Производная: смысл и правила

Производную в школе чаще всего подают как набор правил: берёте степень, опускаете показатель вниз, уменьшаете его на единицу. Правила работают, и экзаменационные задачи решаются ими. Но без картинки за правилами они забываются, а на задачах «по графику производной» ученик не понимает, куда смотреть. Вся тема умещается в один вопрос: насколько быстро меняется величина в данный момент. Если держать этот вопрос в голове, правила превращаются в справочник.

Примеры ниже посчитаны, и у большинства производных есть проверка через маленькое приращение: она приближённая, но до сотых сходится. Тема входит в профильный экзамен, и раскладку заданий по порядку показывает статья о структуре профильной математики.

Скорость в данный момент

Пусть тело движется так, что пройденный путь за t секунд равен s(t) = t² метров. Средняя скорость на промежутке от 1 до 3 секунд: (9 − 1) / (3 − 1) = 4 м/с. Но нас интересует скорость ровно в момент t = 1. Сузим промежуток. От 1 до 2: (4 − 1) / 1 = 3. От 1 до 1,1: (1,21 − 1) / 0,1 = 2,1. От 1 до 1,01: (1,0201 − 1) / 0,01 = 2,01. Числа сходятся к двум, и именно это число называют производной в точке: скорость в момент t = 1 равна 2 м/с.

Определение выглядит так. Производная функции f в точке a — это то значение, к которому стремится отношение (f(a + h) − f(a)) / h, когда h становится всё меньше и меньше. Для f(x) = x² посчитаем точно: (a + h)² − a² = 2ah + h², деля на h, получаем 2a + h, и при h, стремящемся к нулю, остаётся 2a. Значит (x²)′ = 2x: в точке 1 это 2, как в нашем примере с путём.

Отсюда и физический смысл: скорость — это производная пути, а ускорение — производная скорости. Для s(t) = t² скорость v(t) = 2t, и в момент t = 3 она равна 6 м/с; ускорение — производная от 2t, то есть постоянные 2 м/с² (скорость каждую секунду растёт на 2 м/с). Проверка простая: от t = 3 до t = 4 путь растёт с 9 до 16 метров, средняя скорость 7 м/с, и она лежит между 6 и 8, то есть между скоростями в начале и в конце промежутка.

Обратите внимание на оговорку «когда оно существует». Не у каждой функции в каждой точке есть производная: у графика с изломом, как у y = |x| в нуле, скорость роста слева и справа разная, и общего значения нет.

Касательная и знак производной

То же число имеет второй смысл, геометрический. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке, то есть тангенсу угла, который касательная образует с осью x (о том, что такое тангенс, рассказано в статье про синус, косинус и тангенс). Уравнение касательной в точке a: y = f(a) + f′(a)(x − a).

Возьмём y = x² в точке x = 1. Значение функции 1, производная 2, поэтому y = 1 + 2(x − 1), то есть y = 2x − 1. Проверим: приравняем x² = 2x − 1, получим x² − 2x + 1 = 0, или (x − 1)² = 0. Единственный корень x = 1, значит прямая с параболой имеет одну общую точку и действительно касается её.

Знак даёт ещё больше. Если производная положительна, функция растёт, если отрицательна — убывает: касательная идёт вверх или вниз. Нуль производной означает горизонтальную касательную, и там может быть вершина горба или дна. Может, но не обязана: у y = x³ производная в нуле равна нулю, а функция растёт и до нуля, и после. Поэтому нуль производной — кандидат на экстремум, и проверка требует смотреть, меняется ли знак при переходе через него.

На этом строятся задачи на касательную. В какой точке касательная к параболе y = x² − 4x горизонтальна? Приравниваем производную 2x − 4 к нулю, получаем x = 2, значение функции 4 − 8 = −4, точка (2; −4); это вершина параболы, что сходится с формулой x = 4/2 = 2. А в какой точке касательная к y = x² имеет наклон 6? Из 2x = 6 получаем x = 3, точка (3; 9), и проверка: производная в ней 2 · 3 = 6.

