Практические задачи ОГЭ по математике: задания 1–5

Работа по математике открывается группой заданий с общим жизненным сюжетом: одна картинка или таблица, один рассказ о дачном участке, ремонте или поездке и несколько вопросов к нему (в заголовке статьи стоят задания с первого по пятое; границы блока на ваш год сверьте с демоверсией). Сложной алгебры в них нет. Зато в них много чисел, единиц измерения и мест, где ответ надо выбрать, а не вычислить, и поэтому они читаются хуже, чем решаются.

О том, почему на этом блоке теряют баллы внимательные ученики, написано в отдельной статье: практические задачи в ОГЭ. Здесь разговор о другом: как устроены типичные сюжеты и что нужно уметь считать в каждом из них. Сюжеты в разные годы менялись, но арифметика под ними повторяется, и сюжет, который попадётся на экзамене, скорее всего окажется близким к одному из разобранных ниже.

План участка и соответствие цифр

Чаще всего в этом блоке встречается план: на клетчатой бумаге нарисован участок с домом, сараем, теплицей и дорожками, а в таблице приведены размеры объектов. Одно из заданий блока обычно на сопоставление: цифрами на плане обозначены объекты, названия которых даны в таблице вперемешку, и нужно определить, какая цифра чему отвечает. Ответ записывается последовательностью цифр, и порядок записи принципиален: форму ответа уточните по инструкции к экзамену.

Решается это по одному приёму: сначала расставить объекты, которые определяются однозначно (самый большой, единственный круглый, тот, что стоит у забора), и только потом разбираться с остальными. Начинать с первой цифры и подбирать для неё название по очереди — медленный путь, и на нём путаются.

Дальше идут вопросы с вычислением. Площадь участка или дорожки находится по клеткам и масштабу; он указан в условии, и именно на нём ломаются: площадь считают в клетках и забывают, что клетка соответствует метрам. Предположим, клетка плана равна двум метрам по стороне, а участок занимает пять клеток по ширине и три по высоте: пятнадцать клеток по четыре квадратных метра дают шестьдесят, а не пятнадцать. Если нужно замостить дорожку плиткой, число плиток находится делением площади на площадь плитки, и результат округляется вверх, даже если дробная часть мала: для дорожки в двенадцать с половиной квадратных метров и плитки в четверть квадратного метра получится ровно пятьдесят штук, а для двенадцати и трёх десятых метра сорок девять и две десятых, то есть пятьдесят, потому что половинку плитки не купить. Единицы приводят к одним заранее: плитка в сантиметрах, дорожка в метрах — переводите до деления, а не после.

Листы бумаги стандартных форматов

Это самый короткий по числу действий сюжет и самый коварный по смыслу. Все форматы серии A получаются из предыдущего делением листа пополам поперёк длинной стороны: лист A3 разрезан на два листа A4, A4 на два A5. Значит, площадь соседнего формата отличается вдвое, стороны же отличаются в корень из двух раз. Ученик, перепутавший одно с другим, делит пополам обе стороны и получает лист вчетверо меньше нужного.

Часть вопросов решается без вычислений вообще: сколько листов A5 получится из листа A2? Из A2 выходит два A3, из каждого два A4, из каждого два A5, то есть восемь. Другой вид вопроса: известно, как относятся стороны одного листа, и требуется найти сторону другого. Здесь помогает выписать размеры в таблицу условия и сравнить соседние строки, а не вспоминать, чему равна сторона A4 (двести десять на двести девяносто семь миллиметров, это стоит знать, но условие даст их само).

Шины и диаметр колеса

На шине написана маркировка вроде 195/65 R15, и условие объясняет, что она значит: первое число задаёт ширину профиля в миллиметрах, второе — высоту профиля в процентах от ширины, а число после буквы R — диаметр диска в дюймах. Один дюйм равен двадцати пяти с лишним миллиметрам, точное значение дано в условии. Вопросы бывают разные: найти диаметр колеса, сравнить две маркировки, определить, на сколько миллиметров отличаются высоты профиля.

Диаметр колеса складывается из диаметра диска и двух высот профиля: профиль есть сверху и снизу, и ровно этот факт ученики забывают. Для приведённой маркировки диск диаметром пятнадцать дюймов даёт около тридцати восьми сантиметров, высота профиля составляет шестьдесят пять процентов от ста девяноста пяти, то есть около ста двадцати семи миллиметров, и удвоенная высота добавляет около двадцати пяти сантиметров. Итого колесо немного больше шестидесяти трёх сантиметров. Вопрос на сравнение решается так же, двумя расчётами. Если вместо этой шины поставить 205/60 R15, диск остаётся прежним, высота профиля составит шестьдесят процентов от двухсот пяти, то есть сто двадцать три миллиметра, две высоты дадут двести сорок шесть, и диаметр колеса получится шестьсот двадцать семь миллиметров. Разница с прежним значением семь с половиной миллиметров. Проверка здравым смыслом простая: у легкового автомобиля колесо порядка шестидесяти — семидесяти сантиметров, и если получилось тридцать сантиметров или полтора метра, где-то потерян множитель.

