Геометрия в ОГЭ по математике: вторая часть

В марте у многих девятиклассников одна и та же картина. Первая часть пробника решена уверенно, алгебра второй части понемногу поддаётся, а на месте геометрических задач стоят пустые листы или две строки вроде «из чертежа видно, что углы равны». Родители в такой момент обычно решают, что ребёнку «не даётся геометрия», и покупают ещё один сборник. Задач при этом хватает почти всегда. Не хватает привычки делать то, что именно во второй части оценивается: выстраивать цепочку утверждений, каждое из которых на что-то опирается.

Вся вторая часть геометрии держится на одном различии, которое стоит понять раньше всего остального: в первой части геометрию узнают, во второй её пишут. Из этого различия видно, где теряют балл и почему привычная тренировка десятками коротких задач здесь помогает меньше, чем кажется.

Чем вторая часть отличается от первой

В первой части геометрия узнаётся: дан готовый рисунок или клетчатая бумага, нужно вспомнить факт и получить число. Решение никто не читает, поэтому ученик, который «видит» ответ, ничего не теряет, даже если объяснить его не может. Подготовка к такому заданию соответствующая: много коротких задач, быстрое припоминание фактов. Она описана в статье про геометрию первой части. Сколько в работе заданий, как они распределены и что за каждое полагается, указано в демоверсии, спецификации и критериях ФИПИ на ваш год, а общая картина экзамена дана в статье про структуру ОГЭ по математике.

Во второй части условие чаще всего дано словами, без чертежа (точный вид заданий смотрите в демоверсии), и оценивается не только ответ, но и путь к нему. Эксперт читает ваше решение как чужой текст. Спросить, что вы имели в виду, он не может, и всё, чего нет на бумаге, для него не существует. В этом вся разница, и из неё следует практический вывод: главное умение для второй части — записать рассуждение для читателя, который геометрии не знает, а скорость решения вторична.

Одна задача, решённая до конца и записанная начисто, даёт для второй части больше, чем россыпь задач, решённых в уме. Проверка простая: дайте запись человеку, который геометрию не учил, и попросите отметить места, где ему непонятно, откуда что взялось. Каждая такая пометка — место, где эксперт мог бы снять балл. Если подходящего читателя дома нет, его роль может сыграть репетитор: на видеозанятии ученик показывает чертёж в камеру или присылает фотографию своего листа в чат, и разбор идёт по строкам. Общей доски в видеокомнате нет, так что чертёж и решение в любом случае живут на бумаге, как и на экзамене.

В апреле выясняется ещё одно. Школьный пробник нередко проверяет учитель, который видит общее понимание и ставит отметку по нему, а потери на обосновании остаются незамеченными. Ребёнок с «хорошо» за пробную работу приходит на занятие и обнаруживает, что в геометрии второй части у него заметная часть записи не засчитывалась бы. Поэтому пробник стоит разбирать ещё и по критериям, а как проходит пробный ОГЭ в школе, лучше выяснить заранее.

Задача на вычисление: где уходят баллы

Вычислительная геометрическая задача второй части похожа на продолжение первой: найти длину отрезка или величину угла. Отличие в том, что решение записывается целиком. Потери в ней складываются из нескольких причин, и лечатся они по-разному, поэтому разберу их порознь.

Первая причина — арифметика. Ход верный, все факты названы, а в конце неправильно перемножили или сократили дробь. По критериям такое решение получает частичный балл (размер частичного балла смотрите в критериях вашего года), поэтому бросать задачу при первой неувязке ответа нельзя: записывайте, до чего дошли. Лечится это вопросом «правдоподобно ли?». Катет вышел длиннее гипотенузы или площадь части больше площади целого — значит, ошибка где-то выше, и искать её надо сразу, пока решение свежо.

Вторая причина — чертёж вместо условия, и она, на мой взгляд, самая частая во всей школьной геометрии. Угол нарисован прямым, и ученик считает его прямым; отрезки выглядят равными, и они «равны»; точка стоит примерно посередине, и её называют серединой; четырёхугольник похож на параллелограмм, и дальше работают свойства параллелограмма. В условии ничего этого нет, значит, это нужно доказать или принять за неизвестное. Приём, который я считаю рабочим: рисовать чертёж намеренно общего вида, то есть разносторонний треугольник и четырёхугольник без параллельных сторон. Равенство, которого в условии нет, тогда не будет бросаться в глаза.

Третья причина — ответ без пути. Верное число, к которому ученик пришёл по наитию и записал одной строкой, полного балла, как правило, не получает: критерии оценивают ход и обоснование вместе с ответом. Это главное отличие от первой части, и о нём лучше предупредить заранее, потому что многие сильные ученики узнают его только после первой проверенной экспертом работы.

Отдельно о боязни решить не так, как в сборнике. Она напрасна: верное и обоснованное решение другим способом оценивается по тем же критериям, такая возможность в них предусмотрена. Время на поиск «авторского» хода лучше потратить на запись собственного.

Тренируется вычисление удобнее всего подборками по одному факту: две-три задачи на подобие треугольников подряд, но с разными чертежами. Ученик видит, что факт один, а чертежи у задач разные.

