Сложная геометрия ОГЭ: последнее задание

Последняя геометрическая задача работы устроена иначе, чем соседние. В вычислительной задаче есть один основной факт, и его надо вспомнить. В доказательстве есть небольшой набор конфигураций, и их надо узнать. Здесь же нет одного приёма, который срабатывает: нужно заметить две-три связи между элементами чертежа, и ни одна из них не лежит на поверхности. Нередко решение держится на вспомогательной линии или на втором взгляде на ту же фигуру: на площадях вместо углов, на подобии вместо равенства.

Моя позиция такая: большинству девятиклассников эта задача не нужна, и это не лень, а расчёт. Если цель состоит в хорошей отметке или в поступлении в колледж, время разумнее потратить на доказательство и вычисление, о которых написано в статье про геометрию с доказательством: там балл надёжнее. Если же в планах профильный класс с сильной математикой, последняя задача нужна, и осваивать её лучше поздней зимой и весной, когда остальное стабильно. Какого она типа в вашем году (вычисление, доказательство или смесь), сколько стоит и как оценивается, сказано в демоверсии, спецификации и критериях ФИПИ на 2027 год, и до сверки я эти числа не называю.

Вспомогательное построение: радиусы и биссектрисы

Условие, придуманное мной для статьи: в равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 12. Окружность радиуса 9 с центром вне треугольника касается продолжений боковых сторон и касается основания AC в его середине M. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Прямой счёт возможен, но неприятен: обозначаете боковую сторону буквой, выражаете высоту, составляете уравнение с радиусом внешней окружности, и выходят боковая сторона 15,6 и высота 14,4. Ответ получается, но до него надо добраться по дороге из десятичных дробей. Если числа в промежуточных шагах выходят такими, лучше остановиться и поискать идею.

Идея такая. Центр вписанной окружности I и центр данной окружности O лежат на биссектрисе угла B, а в равнобедренном треугольнике она совпадает с высотой BM. Значит, точки M, I и O лежат на одной прямой, перпендикулярной AC, причём M между I и O. Теперь обратите внимание на вершину A. Луч AI делит пополам угол BAC. Луч AO делит пополам смежный с ним угол, образованный стороной AC и продолжением стороны BA, потому что окружность с центром O касается обеих прямых. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, и угол IAO прямой.

В прямоугольном треугольнике IAO отрезок AM — высота, проведённая из вершины прямого угла, а точка M лежит на гипотенузе IO. Квадрат такой высоты равен произведению отрезков гипотенузы: AM² = IM · OM. Здесь AM = 6 как половина основания, OM = 9 как радиус, проведённый в точку касания, а IM — искомый радиус r. Получаем 36 = 9r и r = 4.

Разбор показывает, почему такую задачу нельзя «выучить»: тот же приём в другом условии выглядит иначе. Зато идея переносится. Когда в условии есть вписанная окружность и вторая, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, ищите перпендикулярные биссектрисы смежных углов.

Какие факты держать наготове

Для задач этого класса пригодится небольшой запас фактов, которые в школе проходят в основном в восьмом и девятом классах:

• биссектрисы смежных углов перпендикулярны, а центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис угла треугольника;
• отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, касательная перпендикулярна радиусу в точке касания;
• в прямоугольном треугольнике высота из вершины прямого угла делит его на два подобных ему треугольника, и квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы;
• площадь считается двумя способами: половина произведения основания на высоту и половина произведения двух сторон на синус угла между ними, а приравнивание двух выражений для одной площади нередко даёт искомое;
• в четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны, а около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Трапеция и площади

Окружности есть не в каждом условии, и бывает, что рабочий инструмент другой, например пропорциональность. В трапеции ABCD с основаниями AD = 15 и BC = 5 диагонали пересекаются в точке O, площадь треугольника BOC равна 10. Найдите площадь трапеции.

Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам: вертикальные углы при O и накрест лежащие при параллельных основаниях. Коэффициент подобия равен отношению оснований, то есть 5/15 = 1/3, площади относятся как квадрат коэффициента, поэтому площадь треугольника DOA равна 9 · 10 = 90. Остаются боковые треугольники AOB и COD. Из подобия BO относится к OD как 1 к 3. Треугольники AOB и AOD имеют общую высоту из вершины A к диагонали BD, поэтому их площади относятся как BO к OD, и площадь AOB равна 90/3 = 30. Для COD рассуждение то же, он делит с BOC общую высоту из C, и площадь тоже 30. Всего 10 + 90 + 30 + 30 = 160.

Здесь два соображения подряд: подобие даёт отношение площадей двух треугольников, а отношение отрезков диагонали даёт площади двух других. Легко перепутать и взять коэффициент подобия вместо его квадрата.

С чего начать, когда ход не виден

Первые минуты стоит потратить на подготовку места, где идея может появиться. Нарисуйте чертёж общего вида и отметьте всё данное, затем выпишите отдельной строкой, что нужно найти. После этого полезно перебрать, что вы знаете о каждой фигуре на рисунке: что даёт окружность, что даёт равнобедренность, какие отрезки уже связаны, а какие висят в воздухе. Висящий отрезок и есть подсказка: его нужно прикрепить к чему-нибудь вспомогательной линией.

