Неравенства и метод интервалов

Неравенство выглядит как уравнение, у которого знак равенства заменён на «меньше» или «больше». Правила решения почти те же, но привычка из уравнений подводит: ответ здесь не число, а целый промежуток чисел, и потому в нём есть что потерять. Теряют знак после умножения на отрицательное число и граничную точку, а отдельная беда — деление на выражение с неизвестной, при котором исчезает часть ответа.

Примеры идут от простых к тем, что встречаются внутри экзаменационных заданий: неравенство бывает и отдельным заданием, и шагом в другом. Общий порядок заданий разобран в структуре ЕГЭ. Каждый ответ ниже проверен контрольными числами: одним внутри промежутка, одним вне его и одним на границе. Такая проверка быстро становится привычкой, и ловит она сразу и потерянный знак, и потерянную границу.

Линейные неравенства и запись ответа

Решаем −3x + 4 > 13. Вычтем 4 из обеих частей: −3x > 9. Теперь поделим на −3, и здесь знак неравенства разворачивается: x < −3. Почему так? Возьмите верное неравенство 2 < 5 и умножьте обе части на −1: получится −2 и −5, и теперь −2 больше −5. Числа на оси отразились, и порядок между ними поменялся. Правило с условием: при умножении и делении обеих частей на отрицательное число знак меняют на противоположный; на нуль делить нельзя в любом случае.

Проверим ответ. Число −4 из промежутка: −3·(−4) + 4 = 16, и 16 > 13 верно. Число −10 даёт 34 > 13, тоже подходит. Число 0 из другой части оси: 4 > 13 неверно. Граница −3: 9 + 4 = 13, и 13 > 13 неверно, значит, сама граница в ответ не входит. Если оставить знак и написать x > −3, то число 0 как раз попало бы в ответ, а мы только что видели, что оно не подходит.

Ответ записывают промежутком: x < −3 — это (−∞; −3). Круглая скобка стоит у бесконечности всегда, потому что бесконечность не число и до неё нельзя дойти. Если неравенство нестрогое, например x ≤ 2, граница входит, и скобка у неё квадратная: (−∞; 2].

Неизвестная бывает по обе стороны. Решим 5x − 7 ≥ 8x + 2: переносим, −3x ≥ 9, делим на −3 и разворачиваем знак, x ≤ −3, то есть (−∞; −3]. Проверка: при x = −3 слева −22, справа −22, равенство допустимо; при x = −4 слева −27, справа −30, и −27 ≥ −30 верно; при x = 0 имеем −7 ≥ 2, неверно. Двойное неравенство тоже решают шаг за шагом сразу во всех частях: −3 < 2x + 1 ≤ 7 даёт −4 < 2x ≤ 6, затем −2 < x ≤ 3, ответ (−2; 3]. Проверка: x = 3 даёт 7 ≤ 7, подходит; x = −2 даёт −3 < −3, не подходит; x = 0 даёт 1, подходит.

Когда неравенств два и должны выполняться оба, как в системе, ответом служит их общая часть. Решим 2x − 1 > 3 и x + 4 ≤ 9. Из первого x > 2, из второго x ≤ 5. Общая часть — (2; 5]. Проверим: при x = 5 имеем 9 > 3 и 9 ≤ 9, подходит; при x = 2 получается 3 > 3, не подходит; при x = 6 имеем 10 ≤ 9, не подходит; при x = 3 оба условия выполнены: 5 > 3 и 7 ≤ 9. Об обычных системах уравнений речь в статье про системы уравнений, там тоже нужно, чтобы выполнялись оба условия сразу.

Квадратные неравенства

Решим x² − 5x + 6 < 0. Сначала находим корни уравнения x² − 5x + 6 = 0: это 2 и 3 (разбор, как их считать, — в статье про квадратные уравнения). Выражение слева — парабола, ветви которой направлены вверх, потому что коэффициент при x² положителен. Ниже оси она проходит между корнями, значит, ответ (2; 3). Проверка: при x = 2,5 получается 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25, и это меньше нуля; при x = 0 имеем 6, больше нуля, не подходит; при x = 4 имеем 16 − 20 + 6 = 2, тоже не подходит.