Печь для бани и подбор по условию

В этом сюжете из таблицы с моделями печей нужно выбрать подходящую и посчитать цену владения. Парилка — прямоугольный параллелепипед, объём находится умножением длины, ширины и высоты, и печь подходит, если объём лежит в заданном для модели промежутке. Условный пример: парилка длиной два с половиной метра, шириной два и высотой два и два десятых даёт объём одиннадцать кубических метров, и модель, рассчитанная на объём от восьми до двенадцати, подходит, а рассчитанная на двенадцать — двадцать — нет. Ошибаются обычно в единицах: высоту дают в сантиметрах, остальное в метрах, и объём выходит в сто раз больше. Остальные вопросы — на покупку: цена печи, стоимость доставки, иногда скидка в процентах.

Процентные расчёты в практических задачах почти всегда короткие, но чувствительны к порядку: скидка в двадцать процентов умножает цену на ноль целых восемь десятых, а не вычитает двадцать единиц из любой суммы. Надбавка в десять процентов умножает на одну целую одну десятую. Если нужно сравнить два варианта, считайте каждый целиком до конца, а не сравнивайте промежуточные суммы: доставка может перевернуть порядок.

Тарифы, квартиры и другие таблицы

К этому разряду относятся сюжеты, где дана таблица тарифов или характеристик (минуты, гигабайты, комнаты, площади) и требуется найти подходящее. Вычислительная часть здесь тоже скромная: стоимость месяца равна абонентской плате плюс стоимость услуг сверх пакета. Такое выражение — линейная функция, и график, если его нарисовать, объясняет, почему при малом использовании выгоден один тариф, а при большом другой.

Условный пример, к экзамену отношения не имеющий. Первый тариф: триста рублей в месяц и полтора рубля за минуту. Второй: четыреста пятьдесят рублей и рубль за минуту. Приравниваем: 300 + 1,5m = 450 + m, откуда 0,5m = 150, и m равно трёмстам. При трёхстах минутах оба тарифа стоят семьсот пятьдесят рублей; при меньшем разговоре дешевле первый (двести минут стоят шестьсот и шестьсот пятьдесят), при большем второй. Вопросы вида «при каком числе минут тарифы сравняются» строятся вокруг именно такой точки.

Квартиры и дома дают вопросы на площадь по плану: сумма площадей комнат, пересчёт по масштабу, стоимость отделки на квадратный метр. Принцип прежний: выписать данные с единицами, решить задачу в одних единицах и только в конце перевести в то, что просят.

Приёмы, общие для всех сюжетов

Прежде всего блок читается целиком, вместе со всеми вопросами. К первому вопросу часто нужны данные, которые поясняет третий, а таблица в условии может содержать колонку, о которой первый вопрос ничего не говорит и которая понадобится в четвёртом. Минута на такое чтение возвращается сторицей.

Пять правил, которые подходят любому условию из этого блока:

• единицы приводить к одним до всяких вычислений, а не по ходу;
• до первого действия выписать, что именно спрашивают и в каких единицах должен стоять ответ;
• перед записью ответа прикинуть порядок числа: колесо не бывает в полтора метра, участок не бывает размером с район;
• вычёркивать использованные данные в условии, чтобы не взять одно число дважды;
• перед записью в бланк перечитать вопрос и сверить форму ответа: число, последовательность цифр или иное, что в нём требуется.

Считать лучше без калькулятора. Можно ли пользоваться им на экзамене, определяет перечень разрешённых средств вашего года; рассчитывать на него нельзя, потому что вычисления здесь устроены под счёт в уме или на черновике, а вычислительная привычка нужна ещё и в заданиях на дроби, степени и корни. Если ребёнок путается в процентах и десятичных дробях, начинайте с той статьи, а сюда возвращайтесь потом.

Начинать этот блок можно уже осенью девятого класса: теории нет, школьная программа блок почти не затрагивает, и привычка к условиям с таблицами нарабатывается только практикой. К весне он должен решаться без напряжения, чтобы время и силы уходили на вторую часть.

Позиция, с которой можно поспорить: блок на время я бы начинал решать не с первых занятий, а после того, как ученик научился переводить единицы и считать проценты без ошибок. Иначе тренировка превращается в проверку на выносливость: решает, ошибается, расстраивается, и вкус к блоку пропадает на месяц. Полная картина работы вместе с критериями собрана в статье об устройстве ОГЭ по математике, а подготовка по месяцам — в материале о годовом плане. Куда ведут эти навыки через два года, показывает структура профильной математики ЕГЭ, а как устроены экзамены девятиклассника по всем предметам, описано в обзоре «ОГЭ: как устроены варианты по всем предметам».

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• репетиторы по математике с пробным занятием
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Нужно ли знать формулы для этих заданий? Почти нет. Нужны площадь прямоугольника, объём параллелепипеда, проценты и умение переводить единицы.

Что делать, если сюжет на экзамене новый и не похож на разобранные? Арифметика будет прежней: данные в таблице, несколько действий, единицы, округление по смыслу. Сначала прочитайте весь блок целиком, вопросы тоже, и только потом считайте: к первому вопросу часто нужны данные, которые поясняет третий. Если сюжет вовсе непривычный, потратьте минуту на то, чтобы своими словами сказать, о чём он, и неизвестность исчезнет.

Как записывать ответ, если получилась десятичная дробь? По инструкции к экзамену: как именно писать запятую и нужны ли единицы, сказано в ней и в образце бланка ответов. Прочитайте это заранее и один раз заполните бланк на пробнике.

Сколько на блок отводить времени? Сколько нужно для спокойного счёта. Жёсткого числа я не называю: оно зависит от ученика и от того, сколько времени дано на всю работу, а это указано в спецификации вашего года.