вашего). В девятом школа занята функциями, прогрессиями и геометрией, а вычисления идут фоном, как нечто само собой разумеющееся. К экзамену выясняется, что «само собой» держалось на привычке, и привычка успела выветриться.

Для выпускников 2027 года точные формулировки заданий будут в демоверсии, которую ФИПИ выкладывает на сайте, и привычка заглядывать туда пригодится всю подготовку. Задания на эту тему короткие, ответом служит число или номер, и оценивают их так же, как любое задание с кратким ответом: совпало или нет. Потерянный минус или неверно переведённая смешанная дробь обнуляют задание целиком, хотя ход решения был правильный. Поэтому ниже подробно про места, где ошибаются чаще всего, и про то, как считать без калькулятора. Номера заданий и их число я здесь не называю: состав работы меняется от года к году, смотрите его в демоверсии ФИПИ на свой год, а общую картину работы — в статье об устройстве ОГЭ по математике.

Что здесь проверяют

Начну с позиции, с которой можно поспорить: эта тема даёт самые дешёвые баллы первой части, и тренировать её нужно в первую очередь, до уравнений и до геометрии. Требуется здесь точность, до теории дело почти не доходит.

По кодификатору это действия с обыкновенными и десятичными дробями, с положительными и отрицательными числами, степени и квадратные корни, сравнение чисел и их положение на координатной прямой. Буквенных выражений в этих заданиях почти нет, и отличить их от алгебры легко: перед вами чистые числа, которые надо аккуратно преобразовать, а не уравнение, которое надо решить. Точный перечень тем уточните по кодификатору своего года, ФИПИ публикует его вместе с демоверсией.

Для родителя здесь есть удобная новость. Все эти темы ребёнок уже проходил, новой теории тут нет, и любую слабую точку можно найти за один вечер, дав ему десять разнотипных выражений без калькулятора. Тот, кто с ними справляется, снимает с себя львиную долю риска в первой части. Тот, кто не справляется, теряет баллы сразу в нескольких местах: те же дроби и знаки вернутся в алгебре, в практических задачах и в геометрии.

Дроби: где рвётся цепочка

Больше всего ошибок даёт не сама арифметика дробей, а смена записи. В одном выражении стоят десятичная дробь и смешанное число, и ученик пытается считать, не приведя их к одному виду. Приводить лучше всегда к обыкновенным дробям, если знаменатели «красивые», и к десятичным, если они сводятся к десятым и сотым. Выучите заодно, что 0,5 это одна вторая, 0,25 одна четвёртая, 0,2 одна пятая, 0,125 одна восьмая: каждая такая замена экономит строку вычислений и один шанс ошибиться.

Разберём выражение: два с половиной минус ноль целых двадцать пять сотых, и всё это разделить на три восьмых. В скобках удобнее десятичные дроби: 2,5 − 0,25 = 2,25, то есть девять четвёртых. Дальше деление: умножаем на перевёрнутую дробь, 9/4 · 8/3. Сокращаем четвёрку с восьмёркой и тройку с девяткой, остаётся 3 · 2 = 6. Срывы здесь двух сортов. Одни делят девять четвёртых на три восьмых «как написано» и получают 9/4 · 3/8, то есть забывают перевернуть вторую дробь. Другие ошибаются раньше: переводят 0,25 в одну пятую вместо одной четвёртой, и дальше всё считается верно, но уже от неверного числа.

С десятичными дробями беда другая: запятая. При умножении её считают от конца обоих множителей, при делении на десятичную дробь переносят у делителя и делимого одновременно. Те, кто делает это механически, ошибаются в десять раз, и ответ получается нелепым. Помогает прикидка: ноль целых две десятых умножить на ноль целых три десятых даёт меньше десятой, а не шесть десятых, и ответ в шесть сотых после этой мысли находится сам.

Смешанные числа я бы вообще советовал переводить в неправильные дроби сразу, до всяких действий. Схема «целые отдельно, дробные отдельно» работает при сложении и ломается при вычитании и умножении, а в одном выражении их придётся встретить все. Одно правило на все случаи надёжнее, чем три правила на три случая.

Знаки, скобки и степени

Порядок действий знают все, и тем не менее в нём спотыкаются, когда выражение длинное: сначала скобки, потом степени и корни, потом умножение и деление слева направо, и лишь затем сложение и вычитание. Деление слева направо подводит чаще остального: выражение «двенадцать делить на два, умножить на три» равно восемнадцати, а не двум, как выходит у тех, кто делит двенадцать на шесть.

Знаний на этих заданиях обычно хватает, баллы уходят на мелочах. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри, первое слагаемое исключением не служит. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение, и перед тем как это записать, стоит проговорить вслух: «отнять долг — значит стать богаче». Нелепо, но запоминается лучше правила.

Отдельная ловушка — степень отрицательного числа. Минус три в квадрате, записанное со скобками, равно девяти, а то же без скобок, то есть минус от тройки в квадрате, равно минус девяти. Отличие в записи крошечное, в ответе оно решающее. Чётная степень делает результат положительным, нечётная сохраняет знак: вторая часть этого правила забывается реже, первая чаще.