Доказательство: самая предсказуемая задача работы

Я считаю, что задача на доказательство — самая выгодная геометрия всей работы, хотя репутация у неё обратная. Условия таких задач сходятся к небольшому набору конфигураций: параллелограмм и его диагонали, равнобедренный треугольник с отрезком внутри, окружность с хордами или касательной, пара подобных треугольников. Эта повторяемость — как раз то, чего нет у вычислительной задачи, где путь придумывается заново. Но это верно лишь для ученика, который уже свободно применяет признаки равенства и подобия треугольников. Без них доказательство остаётся недоступным, и сначала нужна база из первой части.

Потери в доказательстве устроены иначе, чем в вычислении: числа нет, и сверять нечего. Эксперт читает цепочку и ищет, где она обрывается, а типичных обрывов несколько.

Самый частый — доказывают то, что просили доказать. В середине записи появляется равенство углов, которое и составляет вывод, а дальше всё «следует» из него. Проверка простая: найдите в записи утверждение, совпадающее с требуемым, и посмотрите, стоит ли оно в конце.

Почти так же часто признак называют, но не показывают, по каким элементам он выполнен. «Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними» — и точка. Эксперту нужно видеть, какие именно стороны и какой именно угол взяты и почему эти пары равны: это следует из условия или из свойства фигуры, например потому, что сторона общая.

Реже, но заметно, остаются неиспользованными данные условия. Правило, которое я даю ученикам: каждое данное зачем-то нужно. Если одно из них ни разу не встретилось в рассуждении, то либо в доказательстве дыра, либо найден обходной путь, который стоит проверить на ошибку. И наконец, мелочь, на которой теряют часть оценки: итог не сопоставлен с требованием задачи. Рассуждение дошло до нужного равенства, а последней строки с выводом нет. Критерии допускают частичный балл именно за решения с такими недочётами, и попадать в эту зону без нужды не стоит.

Записывать доказательство удобно, начав с чертежа, на котором отмечено всё данное: равные отрезки и углы, параллельные прямые. Отдельной строкой выпишите, что требуется доказать. После этого вопрос становится конкретным: какой факт связывает отмеченное с нужным? Ученик, пропустивший эту подготовку, начинает писать сразу и через две строки обнаруживает, что не помнит условие. Возвращение к условию в середине записи как раз и приводит к тем обрывам цепочки, о которых сказано выше.

Тренировать доказательство полезно в обратную сторону: возьмите готовую проверенную запись и попросите ученика найти шаг, который можно убрать без ущерба. Он быстро обнаруживает, что часть шагов лишняя, а часть держит всё остальное, и собственные записи после этого становятся короче и точнее. Другой вариант — дать запись с намеренно вставленной дырой, например с пропущенным признаком или лишним допущением, и попросить её найти. Умение видеть дыру в чужом рассуждении переносится на своё лучше, чем ещё одно решение задачи того же типа.

Ссылаться можно на факты школьного курса, называя теорему или свойство по имени. Разбор типовых конфигураций вынесен в статью про геометрию с доказательством.

Самая трудная геометрическая задача

Последняя геометрическая задача работы труднее остальных, и её разбор вынесен в статью про сложную геометрию. Моё мнение такое: если цель — отметка, а не конкурс в сильный профильный класс, браться за неё стоит только после того, как вычисление и доказательство решаются стабильно. Пока этого нет, попытки на самой трудной задаче чаще всего заканчиваются теми же двумя ошибками: чертёж вместо условия и обрыв цепочки. Если профильный класс в планах, картина другая, и тогда трудная задача берётся в работу на общих основаниях.

Порядок при позднем старте

При старте в конце зимы или весной порядок такой. Сначала закрыть факты первой части, без них не сдвинется ни вычисление, ни доказательство. Затем доказательство по типовым конфигурациям, потому что оно повторяется и поддаётся обучению быстрее всего. Затем вычисление. Самая трудная задача идёт в последнюю очередь или не идёт вовсе.

Рядом с геометрией есть блок, где баллы берутся без теорем: практические задачи. Его стоит тренировать параллельно, потому что он требует внимания к условию и почти не требует рассуждения, а значит, с геометрией за силы не конкурирует.

Список повторяющихся ошибок, о котором говорится в плане подготовки к ЕГЭ на год, по геометрии удобно вести отдельно: по нему видно, чему посвящать следующее занятие, теории или записи.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ
• репетиторы по математике с пробным занятием
• репетиторы для девятиклассников
• все репетиторы для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Можно ли решить задачу не так, как в ответах сборника? Да. Критерии оценивают верность и обоснованность решения, совпадение с авторским способом в них роли не играет.

Что делать, если нужная теорема не вспоминается? Запишите то, что вы точно знаете и что продвигает решение: названные факты и найденные величины. Частичный балл ставится за верный ход, а ход виден только на бумаге. Выдумывать несуществующую теорему не нужно: ложное утверждение хуже пропуска, потому что цепочка после него рушится целиком. Если решение застряло, вернитесь к чертежу и подпишите на нём всё, что следует из условия, без исключений: чаще всего нужный факт обнаруживается на втором круге.

Нужен ли свой чертёж, если в условии есть рисунок? Если рисунок дан, пользуйтесь им и дополняйте обозначениями. Если нет, чертёж нужен всегда: без него обоснованию не к чему привязаться.

Нужен ли репетитор именно по геометрии? Нужен, когда ученик знает факты, но не может записать рассуждение, или когда пробелы идут с седьмого класса и школьной программе до них уже не добраться. Если проблема в невнимательности и арифметике, хватит тетради ошибок и разбора пробников, а занятия лучше посвятить алгебре второй части.