Геометрия с доказательством в ОГЭ

Школьный учебник учит читать доказательства сверху вниз: дано, затем первое следствие, второе, и вот вывод. Искать доказательство в этом порядке почти невозможно. Из условия следует слишком многое, и ученик, выписывающий всё подряд, через десять минут получает страницу верных, но ненужных равенств. Опытные решатели идут с конца и спрашивают: что должно быть верно, чтобы вывод получился? Ответ на этот вопрос ведёт к предыдущему, и цепочка разматывается в сторону условия. На чистовик её потом переписывают в обратном порядке.

О типичных потерях общего вида, например о рассуждении по кругу и о названном, но не показанном признаке равенства, подробно написано в статье про геометрию второй части, и повторять это я не буду. Здесь разобрано другое: как находить ход, какие конфигурации встречаются чаще других и как переписывать найденное начисто. Как оценивается запись и сколько баллов стоит такое задание, смотрите в критериях ФИПИ на ваш год. Пишу для девятиклассника, который признаки равенства треугольников знает, и для родителя, которому нужно понимать, что именно ребёнок пишет на листе.

Поиск с конца: что достаточно для вывода

Выводы в школьной геометрии однотипны, и для каждого есть небольшой набор способов его получить:

• равенство отрезков: равные треугольники, равнобедренный треугольник, свойства параллелограмма, отрезки касательных из одной точки;
• равенство углов: равные треугольники, накрест лежащие углы при параллельных прямых, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу;
• параллельность: равные накрест лежащие или соответственные углы, средняя линия, противоположные стороны параллелограмма;
• перпендикулярность: касательная и радиус, высота в равнобедренном треугольнике, угол, опирающийся на диаметр;
• подобие треугольников: два равных угла, часто общий угол и пара параллельных прямых.

Перечень неполный, и составлен он для привычных конфигураций: в нём нет, например, свойств вписанного четырёхугольника, которые пригодятся в более сложных задачах. Для первых разборов его хватает.

Работа с ним выглядит так. Прочитали, что нужно доказать, нашли строку, в которой это стоит, посмотрели варианты и отметили, какие из них применимы к чертежу. Если нужно показать равенство двух отрезков, а на чертеже они лежат в разных треугольниках, вероятно, потребуется равенство этих треугольников, и тогда спрашивается, какие элементы уже известны. Не хватает одного элемента? Значит, его надо получить, и поиск продолжается с этим новым, меньшим вопросом.

Параллелограмм и биссектриса

Условие: в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что треугольник ABK равнобедренный.

Начинаем с конца. Треугольник равнобедренный, если в нём два равных угла. Один из них при вершине A: это ∠BAK. Второй должен быть ∠AKB. Ничего про ∠AKB в условии нет, поэтому искать нужно связь: ∠AKB лежит на секущей AK между прямыми BC и AD. Эти прямые параллельны как противоположные стороны параллелограмма, значит, ∠AKB равен накрест лежащему ∠KAD. А ∠KAD равен ∠BAK, потому что AK — биссектриса. Цепочка замкнулась.

Теперь запись в прямом порядке. AK — биссектриса угла A, поэтому ∠BAK = ∠KAD. Прямые BC и AD параллельны, AK — секущая, поэтому ∠KAD = ∠AKB как накрест лежащие. Отсюда ∠BAK = ∠AKB, и в треугольнике ABK равны два угла, то есть он равнобедренный с основанием AK. Возле каждого «поэтому» стоит название факта, и слова «как накрест лежащие» называют именно такой факт. Заодно запомните, что из этого доказательства следует AB = BK: на таком выводе строятся вычислительные задачи, где требуется найти KC или периметр. Тот же приём работает и в трапеции: если биссектриса угла при большем основании пересекает меньшее основание, получится такой же равнобедренный треугольник, потому что всё держится на параллельности оснований.

Касательные из одной точки

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O (B и C — точки касания). Докажите, что AB = AC.

Здесь равные отрезки лежат в разных треугольниках, и первая мысль о равенстве треугольников. Но треугольников на чертеже пока нет: есть окружность и две касательные. Их нужно построить, и это самый частый ход в доказательствах: соединить центр окружности с точками касания и с точкой A. Получаются треугольники AOB и AOC. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому углы ABO и ACO прямые. OB = OC как радиусы, AO общая гипотенуза. Прямоугольные треугольники с равными гипотенузой и катетом равны, следовательно, AB = AC.

Разберите, откуда взялся вспомогательный отрезок. Он появился из вопроса «какие треугольники могут быть равны?» и сразу сделал видимыми все данные: равные радиусы и два прямых угла. Когда не знаете, что делать с окружностью, начните с радиусов в точки касания, там почти всегда есть чем заняться.

Равнобедренный треугольник и перекрёстная пара

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC (AB = BC) на боковых сторонах отмечены точки K на AB и M на BC так, что AK = CM. Докажите, что AM = CK.

Цель — равенство отрезков, которые лежат в разных треугольниках, поэтому смотрим на пару AMC и CKA. У них общая сторона AC. Ещё одна пара сторон известна из условия: AK = CM. Не хватает угла между ними, и он находится в равнобедренном треугольнике: углы при основании равны, то есть ∠KAC = ∠MCA. Теперь все три элемента собраны. Запись в прямом порядке такая: AB = BC, поэтому ∠A = ∠C как углы при основании; в треугольниках AKC и CMA сторона AC общая, AK = CM по условию, углы KAC и MCA равны; значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, и соответственные стороны CK и AM равны.

