Функции и графики: как читать график

Графики приходят в школьный курс в седьмом–восьмом классе, и примерно тогда же у многих случается первая незаметная потеря. Учитель просит «найти по графику область значений», ученик смотрит на линию и не понимает, в какое место на ней смотреть. Дальше тема только нарастает — линейная и квадратичная функции, производная, логарифмы, — и каждый раз на чертёж надо уметь смотреть; тот, кто пропустил первый урок, обычно догоняет его уже в девятом классе, на ходу и с досадой.

Если график в вашей голове до сих пор картинка в конце параграфа, а родителя просят «глянуть, что там нарисовано», начинать лучше с самого простого: читать его как карту. Сначала что подписано на осях, потом что находится в каких местах. В первой части профильного ЕГЭ есть задание на чтение графика функции (как удержать первую часть целиком — в разборе первой части), а ОГЭ по математике просит сопоставить графики и формулы; весь профильный экзамен по порядку описан в статье про структуру профильной математики. Формул ниже немного, примеров несколько, и каждый можно проверить на клетчатом листе.

Что такое функция и две области, которые вечно путают

Функция — это правило: вы подаёте на вход число x и получаете ровно одно число y. Слова «ровно одно» важны. Если одному x отвечают два разных y, это уже не функция, и по рисунку это видно сразу: проведите мысленно вертикальную прямую в любом месте, она не должна пересекать линию больше одного раза. Окружность проверку не проходит — при x = 0 у неё две точки, верхняя и нижняя, — поэтому графиком функции она быть не может.

Область определения — все значения x, которые вы вправе подставить. Область значений — все значения y, которые при этом получаются. Первая лежит вдоль горизонтальной оси, вторая вдоль вертикальной, и путаница между ними — самая частая ошибка темы: ученик читает по вертикали то, о чём спросили по горизонтали, и получает ответ, который выглядит правдоподобно.

Три функции стоит запомнить как образцы. У y = x² определение — все числа, а значения только y ≥ 0, потому что квадрат отрицательным не бывает. У y = √x определение x ≥ 0 (корень чётной степени из отрицательного числа не берётся), значения тоже y ≥ 0. У y = 1/x нельзя подставить x = 0, потому что на нуль делить нельзя, а значения — любые, кроме нуля: единица, делённая на какое угодно число, нулём не станет.

Всё это не школьная выдумка: те же слова описывают любой график из жизни. Если по горизонтали отложены часы суток, а по вертикали температура, то область определения — промежуток наблюдений, наименьшее значение — самая холодная точка суток, нули — моменты, когда температура проходила через ноль градусов, а промежутки возрастания — часы, когда теплело. Ребёнок, который прочёл такой график вслух, уже умеет всё, что требует школьный курс; остаётся перенести привычку на формулы.

Чтобы найти область определения по рисунку, мысленно сдвиньте все точки линии вдоль оси y на горизонтальную ось. Занятый ими отрезок или луч и будет искомой областью. Для области значений то же самое, только точки сдвигаются вдоль оси x на вертикальную.

Четыре вопроса к любому графику

Перед ними идёт нулевой вопрос, который пропускают чаще остальных: что подписано на осях и каков масштаб. Клетка вовсе не обязана равняться единице — на одной оси она может быть двойкой, на другой половиной, и ответ, прочитанный «по клеткам», окажется вдвое больше или меньше настоящего.

Разберём пример. Функция f(x) = |x| − 2 (модуль икса минус два) задана от x = −3 до x = 4 включительно. Её график — две прямые, сходящиеся книзу в точке (0; −2), буква V с нижней вершиной. Проверим: f(−3) = 3 − 2 = 1, f(0) = −2, f(4) = 4 − 2 = 2.

Первый вопрос: где функция существует. График начинается при x = −3 и кончается при x = 4, значит, область определения — отрезок [−3; 4]. Второй: какие значения принимает. Самая низкая точка — вершина, y = −2; самая высокая — правый конец, y = 2 (левый конец ниже, там 1). Область значений — отрезок [−2; 2], наименьшее значение −2 достигается при x = 0, наибольшее 2 — при x = 4.

Третий: где график пересекает оси. С осью y — в одной точке (0; −2), потому что при x = 0 значение одно. С осью x — там, где |x| − 2 = 0, то есть |x| = 2, откуда x = −2 и x = 2; эти числа и называются нулями функции. Четвёртый: где функция положительна и где возрастает. Над осью x график идёт при −3 ≤ x < −2 и при 2 < x ≤ 4, под осью — при −2 < x < 2; строгие неравенства стоят потому, что в самих нулях значение равно нулю, а нуль положительным не считается. Убывает функция на отрезке [−3; 0], возрастает на [0; 4]: идёте слева направо, и график сначала спускается, потом поднимается.

Где ошибаются чаще всего

Тема из тех, на которых проседает много учеников, и ошибки в ней однотипные (общий обзор — темы школьной математики, которые западают чаще всего). Первая из них: нуль функции — это число x, а не точка: ответ на «найдите нули» пишется как x = 2, а не как (2; 0). Мелочь на вид, но спутанные понятия потом мешают в неравенствах, где нужны именно значения x, и в задачах, где ответ надо сравнивать с границами промежутка.

Промежутки возрастания и убывания записываются по горизонтальной оси. Спросили, на каком промежутке функция убывает, — ответ «от −3 до 0», хотя ученик тянется назвать значения y, от 1 до −2, потому что именно они менялись у него на глазах.

