Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — это готовые результаты умножения, которые не нужно каждый раз раскрывать скобку за скобкой. Их набор небольшой, всего семь, и дальше они встречаются везде: в уравнениях, в сокращении дробей, при вычислении корней, в тригонометрии. Школьник, который их не удержал, к девятому классу тратит на преобразования заметно больше времени, чем одноклассник, хотя разницы в способностях нет.

Формулы «знакомы, но на слух» у многих: в тетради вроде бы есть, а в выражении глаз их не находит. Все примеры ниже проверены подстановкой чисел: подставьте любое число в обе части, и ошибка станет видна сразу. Первую часть ЕГЭ решают быстрее те, кто видит формулу в выражении сразу.

Все семь формул

Буквы a и b в формулах обозначают любые числа или выражения. Вот список:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Где именно формулы работают внутри экзаменационных заданий, показывает разбор структуры ЕГЭ. Каждую формулу читают в обе стороны. Слева направо она раскрывает скобки, справа налево раскладывает на множители, и вторая половина применяется не реже первой. Подстановка выражения на место буквы работает без изменений: для (2x + 3)² берём a = 2x, b = 3 и получаем 4x² + 12x + 9. Проверим при x = 1: слева 5² = 25, справа 4 + 12 + 9 = 25.

Квадрат суммы и квадрат разности

Самая распространённая ошибка в алгебре — (a + b)² = a² + b². Проверьте на числах: при a = 2 и b = 3 слева 5² = 25, справа 4 + 9 = 13. Не сходится, потому что потерян средний член 2ab. Откуда он берётся, видно на картинке. Квадрат со стороной a + b разбивается на квадрат со стороной a, квадрат со стороной b и два одинаковых прямоугольника a на b. Площади складываются: a² + b² + ab + ab, то есть a² + 2ab + b².

В квадрате разности меняется знак у среднего члена, но не у последнего: b² в обеих формулах с плюсом. Решим (2x − 5)². Здесь a = 2x, b = 5. Первое слагаемое (2x)² = 4x²: в квадрат возводится и коэффициент. Среднее: 2·2x·5 = 20x, с минусом. Последнее: 25. Ответ: 4x² − 20x + 25. Проверка при x = 3: слева (6 − 5)² = 1, справа 36 − 60 + 25 = 1.

Формулы удобны и в арифметике. Возведём 47 в квадрат: 47 = 50 − 3, поэтому 47² = 2500 − 300 + 9 = 2209. Проверим умножением в столбик: 47·40 = 1880, 47·7 = 329, 1880 + 329 = 2209. А 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.

Справа налево та же формула помогает узнать полный квадрат. Выражение x² + 10x + 25 равно (x + 5)², потому что 25 = 5², а удвоенное произведение 2·x·5 даёт ровно 10x. Проверка при x = 1: 36 = 6². А у x² + 10x + 16 тоже стоит x² и 10x, но 16 = 4², и удвоенное 2·x·4 даёт 8x, это не 10x, поэтому полным квадратом оно не является. Проверка есть всегда одна: средний член должен равняться 2ab.

Разность квадратов

Формула a² − b² = (a − b)(a + b) работает в двух направлениях, и разложение на множители нужно чаще всего. Сначала счёт: 53·47 = (50 + 3)(50 − 3) = 2500 − 9 = 2491. Проверка: 50·47 = 2350, плюс 3·47 = 141, итого 2491. Так же считаются и большие числа: 1001·999 = 1000² − 1² = 1000000 − 1 = 999999.

Теперь разложение: 9x² − 16. Здесь 9x² = (3x)² и 16 = 4², поэтому 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4). Проверка при x = 2: слева 36 − 16 = 20, справа 2·10 = 20.

Условие, которое часто теряют: сумма квадратов a² + b² на действительные множители не раскладывается (в школьном курсе, где комплексных чисел нет). Пытаться разложить x² + 9 бессмысленно, а запись «(x + 3)²» ошибочна, потому что у неё средний член 6x.

Самое частое применение — сокращение дробей. Возьмём (x² − 9)/(x − 3). Числитель раскладывается: (x − 3)(x + 3), сокращаем на x − 3, остаётся x + 3. Условие: x ≠ 3, потому что при x = 3 исходная дробь не существует. Проверка при x = 5: 16/2 = 8, а x + 3 = 8.

Усложним: (x² − 6x + 9)/(x² − 9). В числителе квадрат разности (x − 3)², в знаменателе разность квадратов (x − 3)(x + 3). Сокращаем на x − 3: получается (x − 3)/(x + 3). Условие остаётся таким, каким было у исходной дроби: x ≠ 3 и x ≠ −3, и после сокращения число 3 не становится допустимым. Проверка при x = 1: слева (1 − 6 + 9)/(1 − 9) = 4/(−8) = −1/2, справа (1 − 3)/(1 + 3) = −2/4 = −1/2.