Хорошо работает вопрос «какую величину я могу найти двумя способами?». Одна и та же площадь или один и тот же отрезок, выраженный через две цепочки, дают уравнение, и оно часто содержит искомое.

Площадь, посчитанная дважды

Дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15, нужно найти высоту, проведённую к стороне 15. Прямой подход здесь тяжёл, а площадь выручает. Проведём высоту h к стороне 14 и обозначим x отрезок, на который она делит эту сторону со стороны 13. Из прямоугольных треугольников x² + h² = 169 и (14 − x)² + h² = 225. Вычитание даёт 196 − 28x = 56, откуда x = 5 и h = 12. Площадь треугольника равна 14 · 12 / 2 = 84. Теперь та же площадь через другую сторону: 15 · h₁ / 2 = 84, откуда h₁ = 168/15 = 11,2.

Приём простой и срабатывает в самых разных условиях: у треугольника есть три пары «сторона и высота к ней», и площадь у них одна. Если в условии известны две пары, третья находится одним действием. То же касается радиуса вписанной окружности: площадь равна произведению радиуса на полупериметр, и радиус выходит из деления.

Если решение не дошло до конца

Здесь важен порядок действий. Чертёж с отмеченными данными, затем всё, что вы можете обосновать, пусть даже не приближающее к ответу. Потом цель, сформулированная как уравнение или как утверждение, которое осталось доказать. Сколько баллов даёт частичный ход именно в этом задании, говорят критерии, и я бы не рассчитывал на частичную оценку там, где в записи нет ни одного обоснованного шага. С другой стороны, строка «AM² = IM · OM — осталось найти IM» уже показывает, что вы нашли идею, и пустой лист этого показать не может.

Родителю, который не помнит геометрию, решение понимать не обязательно. Достаточно спросить ученика, какую величину он нашёл двумя способами и где у него в чертеже висящий отрезок. Ответы на эти два вопроса показывают, думает ли он над задачей или переписывает чужое.

Распределять силы между задачами разумно так, чтобы на последнюю не уходило всё оставшееся время. Если размышления долго не дают ни одной связи между элементами чертежа, самое время перейти к заданиям, где балл можно получить уверенно, а к этой вернуться позже.

Кому и когда браться

Признак того, что пора пробовать, простой: вычислительную задачу второй части ученик решает без подсказки, а доказательство в типовых конфигурациях доводит до последней строки. Пока этого нет, разбирать здесь нечего, потому что не хватает опоры, на которую вспомогательное построение садится.

Последняя задача хуже всего подходит для самостоятельного разбора: чтобы увидеть идею, нужен человек, который подскажет вопрос и промолчит про решение. На занятии онлайн ученик показывает лист в камеру или присылает фотографию в чат, репетитор спрашивает «что нужно, чтобы это равенство получилось?», и дальше ученик идёт сам. Общей доски в комнате занятия нет, и это не мешает: чертёж всё равно рисуется от руки.

Распределяя подготовку между предметами, помните, что у девятиклассника не одна математика. Короткая ежедневная тренировка, например синтаксический разбор предложений на русском, теряет ритм, когда неделя целиком ушла на одну трудную геометрическую задачу, и вернуть ритм потом дороже, чем отложить сложную геометрию.

Общая картина экзамена и то, как делится работа, описаны в статье про структуру ОГЭ по математике, а про другие предметы — в обзоре устройства вариантов ОГЭ.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Стоит ли браться за неё, если геометрия идёт на четвёрку? Только когда вычисление и доказательство получаются устойчиво и остаётся время. Если они ещё нестабильны, лучше потратить его на них: баллы там доступнее.

Как понять, что нужно вспомогательное построение? Признак один: данных не хватает. В условии есть длина, но к ней не привязан ни треугольник, ни угол, или две величины никак не связаны. Тогда ищите линию, которая создаст недостающий треугольник: радиус в точку касания, высоту, параллельную прямую, продолжение стороны. Каждую такую линию стоит пробовать на вопросе «какие равенства или подобия она даёт?». Если ответ пустой, линия лишняя.

Можно ли решать координатами или тригонометрией? Верное и обоснованное решение другим способом оценивается по тем же критериям, сверьтесь с документом вашего года. Формулу, которой нет в школьном курсе, выводите сами.

Нужен ли для этого отдельный репетитор? Нужен, если в планах профильный класс. Для остальных хватает занятий по основной геометрии.

С чего начать подготовку именно к ней? С повторения фактов из списка выше, потому что без них вспомогательное построение не к чему применить. Дальше по одной задаче за занятие, с обязательным возвращением к ней через несколько дней: решение, которое вы не смогли повторить без подсказки, ещё не ваше. Сначала решите её с подсказкой репетитора, потом без, потом объясните другому человеку, почему вспомогательная линия проведена именно так.