Если в программе вашего ребёнка есть степень с отрицательным показателем, помните, что она означает единицу, делённую на ту же степень с положительным показателем: два в минус третьей степени равно одной восьмой. Типичная ошибка — написать минус восемь или минус шесть. Выводить ли формулу каждый раз? Достаточно запомнить смысл: отрицательный показатель переворачивает число, а знак не трогает.

Корни и расположение чисел на прямой

Квадраты чисел хотя бы до двадцати должны вспоминаться без усилий: на них держатся и вычисления с корнями, и оценки. Корень из пятидесяти лежит между семью и восемью, потому что сорок девять меньше пятидесяти, а шестьдесят четыре больше. Чтобы понять, к какому из чисел он ближе, возведите в квадрат середину: семь с половиной в квадрате это пятьдесят шесть с четвертью, а пятьдесят меньше, значит, корень ближе к семи.

Эта оценка нужна в заданиях, где среди отметок на координатной прямой надо найти ту, что соответствует данному числу или корню (форму ответа смотрите в демоверсии: это может быть число, а может быть номер отметки). Сначала число оценивается между двумя целыми, затем сравнивается с положением отметок, и только потом выбирается ответ. Многие делают в обратном порядке, то есть сразу смотрят на рисунок и выбирают «похоже», а отметки нарисованы так, что на глаз различить соседние невозможно.

Ещё одна привычная ошибка: корень из суммы принимают за сумму корней. Корень из суммы девяти и шестнадцати равен пяти, но рука тянется написать три плюс четыре, то есть семь. Проверка простая: подставьте в голове единицы вместо девятки и шестнадцати, и разница с очевидностью выйдет наружу.

Сравнение дробей тоже имеет приём, о котором в школе говорят редко: сравнивайте то, чего дробям не хватает до единицы. Шесть седьмых и семь восьмых: первой не хватает одной седьмой, второй одной восьмой, а одна седьмая больше, значит, шесть седьмых меньше. Для дробей с близкими знаменателями это быстрее, чем приведение к общему.

Считать без калькулятора

Можно ли пользоваться калькулятором, определяет перечень разрешённых средств на ваш год, и узнавать об этом лучше заранее, до пробника. Но рассчитывать на него я бы не стал в любом случае: ученик, привыкший к экрану, теряет навык оценки, а проверка здравым смыслом остаётся единственной защитой от опечатки. Если на экзамене калькулятора не окажется, времени на привыкание уже не будет.

Четыре рабочих привычки, которые ничего не стоят:

• записывать каждое действие в столбик на черновике, не складывая в уме то, что в уме легко перепутать;
• перед ответом прикидывать порядок результата: если складывали две дроби меньше единицы, сумма не может быть больше двух;
• считать знак отдельно от модуля, то есть сначала определить, плюс будет или минус, и только потом умножать числа;
• пересчитывать подозрительный ответ другим путём, например дробь десятичной записью, а десятичную дробь обыкновенной.

Последняя привычка самая недооценённая. Лишние секунды на проверку второй записью окупаются на пробнике: именно так выясняется, что ошибка каждый раз одна и та же, и перестаёт казаться случайной.

Как тренироваться и нужен ли репетитор

Решать вычисления лучше отдельно от остального, небольшими порциями каждый день, пока не исчезнет ощущение, что в них можно ошибиться. Заведите тетрадь причин: после каждой ошибки записывайте тип промаха (знак, перевод записи, корень, степень), а само выражение можно и не переписывать. Спустя какое-то время в ней обнаружится, что разновидностей ошибки всего две или три, и тренировать нужно только их. Проверять родителю стоит именно запись: ответ ребёнок сверит по ключу сам, а на каком шаге он споткнулся, ключ не покажет.

Репетитор по этой теме нужен редко. Хватает учебника за пятый-шестой классы и пары заходов с собственной тетрадью. Исключение — когда за ошибками стоит непонимание: ребёнок не может объяснить, почему при делении дробь переворачивается, или не видит связи между десятичной и обыкновенной записью. Тогда пропущен кусок шестого класса, и лучше сразу сказать об этом репетитору на пробном занятии. Как выстроить такую работу по месяцам, разобрано в статье о годовой подготовке к ОГЭ по математике, а как устроен экзамен по всем предметам — в обзоре «ОГЭ: как устроены варианты по всем предметам».

Учтите ещё одно: темы этой статьи после девятого класса не исчезают. В профильной математике ЕГЭ те же дроби, степени и корни, только в более длинных цепочках, поэтому прочно усвоенная арифметика девятого класса работает ещё два года.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• репетиторы по математике с пробным занятием
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Нужно ли учить таблицу квадратов? Да, хотя бы до двадцати: без неё оценка корня превращается в подбор.

Ребёнок считает верно, но отвечает неправильно. С чем это связано? Чаще всего с записью: знак теряется между строками, дробь переписана не полностью, ответ оформлен не в той форме, о которой просили. Посмотрите черновик, а не ответ. Если на нём видна аккуратная последовательность, а ошибка возникает только в переписанном итоге, лечится это привычкой сверять итоговую строку с условием, и репетитор тут не понадобится. Если же черновик хаотичный, начинать следует с него.

Что важнее: скорость или аккуратность? Аккуратность. Скорость в таких заданиях появляется сама, когда пропадает нужда перепроверять.