Кубы: суммы, разности и знаки

Куб суммы и куб разности похожи на квадраты, только с коэффициентами 3 в средних членах. Проверка для (a + b)³ при a = 2, b = 1: слева 3³ = 27, справа 8 + 3·4·1 + 3·2·1 + 1 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27. Для (a − b)³ при тех же числах: слева 1, справа 8 − 12 + 6 − 1 = 1. В кубе разности знаки в сумме чередуются: плюс, минус, плюс, минус. С выражением вместо буквы то же самое: (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8; при x = 1 слева 27, справа 1 + 6 + 12 + 8 = 27.

Здесь ошибаются иначе: путают a³ − b³ и (a − b)³. Это разные выражения. Возьмём a = 3, b = 1. Разность кубов: 27 − 1 = 26. Куб разности: (3 − 1)³ = 8. Правильное разложение: (a − b)(a² + ab + b²) = 2·(9 + 3 + 1) = 26. Сходится именно с первым, а куб разности — другое выражение.

Знаки во вторых скобках удобно запомнить так. Первая скобка повторяет знак между кубами: у суммы кубов (a + b), у разности (a − b). Во второй скобке a² и b² всегда с плюсом, а средний член ab — с противоположным знаком: у суммы кубов минус, у разности плюс. И ab берётся без двойки, это «неполный квадрат»; двойка появляется только в настоящем квадрате суммы или разности. Проверка суммы кубов при a = 2 и b = 1: слева 8 + 1 = 9, справа 3·(4 − 2 + 1) = 9.

Формулы кубов зубрить невыгодно: проще уметь вывести одну из них, чем держать в голове четыре. Раскроем (a + b)(a² − ab + b²): a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Средние члены сокращаются, остаётся a³ + b³. Разность кубов получается так же при замене b на −b.

Применение: разложим x³ − 8. Здесь 8 = 2³, значит, x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). Проверка при x = 3: слева 27 − 8 = 19, справа 1·(9 + 6 + 4) = 19. А уравнение x³ − 8 = 0 даёт (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0. Из первой скобки x = 2. Вторая скобка равна нулю при x² + 2x + 4 = 0, дискриминант 4 − 16 = −12 отрицателен, значит, корней нет. Итак, у уравнения один корень, 2.

Где формулы нужны потом

В уравнениях они упрощают запись. Пусть x² − 6x + 9 = 25. Левая часть — квадрат разности: (x − 3)² = 25. Тогда x − 3 = 5 или x − 3 = −5, и корни 8 и −2. Проверка: 64 − 48 + 9 = 25 и 4 + 12 + 9 = 25. Ошибка здесь типичная: оставить только x − 3 = 5 и потерять второй корень. В квадратных уравнениях тот же приём называется выделением полного квадрата: x² + 6x + 5 = 0 превращается в (x + 3)² − 4 = 0, затем (x + 3)² = 4, откуда x = −1 или x = −5. Проверка: 1 − 6 + 5 = 0 и 25 − 30 + 5 = 0.

В записях с корнями разность квадратов избавляет от иррациональности в знаменателе. Возьмём 1/(√5 − 2). Умножим числитель и знаменатель на √5 + 2: в знаменателе получится (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1, значит, дробь равна √5 + 2. Здесь же — условие, которое нужно помнить из статьи про квадратные и кубические корни: корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Например, √((x − 3)²) = |x − 3|. Проверим при x = 1: √4 = 2, и |1 − 3| = 2, тогда как x − 3 равно −2, а корень отрицательным не бывает. Про модуль подробнее в статье про модуль числа.

Один пример уже был в статье про линейные уравнения: в (x + 3)² − x² = 15 квадраты неизвестной сокращаются, остаётся 6x = 6 и x = 1.

Если формулы так и не складываются, помогает занятие, на котором скобки раскрывают вручную и каждый результат проверяют числом:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 5–8 классов

Вопросы и ответы

Нужно ли знать все семь формул? Первые три, квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов, нужны постоянно, и их надо узнавать в любом виде. Кубы встречаются реже, и их разумно уметь вывести. Остальные темы, на которых спотыкаются так же часто, собраны в обзоре тем, которые западают чаще всего.

Как отличить квадрат разности от разности квадратов? По записи. (a − b)² — одна скобка в квадрате, при раскрытии три слагаемых. a² − b² — два квадрата с минусом между ними, при разложении две скобки. Подставьте a = 5, b = 3: (5 − 3)² = 4, а 25 − 9 = 16, это разные числа.

Почему нельзя написать (a + b)³ = a³ + b³? По той же причине, что и для квадрата: потерян средний член, в кубе их даже два. При a = 1 и b = 1 слева 2³ = 8, справа 1 + 1 = 2.

Можно ли подставлять вместо a и b выражения? Да, на этом всё и строится: в (x + 2y)² берём a = x, b = 2y и получаем x² + 4xy + 4y². Проверка при x = 1, y = 1: слева 9, справа 1 + 4 + 4 = 9.