Линейная функция и её график

Линейная функция — первая функция в школе, и на ней держится почти всё, что идёт дальше. Парабола понятнее на фоне прямой. Производная измеряет наклон касательной, а наклон — это тот же коэффициент k. Тарифы и скорости в текстовых задачах ложатся на ту же формулу. Если тему пропустили в седьмом–восьмом классе, в девятом оказывается, что следующие темы стоят на чём-то непонятном.

Хорошая новость: тема маленькая. Всё помещается в одну запись y = kx + b, картинкой управляют две буквы, и разобраться можно за пару вечеров, если решать с карандашом: одного чтения тут мало. Каждый пример ниже посчитан, ответ проверяется подстановкой. Линейная функция есть и на ОГЭ, и на профильном ЕГЭ (весь профильный экзамен — в статье про структуру профильной математики, а как закрыть его первую часть без потерь — в разборе первой части), так что время вложено не зря.

Две буквы, которые задают всю прямую

Линейная функция — это y = kx + b, где k и b — заданные числа. Коэффициент b равен значению при x = 0, то есть высоте, на которой прямая пересекает ось y, точке (0; b). Прямая похожа на лестницу с одинаковыми ступеньками: k — высота одной ступеньки, когда вы шагнули на клетку вправо, а b — этаж, на котором вы стоите при x = 0. Коэффициент k называют угловым: он показывает, на сколько меняется y, когда x вырос на единицу. У y = 2x − 3 каждый шаг вправо на единицу поднимает график на 2. У y = −0,5x + 4 каждый такой шаг опускает его на половину единицы, а два шага вправо опускают ровно на единицу.

Угловой коэффициент можно прочитать прямо с рисунка. Найдите на прямой точку, лежащую в узле сетки, сделайте от неё шаг вправо на единицу и посмотрите, на сколько клеток поднялся или опустился график. У y = 2x − 3 из точки (1; −1) один шаг вправо приводит в точку (2; 1), то есть вверх на 2 — это и есть k. Если в рисунке разный масштаб по осям, ориентируйтесь на подписанные деления, клетки здесь обманывают.

Знак k сразу говорит, куда идёт прямая. При k > 0 функция возрастает: слева направо график поднимается. При k < 0 она убывает. При k = 0 получается горизонтальная прямая y = b с постоянным значением; школьный курс считает её линейной функцией тоже. Чем больше модуль k, тем круче прямая: у y = 5x подъём заметно резче, чем у y = 0,5x.

Отдельный случай b = 0. Прямая y = kx проходит через начало координат, и это ровно то, что в младших классах называлось прямой пропорциональностью; всё, что вы знаете о пропорциях, работает здесь без изменений, а b просто сдвигает график вверх или вниз.

Одна оговорка о построении: прямая бесконечна в обе стороны, и на рисунке виден только её кусок, поэтому за пределами нарисованной части мы продолжаем её по той же формуле. Если же в задаче сказано «на отрезке от 0 до 5», то график — только отрезок, и значения за его концами не берутся.

Вертикальная прямая x = 3 в этот разговор не входит. Одному x на ней отвечает бесконечно много значений y, поэтому функцией она не является; почему так, подробнее сказано в статье про чтение графика функции.

Построение по двум точкам и формула по двум точкам

Через две разные точки проходит ровно одна прямая, и для любого построения этого хватает. Берёте x = 0 и находите точку на оси y, берёте ещё какое-нибудь удобное x и находите вторую. Для y = 2x − 3 это точки (0; −3) и (2; 1): при x = 2 получается 2 · 2 − 3 = 1. Для y = −0,5x + 4 удобно брать чётные x, чтобы не возиться с дробями: (0; 4) и (2; 3), а при x = 8 значение 4 − 4 = 0, и это сразу точка на оси x.

Третья точка нужна всегда, и вот зачем: любые две точки лежат на какой-нибудь прямой, поэтому ошибку в них не заметить, а третья её сразу покажет. Для y = 2x − 3 возьмите x = 3, значение 3. Если три точки не легли на одну линию, где-то ошибка в арифметике (чаще всего в знаке), и найти её проще сейчас, чем после того, как график подставлен в следующую задачу.

Обратная задача — по двум точкам написать формулу. Пусть прямая проходит через A(1; 3) и B(4; 9). Угловой коэффициент равен отношению изменения y к изменению x: (9 − 3) / (4 − 1) = 2. Свободный член находим подстановкой любой точки: 3 = 2 · 1 + b, откуда b = 1, и формула y = 2x + 1. Проверка по второй точке: 2 · 4 + 1 = 9, сошлось.

Со знаками минус чаще всего и ошибаются, поэтому второй пример — C(−2; 5) и D(2; −3). Изменение y равно −3 − 5 = −8, изменение x равно 2 − (−2) = 4, значит, k = −8 / 4 = −2. Подставляем C: 5 = (−2) · (−2) + b = 4 + b, откуда b = 1 и y = −2x + 1. Проверка по D: (−2) · 2 + 1 = −3. Условие применимости такое: у двух точек должны быть разные x. Если x одинаков, прямая вертикальная и формулы вида y = kx + b у неё нет.