Если знак был «больше или равно нуля», ответ другой: парабола лежит на оси или выше за пределами корней, и границы входят. Получается (−∞; 2] ∪ [3; +∞). Знак ∪ читается «или», объединение двух промежутков.

Если коэффициент при x² отрицательный, ветви идут вниз, и картинка переворачивается. Неравенство −x² + 5x − 6 > 0 имеет те же корни 2 и 3, но теперь парабола выше оси как раз между ними: (2; 3). Проверка: при x = 2,5 получаем −6,25 + 12,5 − 6 = 0,25, больше нуля. А на примере x² + 1 > 0 видно, что бывает без корней: парабола не пересекает ось и целиком выше неё, значит, подходит любое число; для x² + 1 < 0 решений нет. Как читать такие картинки, разобрано в статье про функции и графики.

Метод интервалов

Для произведения нескольких множителей рисовать параболу неудобно, и тут работает метод интервалов. Решим (x + 1)(x − 2)(x − 5) > 0.

Находим числа, при которых хотя бы один множитель равен нулю: −1, 2 и 5. Отмечаем их на числовой оси, лучше сразу рисунком; запись в одну строку в этом методе почти всегда кончается потерянным знаком. Они делят ось на четыре промежутка, и внутри каждого знак всего выражения постоянен, потому что обратиться в нуль оно может только в отмеченных точках. Осталось выяснить знак в одном месте. Берём крайний правый промежуток: при x = 6 получаем 7·4·1 = 28, плюс. Дальше знаки чередуются: в промежутке (2; 5) минус, в (−1; 2) плюс, левее −1 минус. Нужны значения больше нуля, поэтому ответ: (−1; 2) ∪ (5; +∞). Точки выколоты, так как неравенство строгое.

Проверка точками. x = 0: 1·(−2)·(−5) = 10, больше нуля, подходит и лежит в (−1; 2). x = 3: 4·1·(−2) = −8, не подходит. x = 6: 28, подходит. x = −2: (−1)·(−4)·(−7) = −28, не подходит.

Распространённое заблуждение: «справа всегда плюс». Это верно только тогда, когда у каждого множителя перед x стоит плюс. Решим (2 − x)(x + 1) > 0. При x = 10 получаем (−8)·11, это минус, значит, правее корня 2 знак минус. Корни −1 и 2. Промежутки: (2; +∞) минус, (−1; 2) плюс, (−∞; −1) минус. Ответ: (−1; 2). Проверка: при x = 0 имеем 2·1 = 2, подходит; при x = 3 имеем (−1)·4, не подходит; при x = −2 имеем 4·(−1), не подходит. Можно и иначе: умножить обе части на −1, перевернув знак, и решать (x − 2)(x + 1) < 0, ответ получится тот же.

Когда знак не меняется

Метод интервалов опирается на чередование знаков, но оно работает не всегда. Правило с условием: знак меняется при переходе через корень нечётной кратности, то есть такой, у которого множитель стоит в первой или третьей степени; при переходе через корень чётной кратности, где множитель в квадрате или четвёртой степени, знак не меняется.

Решим (x − 1)²(x − 4) < 0. Корень 1 чётной кратности, множитель в квадрате; корень 4 нечётной. Справа от 4, при x = 5, получаем 16·1 = 16, плюс. Через 4 знак меняется, и в промежутке (1; 4) минус. Через 1 знак не меняется, поэтому левее 1 тоже минус. Нужен минус: (−∞; 1) ∪ (1; 4). Точка 1 исключена, потому что при x = 1 выражение равно нулю, а ноль не меньше нуля. Проверка: x = 0 даёт 1·(−4) = −4, подходит; x = 1 даёт 0, не подходит; x = 2 даёт 1·(−2) = −2, подходит; x = 5 даёт 16, не подходит.

