Линейные уравнения: как решать и где ошибаются

Линейное уравнение — это такое, где x стоит в первой степени и ни на что не умножается: 3x + 5 = 20 или 7x − 5 = 3x + 11. Решать их учат в шестом–седьмом классе. Выглядят они просто, поэтому после урока о них забывают. А через три года линейное уравнение сидит внутри чего-то большего: в дробях, в текстовой задаче, в последнем шаге квадратного уравнения. Ошибаются здесь не из-за сложности, а из-за мелочей: потерянного минуса и делителя, который оказался нулём.

Уравнение удобно представлять как весы. Слева и справа должно быть поровну, и всё, что делаешь с одной чашкой, нужно сделать и с другой. Почти каждая ошибка ниже — это момент, когда одну чашку тронули, а про вторую забыли. Общая картина слабых мест школьной программы собрана в статье про темы школьной математики, которые западают чаще всего.

Три случая, которые бывают всегда

Любое линейное уравнение после переноса слагаемых приводится к виду a·x = b. Дальше есть ровно три возможности, и каждая записывается с условием.

Если a ≠ 0, уравнение имеет один корень x = b/a. Так выходит почти всегда. Если a = 0 и b = 0, получается 0·x = 0, и подходит любое число. Если a = 0, а b ≠ 0, получается 0·x = 5: умножение на нуль всегда даёт нуль, пятёрки не получить, решений нет.

Два последних случая любят составители: уравнение выглядит обычным, а ответ необычный. Возьмём 2(x + 3) = 2x + 6. Раскрыв скобку, получаем 2x + 6 = 2x + 6, то есть 0 = 0. Проверим при x = 10: 26 = 26; при x = −4: −2 = −2. Подходит любое число. А в уравнении 2(x + 3) = 2x + 7 после раскрытия левая часть всегда ровно на единицу меньше правой, и мы приходим к 6 = 7. Решений нет, и это законный ответ: искать после него ошибку незачем.

На практике это выглядит так. В уравнении 2x + 5 = 2x + 9 переносим слагаемые и получаем 2x − 2x = 9 − 5, то есть 0 = 4. Неизвестная исчезла, а равенство осталось неверным: решений нет. Если бы справа стояло 2x + 5, осталось бы 0 = 0, и подошло бы любое число. Исчезновение x здесь и есть ответ.

Перенос слагаемых и скобки с минусом

Правило «перенёс через знак равенства — поменял знак» кажется волшебством, пока не вспомнишь про весы: мы убираем одно и то же с обеих чашек, и равновесие остаётся. В уравнении 7x − 5 = 3x + 11 вычтем 3x и прибавим 5 к обеим частям. Получается 4x = 16, значит x = 4. Подставим: слева 7·4 − 5 = 23, справа 3·4 + 11 = 23. Совпало.

Самое частое место потери знака — минус перед скобкой. Решим 5 − (2x − 3) = 4x + 8. Минус действует на всё, что в скобке, поэтому скобка раскрывается так: 5 − 2x + 3. Слева выходит 8 − 2x, и уравнение превращается в 8 − 2x = 4x + 8. Переносим: −2x − 4x = 8 − 8, то есть −6x = 0, и x = 0. Проверка: слева 5 − (0 − 3) = 8, справа 4·0 + 8 = 8.

Школьники нередко не верят ответу x = 0 и начинают искать ошибку, которой нет: им кажется, что ноль «не бывает ответом». Бывает, и вполне часто.

А вот как выглядит типичная ошибка. Если забыть, что минус относится ко всей скобке, и написать 5 − 2x − 3, получится 2 − 2x = 4x + 8, затем −6x = 6 и x = −1. Подставим это в исходное уравнение: слева 5 − (−2 − 3) = 10, справа 4·(−1) + 8 = 4. Не сходится. Подстановка нашла ошибку за десять секунд, и без неё ответ ушёл бы в работу как верный.

Скобок может быть несколько, и тогда знаки удобнее раскрывать по одной скобке за шаг. Решим 3(2x − 1) − 2(x + 4) = 5x − 7. Первая скобка: 6x − 3. Вторая с минусом перед ней: −2x − 8. Слева 4x − 11, и уравнение стало 4x − 11 = 5x − 7. Переносим: 4x − 5x = −7 + 11, то есть −x = 4, и x = −4. Проверка: слева 3·(−9) − 2·0 = −27, справа 5·(−4) − 7 = −27. Обратите внимание на последний шаг: из −x = 4 получается x = −4, и знак тут теряется особенно легко. Деление обеих частей на отрицательное число меняет знак ответа, и это вторая по частоте потеря после минуса перед скобкой.

Иногда перед решением выручает формула сокращённого умножения: в уравнении (x + 3)² − x² = 15 квадраты неизвестной уничтожают друг друга. Раскрываем: x² + 6x + 9 − x² = 15, остаётся 6x = 6, x = 1. Проверка: (1 + 3)² − 1² = 16 − 1 = 15.

Дроби и десятичные коэффициенты

Если в уравнении есть дроби, их проще убрать сразу: умножить обе части на общий знаменатель. Возьмём (x + 1)/2 − (x − 2)/3 = 1. Знаменатели 2 и 3, общий — 6. Умножаем каждое слагаемое на 6, включая правую часть: 3(x + 1) − 2(x − 2) = 6.