Две соседние задачи читаются в разные стороны, и их тоже путают. «Найдите f(2)» — значение: от x = 2 поднимаетесь или опускаетесь до линии и читаете число на вертикальной оси. «Решите f(x) = 2» — наоборот: от высоты 2 идёте вбок до линии и читаете число на горизонтальной оси, причём таких x может оказаться несколько, а может не оказаться вовсе. В нашем примере f(x) = 2 даёт единственный x = 4, а f(x) = 0 — два, −2 и 2.

Отдельная история — точки на концах и в разрывах. Закрашенный кружок означает, что точка принадлежит графику и значение в ней есть. Пустой — что точка выколота: подходить к ней можно, значения в ней нет. Если пустой кружок стоит на самой высокой точке линии, наибольшего значения у функции просто нет, хотя «почти» оно видно. Здесь же учат смотреть на то, что слева и справа от разрыва: у y = 1/x график распадается на две ветви, и сказать, что она убывает на всей области определения, нельзя: f(−1) = −1, а f(1) = 1, то есть при переходе слева направо значение выросло. Убывает она на каждой ветви по отдельности, на промежутках x < 0 и x > 0.

Последнее: масштаб. Если нужная точка стоит между линиями сетки, считайте клетки от ближайшей подписи на оси: на глаз ответ уезжает, особенно когда на осях масштаб разный.

Как график сдвигается и почему там путается знак

Формулы сдвигов нужны, чтобы по знакомому графику нарисовать незнакомый. Прибавили число снаружи — y = f(x) + a — и график поднялся на a (при отрицательном a опустился). Вычли число внутри — y = f(x − a) при положительном a — и график сдвинулся вправо на a. Прибавили внутри — y = f(x + a) — и он сдвинулся влево на a. Минус в скобке означает «вправо», плюс — «влево», и это против интуиции, поэтому знак здесь путают постоянно.

Лучше запоминать вопрос: при каком x выражение в скобках обращается в нуль. Для y = |x − 3| − 2 это x = 3, и вершина V стоит в точке (3; −2): сдвиг на три вправо и на два вниз от обычной |x|. Для y = |x + 1| скобка обнуляется при x = −1, вершина в точке (−1; 0), то есть график сдвинулся влево на единицу. Такая проверка занимает пять секунд и работает для любой функции, не только для модуля. Первая функция, на которой это удобно отработать, — линейная: коэффициенты и сдвиги видны на ней проще всего.

Проверьте себя на новом примере

Возьмите f(x) = |x + 1| − 3 на отрезке от −4 до 2 и ответьте на четыре вопроса, не заглядывая ниже. Затем сверьтесь.

Скобка обнуляется при x = −1, значит, вершина V стоит в точке (−1; −3) и смотрит вниз. На концах f(−4) = 3 − 3 = 0 и f(2) = 3 − 3 = 0. Область определения — отрезок [−4; 2], область значений — отрезок [−3; 0]. Нули функции — числа −4 и 2, оба на концах отрезка. Положительных значений нет совсем: график нигде не поднимается над осью x. Убывает функция на [−4; −1], возрастает на [−1; 2]. Наименьшее значение −3 достигается при x = −1, а наибольшее, нуль, при двух разных x, и это тот случай, когда «где достигается» имеет два ответа.

Связь с неравенствами прямая. Решить f(x) > 0 — значит найти промежутки, где график выше оси x, и здесь таких нет; метод интервалов — тот же график, нарисованный схематично, в виде знаков на прямой. Тренируйтесь так же: возьмите любой график из учебника, закройте формулу и вслух ответьте на четыре вопроса — где определена, какие принимает значения, где нули, где возрастает. Спрашивающим может быть родитель, даже не зная математики: достаточно, чтобы ребёнок называл ось, по которой смотрит. Читать чужие графики полезно раньше, чем строить свои: после десятка прочитанных строить уже умеешь без таблицы из десяти точек, потому что знаешь, что должно получиться.

Начать поиск:

• математика, 5–8 класс: подобрать репетитора
• подготовка к ОГЭ по математике
• весь каталог по математике

Вопросы и ответы

Как одной фразой отличить область определения от области значений? Определение — про x, значения — про y; первое смотрится вдоль горизонтальной оси, второе вдоль вертикальной.

Почему у y = 1/x нет значения 0, ведь график подходит к оси очень близко? Потому что уравнение 1/x = 0 решений не имеет: единица, делённая на любое число, не равна нулю, сколько бы вы ни брали очень большие числа. Линия подходит к оси x всё ближе и ближе, но ни разу её не касается, а вертикальной оси она не достигает по другой причине — при x = 0 деление невозможно. Поэтому и у определения, и у значений исключено по одному числу, нулю, и это видно на рисунке по двум ветвям, расположенным в первой и третьей четвертях.

Нужно ли уметь строить графики, если на экзамене их в основном читают? Да, но поменьше, чем в школе: достаточно строить схематично, по характерным точкам — вершине, пересечениям с осями, поведению на концах. Аккуратный чертёж по десяти точкам нужен учителю на уроке, на экзамене он съедает время, которого и так немного.

Что такое нуль функции и зачем он нужен? Это такое число x, при котором значение функции равно нулю; на графике это место, где линия пересекает или касается оси x. Через нули находят промежутки знака, а значит, решают неравенства: между соседними нулями график целиком лежит либо над осью, либо под ней, если по дороге нет разрыва.

Как проверить, что линия — график функции? Проведите мысленно вертикальную прямую в разных местах: если где-то она пересекает линию дважды, это не график функции.