Геометрия в первой части ОГЭ по математике

Большая часть баллов, потерянных в геометрии первой части, объясняется не тем, что ученик не знает теорему. Он смотрит на рисунок и отвечает по нему: угол «выглядит» прямым, отрезки «кажутся» равными, дальше всё считается безупречно, но от несуществующего условия. Пока рисунок согласуется с текстом, он помогает; как только ученик берёт из него то, чего в условии нет, он начинает вводить в заблуждение.

Поэтому первое правило, которое стоит внушить девятикласснику: верить можно словам условия и подписанным на чертеже значениям, остальное надо доказать или хотя бы обосновать фактом. Дальше разговор про сами факты: сколько их нужно и в каком порядке учить. Здесь для общей картины работы вам пригодится статья об устройстве ОГЭ по математике, а номера заданий смотрите в демоверсии ФИПИ вашего года, в этой статье я их не называю.

Треугольники

Основа всего раздела. Сумма углов равна ста восьмидесяти градусам, внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а проведённая к основанию медиана одновременно высота и биссектриса. Последнее свойство экономит больше всего времени и больше всего забывается.

В прямоугольном треугольнике сидят два инструмента. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. И определения синуса, косинуса и тангенса острого угла: отношение противолежащего катета к гипотенузе, прилежащего к гипотенузе и противолежащего к прилежащему. Ошибка, которая встречается постоянно: ученик помнит названия, а какой катет «противолежащий» — определяет заново каждый раз и путается. Надёжный способ — каждый раз обводить угол карандашом и вести стрелку к стороне напротив.

Значения для углов в тридцать и шестьдесят градусов (синус тридцати равен одной второй, косинус тридцати равен половине корня из трёх) и отдельно для сорока пяти градусов выучиваются один раз. Если справочные материалы на экзамене выдают, искать в них значение дольше, чем вспомнить. Пифагоровы тройки (три, четыре, пять и пять, двенадцать, тринадцать) стоят той же заученности: увидев в условии катеты шесть и восемь, быстрее сказать «гипотенуза десять», чем считать корень из ста.

Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, проведённую к нему. Ученики теряют именно слова «проведённую к нему»: берут любую сторону и любую высоту. Отдельная неприятность — тупоугольный треугольник: высота, проведённая из вершины острого угла, падает на продолжение стороны, вне самого треугольника, и ученик, не нарисовав её, решает, что высоты в задаче нет. Нарисуйте продолжение пунктиром, и опорный прямоугольный треугольник появится сам.

Подобие треугольников даёт ещё одну типичную ловушку. Если стороны одного треугольника втрое длиннее сторон другого, подобного ему, площади различаются в девять раз. Правило такое: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. Забывают возвести в квадрат, и ответ получается втрое меньше или больше нужного, причём внешне вполне правдоподобный.

Окружность и углы

Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги или, что то же самое, половине центрального, если они опираются на одну дугу. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: этим пользуются так часто, что формулировку лучше знать дословно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны.

Небольшой пример. Хорда стягивает дугу в сто градусов; центральный угол над ней равен ста, вписанный угол с вершиной на большей дуге равен пятидесяти, а вписанный угол с вершиной на меньшей дуге — ста тридцати, потому что он опирается на оставшуюся дугу в двести шестьдесят градусов. Те, кто забывает про вторую дугу, ставят в ответ пятьдесят в любом случае.

На рисунке эти факты спрятаны. Чтобы их найти, нужно уметь прочитать, какая дуга «внутри» угла, и отличить вписанный угол от центрального. Помогает привычка: отметить на чертеже центр, если он есть, и сразу проверить, лежит ли вершина угла на окружности (тогда угол вписанный) или в центре.

Для вписанной окружности полезна формула площади многоугольника как произведения полупериметра на радиус: в задачах, где даны периметр и радиус вписанной окружности, она сразу даёт площадь. Выглядит как тонкость, но сокращает задачу до одного действия. Если в условии встретилась окружность, вписанная в треугольник или четырёхугольник, вспомните эту формулу раньше любой другой.

Четырёхугольники

Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов равна ста восьмидесяти градусам (отсюда находятся все четыре угла по одному), диагонали делятся точкой пересечения пополам, площадь равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней. Ромб, будучи параллелограммом, добавляет перпендикулярность диагоналей и формулу площади через произведение диагоналей, делённое на два. Прямоугольник отличается равными диагоналями. Квадрат обладает свойствами всех названных фигур.

Трапеция требует отдельной заметки. Её площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а средняя линия равна полусумме оснований. Путают их ученики часто: пишут, что площадь равна средней линии, не умножив на высоту. Ещё одна ловушка: в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, и это позволяет выразить все четыре угла через один.

Если в условии сказано «диагонали ромба равны двенадцати и шестнадцати, найдите сторону», ученик, помнящий только формулу площади, оказывается в тупике. Но диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому сторона — гипотенуза треугольника с катетами шесть и восемь, и ответ десять. Задача на два факта вместо одного, и такие встречаются чаще, чем чисто вычислительные.