Такое расположение я называю перекрёстной парой, потому что треугольники повёрнуты друг к другу «наоборот»: сторона AK из первого лежит против вершины C, а CM из второго против вершины A. Из-за такого расположения ученики часто сомневаются, какие стороны соответственные, и записывают равенство не тех пар. Проверка проста: назовите вершины в одинаковом порядке и посмотрите, какие стороны оказались под одними и теми же номерами.

Подобие по общему углу

Короче всех устроена эта конфигурация. Прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC, M лежит на AB, N на BC. Требуется доказать, что BM/BA = BN/BC. Это отношения сторон, значит, вывод следует из подобия треугольников MBN и ABC, а подобие даёт пара равных углов. Угол B у них общий, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных MN и AC. Подобие по двум углам доказано, стороны пропорциональны, остаётся выписать нужную пару отношений.

Здесь есть своя ловушка, и она в записи: порядок вершин в «треугольник MBN подобен треугольнику ABC» означает соответствие M с A, B с B, N с C. Поэтому BM/BA = BN/BC = MN/AC, а перепутанный порядок даст отношение не тех сторон. Проверяющий читает именно эту запись, и неверное соответствие вершин он принимает за неверное рассуждение, даже если вы имели в виду правильное.

Перевернуть цепочку

Самая неприятная часть работы начинается тогда, когда ход найден. Черновик у ученика выстроен с конца: цель, что нужно, ещё что нужно. В чистовик его нужно переписать в обратном порядке, и эту перестановку делают не все. Типичное зрелище: решение начинается с утверждения «треугольник равнобедренный», затем идёт «потому что углы равны», и дальше уже условие. Получается, что вывод стоит там, где должно быть начало.

Удобный способ сделать это правильно: пронумеровать звенья черновика с конца и переписывать с последнего номера к первому. Каждая строка чистовика начинается с факта, на который можно опереться, и заканчивается утверждением, которое из него следует. В последней строке повторяется то, что требовалось доказать, теми же словами, что в условии. Вспомогательные построения (как отрезки OB и OC выше) вводятся отдельной строкой в начале, чтобы читающий не гадал, откуда они взялись.

Как тренироваться и где искать помощь

Я бы не советовал учить доказательства как тексты. Полезнее запомнить идею каждой конфигурации: у биссектрисы в параллелограмме это накрест лежащие углы, у касательных вспомогательные радиусы, у параллельной прямой в треугольнике подобие, а у диаметра прямой вписанный угол. В новом условии ученик узнаёт чертёж, вспоминает идею и записывает свою цепочку, а не воспроизводит книжную.

Полезно завести собственную картотеку конфигураций: на карточке чертёж и идея доказательства одной строкой, например «накрест лежащие углы, чтобы показать равнобедренность». Когда в новом условии что-то знакомое, карточка подсказывает ход быстрее, чем пересмотр учебника. Новые карточки добавляются после каждого разбора пробника.

Следующая ступень сложности описана в статье про последнее задание работы, где одной конфигурации не хватает и нужно соединять несколько. Пока же стоит помнить о соседних темах второй части: график функции тренирует ту же привычку проверять рисунок, а общая схема работы изложена в статье про структуру ОГЭ по математике. Обзор остальных предметов и устройства вариантов — в статье про ОГЭ в целом.

Репетитор нужен, когда ученик решает доказательства вслух, а на бумаге выходит обрывок. Попросите, чтобы он смотрел, как ученик ищет ход: наблюдение за поиском даёт больше, чем десяток проверенных готовых записей. Онлайн это организовать несложно: ученик показывает лист в камеру или присылает в чат фотографию, и разбор идёт строка за строкой (общей доски в комнате занятия нет, работа ведётся на бумаге, как на экзамене).

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ
• репетиторы для девятиклассников

Вопросы и ответы

Нужно ли писать «Дано» и «Доказать»? Требует ли это инструкция вашего года, сверьте в документе. Чертёж и две-три строки с условием и целью читающему помогают, поэтому я бы их писал.

Можно ли пользоваться теоремой, которой нет в учебнике? Безопаснее доказать самому. Если теорема из курса, называйте её и применяйте. Если нет, например что-то из олимпиадной геометрии, то допускается ли ссылка на неё, говорят критерии, и надеяться на снисходительность проверяющего я бы не стал.

Что делать, если ход не находится? Вернуться к цели и задать новый вопрос: что достаточно для вывода. Выписать из перечня выше варианты, отметить на чертеже все данные, которые ещё не использованы, и посмотреть, какой вариант они обеспечивают. Часто решение появляется после дополнительного отрезка: радиус в точку касания или продолжение стороны. Если после этого ничего нет, запишите то, что уже доказано, и оставьте задачу.

Помогает ли знать доказательства наизусть? Частично: идеи полезны, дословные тексты нет, потому что условие всегда немного другое.

Нужно ли доказывать то, что кажется очевидным? Нужно, если в условии этого нет, а на чертеже оно только выглядит так. Точка посередине отрезка серединой не считается, пока про это не сказано, и равенство углов «на глаз» утверждением не является. Если очевидное следует из условия прямо, достаточно одной строки со ссылкой, и тратить на это полстраницы не стоит.