А теперь то же с нестрогим знаком: (x − 1)²(x − 4) ≥ 0. Плюс стоит только справа от 4, и вместе с корнем 4 ответ [4; +∞). Но при x = 1 выражение равно нулю, а нестрогое неравенство ноль пропускает. Эту одиночную точку нужно записать отдельно: [4; +∞) ∪ {1}. Фигурные скобки здесь значат «вместе с числом 1». Проверка: x = 1 даёт 0 ≥ 0, подходит; x = 0 даёт −4, не подходит; x = 2 даёт −2, не подходит; x = 4 даёт 0, подходит; x = 5 даёт 16, подходит. Это одна из самых частых потерь на экзамене, и обидна она тем, что решение до этого шага верное.

Дробные неравенства

Решим x/(x − 1) > 2. Главная ловушка: умножить обе части на x − 1 и получить x > 2(x − 1), то есть x < 2. Умножать на выражение с неизвестной можно, только если известно его знак, а он здесь зависит от x. Проверка показывает ошибку: при x = 0 получается 0/(−1) = 0, и ноль не больше двух, а в ответ x < 2 число 0 попало.

Правильно: перенести двойку влево и привести к общему знаменателю. x/(x − 1) − 2 > 0, откуда (x − 2(x − 1))/(x − 1) > 0, то есть (2 − x)/(x − 1) > 0. Умножим на −1 и перевернём знак: (x − 2)/(x − 1) < 0. Теперь метод интервалов. Корни 2 (числитель) и 1 (знаменатель); корень знаменателя выколот всегда, потому что на нуль делить нельзя. Справа, при x = 3, получаем 1/2, плюс. Тогда в (1; 2) минус, левее 1 плюс. Ответ: (1; 2).

Как такие неравенства соотносятся с первой частью экзамена, лучше судить по решённым примерам: если дробное неравенство получается без потерь, простое не создаст трудностей.

Проверка. x = 1,5: 1,5/0,5 = 3, больше двух, подходит. x = 3: 3/2 = 1,5, не подходит. x = 0: 0 не больше двух, не подходит. x = 2: 2/1 = 2, граница, строгое неравенство её не пускает. x = 1 вообще не существует.

При нестрогом знаке корень числителя входит, а корень знаменателя нет и тогда: (x − 2)/(x − 1) ≤ 0 даёт (1; 2]. Проверка: при x = 2 получается 0/1 = 0, и 0 ≤ 0, подходит; при x = 1 выражение не определено.

Решение неравенства обычно ломается в одном шаге, и найти этот шаг быстрее, когда решение смотрит второй человек:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 10–11 классов

Вопросы и ответы

Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется? Потому что порядок чисел на оси разворачивается: 2 < 5, но −2 > −5. Меняет знак именно умножение и деление, а прибавление и вычитание любого числа знак не трогают.

Можно ли умножить дробное неравенство на знаменатель? Можно, но только разобрав два случая: когда знаменатель положителен и когда отрицателен, и в каждом получатся свои условия. Для x/(x − 1) > 2 это даёт два отдельных расчёта и тот же ответ (1; 2), но заметно дольше. Короче перенести всё в одну часть и применить метод интервалов.

С чего начинать, если с неравенствами совсем плохо? С линейных и квадратных, и в одном порядке: сначала знак, потом промежутки. Если плохо и с уравнениями, общий список пробелов собран в обзоре тем, которые западают чаще всего.

Какая скобка у какой границы? Круглая скобка стоит у бесконечности и у границы строгого неравенства, квадратная у границы нестрогого. Так, x ≥ 3 даёт [3; +∞), а x > 3 даёт (3; +∞).

Работает ли метод интервалов не только для двух-трёх множителей? Работает для любого произведения, если его можно записать как множители с известными корнями; чем их больше, тем важнее аккуратно считать кратность каждого.