Квадратные уравнения и теорема Виета

Квадратное уравнение записывается как ax² + bx + c = 0, и здесь сразу первое условие: a не равно нулю. Если a = 0, слагаемое с x² исчезает и уравнение становится линейным (как их решают, написано в статье про линейные уравнения). Остальные коэффициенты, b и c, могут быть любыми, в том числе нулевыми, и такие неполные случаи решаются проще всего.

Тема появляется в восьмом классе и дальше не исчезает: парабола в функциях, неравенства, текстовые задачи, системы. В первой части профильного экзамена квадратное уравнение встречается и само по себе, и шагом внутри других заданий (порядок заданий разобран в структуре ЕГЭ), так что уверенно считать дискриминант и при случае быстро подбирать корни полезно в любом случае.

Дискриминант: способ, который работает всегда

Для уравнения ax² + bx + c = 0 считают дискриминант D = b² − 4ac. Если D больше нуля, корней два: x = (−b ± √D)/(2a). Если D равен нулю, корень один: x = −b/(2a). Если D меньше нуля, действительных корней нет, потому что корень из отрицательного числа не берётся (других чисел школьный курс не вводит).

Начнём с простого: x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, корень из единицы равен 1, и x = (5 ± 1)/2, то есть 3 и 2. Подставим: 9 − 15 + 6 = 0 и 4 − 10 + 6 = 0.

Теперь пример, где ошибаются заметно чаще: 2x² − 3x − 5 = 0. Тут a = 2, b = −3, c = −5. D = (−3)² − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49, √49 = 7, откуда x = (3 ± 7)/4. Получаются 10/4 = 2,5 и −4/4 = −1. Проверка: 2·6,25 − 7,5 − 5 = 12,5 − 12,5 = 0 и 2·1 + 3 − 5 = 0.

Ошибки в таких примерах почти всегда в знаках. Первая: c отрицательное, и произведение −4ac превращается в плюс, но торопливый ученик пишет 9 − 40 = −31 и объявляет, что корней нет. Вторая: в формуле стоит −b, и при b = −3 это +3. Если при положительном a и отрицательном c дискриминант вышел отрицательным, пересчитайте его в первую очередь: произведение 4ac в этом случае отрицательно, и D заведомо положителен.

Один корень получается, когда D = 0. Возьмём 4x² − 12x + 9 = 0: D = 144 − 144 = 0, x = 12/8 = 1,5. Подстановка: 4·2,25 − 18 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0. Левая часть здесь — полный квадрат (2x − 3)², поэтому и корень один (формулу разбирает статья про сокращённое умножение). В некоторых учебниках пишут, что корня «два одинаковых», ответ от этого не меняется. А в уравнении x² + 2x + 5 = 0 дискриминант 4 − 20 = −16, и корней нет.

Если b чётное, счёт можно сократить: обозначим k = b/2, тогда D делится на 4, и корни равны (−k ± √(k² − ac))/a. Для x² − 6x + 5 = 0 имеем k = −3, k² − ac = 9 − 5 = 4, откуда x = (3 ± 2)/1, то есть 5 и 1. Проверка: 25 − 30 + 5 = 0 и 1 − 6 + 5 = 0. Формула короче, и цифры в ней меньше, а значит, меньше и случаев ошибиться; но выучивать её надо только после основной, иначе в голове остаются две формулы и ни одна не работает надёжно.

Неполные уравнения

Если b или c равно нулю, дискриминант считать необязательно. В уравнении x² − 9x = 0 выносим x за скобку: x(x − 9) = 0. Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей, значит, x = 0 или x = 9. Проверка: при x = 0 получается 0, при x = 9 получается 81 − 81 = 0.

Здесь легко потерять корень: разделить обе части на x и получить x − 9 = 0, то есть x = 9. Делить на x можно, только если известно, что x отличен от нуля, а здесь нуль как раз оказался корнем. В неполных уравнениях выносить за скобку надёжнее, чем делить. Потеря корня при делении встречается не только здесь; другие школьные ловушки такого рода собраны в обзоре тем, которые западают чаще всего.

Второй неполный вид — без b. Уравнение x² = 16 имеет два корня, 4 и −4, оба дают 16. Уравнение x² − 7 = 0 даёт x = √7 и x = −√7. А x² + 16 = 0 корней не имеет: квадрат действительного числа не бывает отрицательным.

Теорема Виета и знаки

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (старший коэффициент равен единице) теорема Виета говорит: если корни x₁ и x₂ существуют, то x₁ + x₂ = −p, а x₁·x₂ = q. Для общего уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, а произведение c/a. Верно и обратное: два числа, у которых сумма равна −p, а произведение q, и есть корни.

Проверим на знакомом: x² − 5x + 6 = 0. Здесь p = −5, q = 6, значит, сумма корней 5, произведение 6. Подходят 2 и 3, их мы уже получили дискриминантом.

Теперь знаки. Решим x² + 2x − 15 = 0. Здесь p = 2, q = −15. Сумма корней равна −2, потому что в формуле стоит −p. Произведение −15. Пары целых чисел с таким произведением: 1 и −15, −1 и 15, 3 и −5, −3 и 5. Сумма −2 только у 3 и −5. Значит, корни 3 и −5. Проверка: 9 + 6 − 15 = 0 и 25 − 10 − 15 = 0. Если по ошибке взять сумму +2, подберётся пара −3 и 5, и проверка сразу откажет: 9 − 6 − 15 = −12.