Нуль функции и неравенство по графику

Нуль функции — число x, при котором y = 0, то есть место пересечения прямой с осью x. Из уравнения kx + b = 0 получается x = −b / k при условии k ≠ 0. Для y = 2x − 3 это 3 / 2 = 1,5; для y = −3x + 6 это x = 2; для y = 4x + 10 это x = −2,5 (проверка: 4 · (−2,5) = −10, плюс десять даёт нуль).

Если k = 0, формула не работает, и это не придирка: функция y = b либо нигде не равна нулю (при b ≠ 0), либо равна нулю при всех x (при b = 0).

С нулём связаны неравенства. Задача 2x − 3 > 0 читается по графику: прямая поднимается, значит, выше оси x она справа от нуля, то есть при x > 1,5. Для убывающей y = −0,5x + 4 неравенство −0,5x + 4 ≥ 0 даёт x ≤ 8: нуль в точке x = 8, слева от него значения положительны, потому что прямая убывает. Проверка: x = 0 даёт 4, подходит; x = 10 даёт −1, не подходит. Всякий раз, когда k отрицательно, знак неравенства при переходе к x меняется на противоположный, и это один из самых частых поводов потерять верный ответ в девятом классе. Общий порядок для неравенств разобран в статье про метод интервалов.

Две прямые на одном рисунке

Две прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ ведут себя по-разному в зависимости от угловых коэффициентов. Если k₁ ≠ k₂, они пересекаются ровно в одной точке; чтобы её найти, приравнивают правые части. Для y = 2x + 1 и y = −x + 7 получается 2x + 1 = −x + 7, откуда 3x = 6, x = 2 и y = 5. Точка пересечения (2; 5); проверка в обе формулы: 2 · 2 + 1 = 5 и −2 + 7 = 5.

Если k₁ = k₂, прямые параллельны, а смотреть надо на b. У y = 2x + 1 и y = 2x − 5 угловые коэффициенты равны, свободные члены разные, общих точек нет: уравнение 2x + 1 = 2x − 5 сводится к 1 = −5 и решений не имеет. Если и b одинаковы, это одна и та же прямая. Изгиба у прямой нет: каждый шаг по x на единицу прибавляет к y одно и то же. Поэтому следующий график, где приросты 1, 3, 5, 7 растут (это y = x² из нуля), уже другая история, и называется он параболой.

Есть и признак перпендикулярности: две линейные функции с ненулевыми k задают перпендикулярные прямые, когда k₁ · k₂ = −1. Например, y = 2x и y = −0,5x: 2 · (−0,5) = −1, прямые пересекаются под прямым углом. В школьных задачах им пользуются реже, чем признаком параллельности.

Линейная функция в задачах и там, где на ней ошибаются

Возьмём придуманный тариф: подача стоит 150 рублей, каждый километр — 20, стоимость поездки на x километров равна y = 20x + 150. Здесь b = 150 — плата при нулевом пробеге, k = 20 — цена километра, и условие задачи сразу подсказывает, какая буква что значит. Семь километров стоят 20 · 7 + 150 = 290. Обратный вопрос: сколько проехали, если заплатили 450? Решаем 20x + 150 = 450, 20x = 300, x = 15; проверка: 20 · 15 + 150 = 450. А сколько можно проехать, имея 400? Неравенство 20x + 150 ≤ 400 даёт x ≤ 12,5, и ответ «12,5 километра» годится, потому что поездка может быть дробной. Если в условии сказано «целое число километров», ответ другой — 12, и это ещё один пример потерянного условия.

Ошибок в теме немного, и они однотипные. Перепутать k и b, когда слагаемые поставлены в другом порядке: в y = 5 − 2x коэффициент k равен −2, а b равно 5. Поставить не тот знак в нуле функции: для y = 2x − 3 нуль равен 3 / 2, а не −3 / 2. Строить по одной точке «на глаз». Читать наклон по рисунку, не глядя на то, что на осях разный масштаб. Всё это входит в общий обзор тем школьной математики, которые западают чаще всего, и линейная функция там не последняя.

Попробуйте сами: прямая проходит через точки (0; 2) и (3; 8). Как найти её формулу и где она пересечёт ось x?

Начать поиск:

• школьная математика с репетитором
• пробное занятие по математике перед ОГЭ
• все специалисты по математике

Вопросы и ответы

Чем линейная функция отличается от прямой пропорциональности? Прямая пропорциональность — частный случай при b = 0.

Почему у убывающей прямой неравенство «переворачивается»? Потому что при k < 0 большему x отвечает меньшее y. В неравенстве −0,5x + 4 ≥ 0 при переносе четвёрки вправо получается −0,5x ≥ −4, и при делении на −0,5 знак меняется на противоположный: x ≤ 8. Проверка подстановкой снимает сомнения: x = 8 даёт нуль, x = 0 даёт 4, и значение 4 действительно неотрицательно.

Сколько точек нужно для графика? Двух достаточно, третья нужна для проверки.

Если угловые коэффициенты у двух прямых равны, они обязательно не пересекаются? Не совсем: при равных k и разных b общих точек нет, а при равных k и равных b прямые совпадают, то есть имеют бесконечно много общих точек.