Клетчатая бумага

Фигура на клетках — самое дружелюбное геометрическое задание. Числа не заданы, но каждая клетка даёт масштаб, который объявляется в условии (сторона клетки равна единице или иному числу, внимательно читайте). Если нужно найти площадь произвольного многоугольника, самый надёжный способ — достроить до прямоугольника и вычесть лишние треугольники. Он работает всегда, не требует формул и легко проверяется на глаз. Если дан отрезок, длину ищут по теореме Пифагора на клеточном треугольнике.

Разберём приём на примере. Многоугольник вписан в прямоугольник из шести клеток по ширине и четырёх по высоте, площадь прямоугольника двадцать четыре. По углам остаются три прямоугольных треугольника с катетами два и три, один и четыре, два и два: их площади три, два и два, вместе семь. Ответ двадцать четыре минус семь, то есть семнадцать. Весь расчёт укладывается в строку, а ошибиться можно только в одном: забыть вычесть последний треугольник.

Типичная потеря: площадь считают в клетках, а в условии клетка имеет размер, отличный от единицы, и итог надо умножить на квадрат этого размера. Это случается, когда ученик так привык к клеткам, что перестал читать подпись. Ещё одна: считают границу фигуры как отрезок, не проверив, идёт ли она точно по узлам сетки.

Задание с утверждениями

Среди заданий первой части есть задание другого рода: дан список геометрических утверждений, нужно указать верные. Ответ — номера верных утверждений (точный вид записи смотрите в инструкции к экзамену). Задание выглядит лёгким, потому что никаких вычислений нет, и сложным оказывается тем, что проверять приходится каждое утверждение отдельно, не догадываясь по общему впечатлению.

Утверждения обычно взяты из школьного курса и рассчитаны на типичные заблуждения. Вот четыре типичных, с разбором:

• диагонали любого параллелограмма равны (неверно: равны они только у прямоугольника);
• через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной (верно);
• около любого четырёхугольника можно описать окружность (неверно);
• в любой треугольник можно вписать окружность (верно, и центр лежит на пересечении биссектрис).

Метод проверки один: попробуйте опровергнуть утверждение контрпримером. Если легко нарисовать фигуру, для которой оно ложно, оно ложно. Если не получается, вспомните теорему, на которую оно похоже, и проверьте, совпадают ли условия. Слова «любой» и «всегда» настораживают: чем сильнее слово, тем выше шанс найти исключение.

Как строить подготовку и нужен ли репетитор

Выдают ли на экзамене справочные материалы с формулами по геометрии, определяет перечень разрешённых средств вашего года, и смотреть его надо заранее. Моя позиция здесь спорная: формулы нужно знать наизусть, даже если справочник лежит на столе. Поиск в нём съедает минуту, а главное, ученик, который формулу не помнит, обычно не помнит и условий её применения. Справочник напоминает, что площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, но не подскажет, что в этой задаче высота не дана и её придётся строить.

Если в вашем году для получения оценки по общей шкале нужно отдельно набрать баллы по геометрии, это меняет расклад сил: геометрия перестаёт быть темой, которую можно компенсировать алгеброй. Есть ли такое требование в вашем году, смотрите в шкале ФИПИ и порядке проведения; общая логика разобрана в статье об устройстве ОГЭ.

Геометрию первой части удобно тренировать по темам и в таком порядке: сначала треугольники, потом окружность, затем четырёхугольники и клетки, и только после этого утверждения, которые собирают всё вместе. К каждому факту прикладывается своя небольшая задача, и факт считается выученным, когда ученик может объяснить, откуда он берётся, не заглядывая в тетрадь. Дальше работа идёт с рисунками в тетради: каждую задачу начинать с собственного чертежа, пусть даже условие даёт готовый.

Репетитор нужен по геометрии чаще, чем по алгебре, особенно если пропущен седьмой класс. Причина простая: геометрия строится как лестница, и без нижних ступеней высшие не работают. Алгебру можно подтянуть по учебнику, геометрию из-за пропущенных теорем в одиночку подтянуть труднее. Обратная сторона: хороший репетитор по геометрии даёт и то, что нужно во второй части, где вычислительная задача и доказательство уже зависят от записи (геометрия второй части).

Соседние темы первой части разобраны отдельно: алгебра и алгебраическая задача второй части, а как геометрия выглядит дальше, в профильной математике ЕГЭ, можно оценить по статье о структуре профильного экзамена. Обзор ОГЭ по всем предметам — в материале «ОГЭ: как устроены варианты по всем предметам».

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Нужен ли циркуль и линейка? Какие принадлежности разрешены на экзамене, сказано в перечне вашего года. Для заданий первой части обычно хватает ручки и черновика с собственным чертежом.

Что делать, если на рисунке ничего не подписано? Читайте условие. Всё, что в нём сказано словами, к рисунку относится, и подписывать на чертеже нужно самому: обозначьте равные стороны одинаковыми чёрточками, прямые углы квадратиками. Через минуту выяснится, что задача решается, а рисунок «неполным» только казался.

Ребёнок знает теоремы, но не видит, какую применять. Это нормально? Нормально и поправимо. Способ один: решать задачи, где рядом лежат две теоремы, и после каждой писать, почему выбрана именно эта. Подбор «что здесь можно найти» вместо подбора «какая формула подойдёт» приходит после нескольких десятков задач.

Можно ли в первой части пропустить геометрию и надеяться на алгебру? Риск зависит от шкалы вашего года, и проверять её нужно до того, как выбирать такую стратегию.