Из знаков можно вынести правило. Если произведение отрицательное, корни имеют разные знаки; если положительное, одинаковые. Когда знаки одинаковые, общий знак задаёт сумма: у x² − 7x + 10 = 0 сумма 7, значит, оба корня положительны, это 2 и 5; у x² + 7x + 10 = 0 сумма −7, корни −2 и −5. Проверка: 4 − 14 + 10 = 0 и 25 − 35 + 10 = 0.

В общем виде то же самое: у 2x² − 3x − 5 = 0 сумма корней равна 3/2, то есть 1,5, а произведение −5/2, то есть −2,5. Корни 2,5 и −1 дают 1,5 и −2,5. Это удобная проверка дискриминанта: нашли корни по формуле, сложите и перемножьте.

Слова «если корни существуют» в теореме нельзя пропускать. При D < 0 подбирать нечего, и сначала нужно посчитать дискриминант или хотя бы оценить его знак.

Подбирать или считать

Нередко советуют начинать с теоремы Виета: подобрать корни быстрее, чем считать дискриминант. Для уравнений с целыми корнями совет хорош, но дальше он подводит: на учебных примерах подбор выглядит всемогущим, а в задаче корни целые не всегда. Первым стоит учить дискриминант, потому что он работает всегда, а Виета остаётся страховкой и быстрым путём там, где корни очевидны. Возьмём x² − 4x + 1 = 0: D = 16 − 4 = 12, √12 = 2√3, x = (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Целые пары с произведением 1 — это 1 и 1 или −1 и −1, суммы у них 2 и −2, а нужна 4. Подбор здесь не работает.

Подставим корень 2 + √3: (2 + √3)² = 7 + 4√3, минус 4(2 + √3) = −8 − 4√3, плюс 1. Итого 7 + 4√3 − 8 − 4√3 + 1 = 0. Виета проверку выдерживает: (2 + √3) + (2 − √3) = 4, а (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. Это разность квадратов, про неё подробнее в той же статье про формулы сокращённого умножения, а про корни, которые нацело не извлекаются, в разборе квадратных и кубических корней.

Уравнения, которые только сводятся к квадратным

Часто квадратное уравнение прячется за дробью или заменой, и тут возвращается правило из линейных уравнений: знаменатель нулю равняться не может.

Возьмём x + 6/x = 5, где x ≠ 0. Умножим на x: x² + 6 = 5x, то есть x² − 5x + 6 = 0, корни 2 и 3, и оба не равны нулю. Проверка: 2 + 6/2 = 5 и 3 + 6/3 = 5. К тому же уравнению сводится система x + y = 5, xy = 6 из статьи про системы уравнений: числа x и y оказываются корнями x² − 5x + 6 = 0.

Теперь дробь, равная нулю: (x² − x − 6)/(x − 3) = 0. Дробь равна нулю, когда числитель нуль, а знаменатель нет. Условие: x ≠ 3. Числитель: x² − x − 6 = 0, D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2, то есть 3 и −2. Корень 3 по условию не проходит, остаётся x = −2. Проверка: (4 + 2 − 6)/(−2 − 3) = 0/(−5) = 0. А при x = 3 получилось бы 0/0, и такого выражения не существует.

Биквадратное уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0 решают заменой t = x²: t² − 5t + 4 = 0, откуда t = 1 или t = 4. Возвращаемся: x² = 1 даёт ±1, x² = 4 даёт ±2. Всего четыре корня, проверка: 1 − 5 + 4 = 0 и 16 − 20 + 4 = 0. Условие замены: t = x² не бывает отрицательным, и корень t = −1, если бы он получился, пришлось бы отбросить. К заданиям первой части ЕГЭ такая цепочка подходит напрямую: после замены или умножения на знаменатель остаётся обычное квадратное уравнение.

Когда после разбора остаются непонятные места, а практики на проверку не хватает, пригодится занятие с тем, кто разберёт запись решения целиком:

• репетиторы по математике
• репетиторы по математике для подготовки к ОГЭ

Вопросы и ответы

Старший коэффициент отрицательный. Что делать? Умножить обе части на −1, чтобы он стал положительным: −x² + 4x − 3 = 0 превращается в x² − 4x + 3 = 0, корни 1 и 3. Подставим в исходное: −1 + 4 − 3 = 0 и −9 + 12 − 3 = 0.

Если D = 0, корень один или два? Один, его иногда называют двукратным. Решение от названия не меняется, как в примере с 4x² − 12x + 9 = 0.

Работает ли теорема Виета, если дискриминант отрицательный? В школьном курсе нет: теорема говорит о корнях, а при D < 0 действительных корней нет. Поэтому подбирать числа по сумме и произведению можно, только убедившись, что корни существуют. Для x² + 2x + 5 = 0 нужна была бы пара с суммой −2 и произведением 5, но таких действительных чисел нет, и дискриминант −16 как раз об этом говорит.

Как быстро проверить корни? Сложить и перемножить: сумма корней приведённого уравнения равна −p, произведение равно q. Если не сошлось, ошибка в дискриминанте или в знаке.