Здесь прячутся сразу две ловушки. Первая: единица справа тоже умножается на 6, и многие забывают. Вторая: у второй дроби перед числителем минус, а числитель теперь в скобках, значит, знак меняется у обоих слагаемых скобки. Раскрываем: 3x + 3 − 2x + 4 = 6, откуда x + 7 = 6 и x = −1. Подставим в исходное: (−1 + 1)/2 = 0, (−1 − 2)/3 = −1, и 0 − (−1) = 1. Верно.

С десятичными дробями поступают так же: умножают обе части на 10 или 100, чтобы запятых не осталось. В уравнении 0,3x + 1,2 = 0,5x − 0,4 умножим всё на 10 и получим 3x + 12 = 5x − 4. Переносим: 3x − 5x = −4 − 12, то есть −2x = −16, и x = 8. Подставим: 0,3·8 + 1,2 = 2,4 + 1,2 = 3,6, а 0,5·8 − 0,4 = 4 − 0,4 = 3,6. Тут снова легко написать x = −8, поделив −16 на −2 и потеряв, что минус на минус даёт плюс.

Когда x стоит в знаменателе

Здесь уравнение перестаёт быть линейным, но решается оно тем же путём, и главное осторожное место — деление. Возьмём 2x/(x − 3) = 6/(x − 3). Умножим обе части на x − 3 и получим 2x = 6, то есть x = 3.

Теперь подставим этот корень обратно: знаменатель x − 3 при x = 3 равен нулю. На нуль делить нельзя, и обе части уравнения при x = 3 не существуют. Значит, корень лишний, а у исходного уравнения решений нет. Это полный и правильный ответ.

Чтобы не попадать в такую ловушку, до решения записывают, какие значения неизвестной исключены: здесь x ≠ 3. Такой набор допустимых значений называют областью допустимых значений, сокращённо ОДЗ. После решения полученный корень сверяют с этим условием. Умножать обе части на выражение с неизвестной вообще можно только тогда, когда оно не равно нулю.

Для сравнения — уравнение 3/(x − 1) = 1, где условие x ≠ 1. Умножаем на x − 1: 3 = x − 1, откуда x = 4. Корень не равен 1, значит, он допустим. Проверка: 3/(4 − 1) = 3/3 = 1.

Рядом стоит родственная ошибка: делить обе части на x, не зная, что x ≠ 0. Из уравнения 3x = 5x можно получить 3 = 5 и объявить, что решений нет. Но подстановка x = 0 даёт 0 = 0, значит корень существует. Правильно переносить: 3x − 5x = 0, −2x = 0, x = 0.

Подстановка и текстовые задачи

Привычка, которая экономит больше всего, — записывать решение столбиком: один шаг на строку, знаки равенства друг под другом, каждое действие с обеими частями сразу. Решение в одну длинную строку выглядит экономным, но именно в нём теряются минусы, а при проверке учителем или репетитором нельзя понять, где свернули не туда. Плюс подстановка в конце: она занимает меньше минуты и ловит почти все ошибки из тех, что разобраны выше. В первой части экзамена (как её закрывать — в статье про первую часть ЕГЭ по математике) показательные, логарифмические и иррациональные уравнения на последнем шаге нередко сводятся к линейному или квадратному, и знак теряют как раз на этом шаге.

В текстовой задаче линейное уравнение составляют сами, и тут ошибки добавляются другие. Задача: на двух полках 54 книги, на второй на 6 книг больше, чем на первой. Сколько книг на первой? Пусть на первой x, тогда на второй x + 6: x + (x + 6) = 54. Получается 2x + 6 = 54, 2x = 48, x = 24. На второй 30. Проверка условия: 24 + 30 = 54, и 30 − 24 = 6.

Проверять нужно по условию задачи: подстановка в собственное уравнение ничего не проверяет. Если уравнение составлено неверно, например с минусом вместо плюса, корень в нём сойдётся, а в условии нет. К тому же неизвестная не всегда то, что спрашивают в вопросе: x могло означать вторую полку, а в ответе нужна первая.

Когда нет уверенности, что вы нашли свою ошибку сами, помогает разбор с человеком, который заметит повторяющуюся привычку, а единичную опечатку заметит и сам ученик:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 5–8 классов

Следующая тема после линейных — квадратные уравнения и теорема Виета, где всё сказанное про знаки и про ОДЗ нужно сразу же.

Вопросы и ответы

Можно ли делить обе части на x? Только если известно, что x не равен нулю. Иначе теряется корень x = 0, как в уравнении 3x = 5x выше. Безопасный путь всегда один: всё перенести в одну часть и вынести общий множитель.

В ответе получилось 0 = 0. Это ошибка? Нет. Если x при решении пропало и осталось верное равенство, подходит любое число. Если осталось неверное, например 6 = 7, решений нет.

Ответ вышел дробью, например x = 7/3. Так и писать? Да, если в условии не сказано округлить. Из уравнения 3x = 7 получается x = 7/3, то есть две целых и одна треть; десятичной дробью записать это число точно нельзя, поэтому 2,33 неточный ответ. Проверка: 3·(7/3) = 7.

Бывают ли линейные уравнения на экзамене отдельным заданием? Как правило, они встречаются внутри других заданий; общий порядок заданий разобран в структуре ЕГЭ по профильной математике.

Сколько уравнений надо решить, чтобы тема закрылась? Одного уравнения каждого вида из этой статьи хватает, если решить его до конца, с проверкой подстановкой, и вернуться к нему через неделю, не заглядывая в записи. Одинаковые уравнения, решённые много раз подряд, работают на навык хуже, чем несколько разных, но с проверкой каждого.