Таблица производных

Выводить каждую производную из определения незачем: один раз проделали, как выше для x², и достаточно. Таблицу же стоит выучить сразу вместе с условиями, потому что условия весят столько же, сколько формулы:

• (C)′ = 0 для любого постоянного числа C, (x)′ = 1;
• (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, например (x⁵)′ = 5x⁴;
• (√x)′ = 1 / (2√x) при x > 0, в нуле производной нет;
• (1/x)′ = −1/x² при x ≠ 0;
• (sin x)′ = cos x и (cos x)′ = −sin x, если x измеряется в радианах;
• (tg x)′ = 1/cos²x там, где cos x ≠ 0;
• (eˣ)′ = eˣ и (aˣ)′ = aˣ · ln a;
• (ln x)′ = 1/x при x > 0 и (log_a x)′ = 1 / (x · ln a); логарифмы разобраны в статье про логарифмы.

Постоянный множитель выносится, сумма дифференцируется по частям. Посчитаем (3x² − 4x + 7)′ = 3 · 2x − 4 · 1 + 0 = 6x − 4. Проверка: в точке x = 2 это 8. Приращение даёт f(2) = 11 и f(2,01) = 11,0803, отношение (11,0803 − 11) / 0,01 = 8,03 — совпадает с 8 до сотых.

Производную легко перепутать с обратной операцией, которая называется нахождением первообразной и разобрана в статье про первообразную и площадь под графиком. Для x² производная равна 2x, а первообразная x³/3: проверка в обратную сторону, (x³/3)′ = x². Когда в задаче даны функция и просят её производную, идём по таблице вперёд; когда просят функцию по её производной, идём назад.

Произведение, частное и сложная функция

Здесь ошибаются чаще всего, и ошибка почти всегда одна и та же: производную произведения считают как произведение производных. Правильно так: (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Проверка на примере. Пусть u = x², v = x³, тогда u · v = x⁵ и (x⁵)′ = 5x⁴. По правилу: 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, что верно. А произведение производных даёт 2x · 3x² = 6x³ — другой ответ.

Для частного: (u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v², при условии v ≠ 0. Возьмём (x² / (x + 1))′ = (2x · (x + 1) − x² · 1) / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)² при x ≠ −1. В точке x = 1 получаем 3/4; проверка приращением: f(1) = 1/2, f(1,01) ≈ 0,5075, отношение около 0,7512, и до сотых совпадает с 0,75.

Пример с логарифмом: (x · ln x)′ = 1 · ln x + x · (1/x) = ln x + 1 при x > 0. В точке x = 1 получаем 1; приращение: f(1) = 0, f(1,001) = 1,001 · ln 1,001 ≈ 0,0010005, отношение около 1,0005.

Самое хитрое правило — для сложной функции, у которой «внутри» другая. Производная равна производной внешней функции, взятой в точке внутренней, умноженной на производную внутренней: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Для ((2x + 1)⁵)′ внешняя функция — пятая степень, внутренняя 2x + 1, поэтому ответ 5 · (2x + 1)⁴ · 2 = 10 · (2x + 1)⁴. Проверка в точке x = 0: значение 10; приращение: f(0) = 1, f(0,01) = 1,02⁵ ≈ 1,1041, отношение около 10,4, то есть к десяти приближается. Забытый множитель 2, то есть производная внутренней части, — типичная потеря, из тех, что собирает обзор тем, на которых западают чаще всего. Ещё два примера: (sin 3x)′ = 3 cos 3x и (ln (x² + 1))′ = 2x / (x² + 1).

Где найти наибольшее значение

На экзамене производная работает в двух ролях. В одной даётся график, как в простых задачах первой части (общий разбор — в статье про первую часть), и надо прочитать, где функция растёт, а где убывает, и в каких точках у неё вершина. В другой надо найти наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Алгоритм одинаков: находим нули производной, проверяем, что они лежат на отрезке, считаем значения функции в них и на концах, выбираем наибольшее и наименьшее.

Пример. f(x) = x³ − 3x на отрезке от −2 до 2. Производная f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), нули −1 и 1, оба на отрезке. Знак: слева от −1 производная положительна, между −1 и 1 отрицательна (проверка в нуле: f′(0) = −3), справа от 1 снова положительна. Значит в −1 вершина, в 1 впадина. Значения: f(−2) = −8 + 6 = −2, f(−1) = −1 + 3 = 2, f(1) = 1 − 3 = −2, f(2) = 8 − 6 = 2. Наибольшее значение 2, наименьшее −2; оба достигаются дважды, и такое случается.

Если вместо формулы дан график производной, нужно смотреть, где он пересекает ось x и в какую сторону. Переход с плюса на минус — вершина, с минуса на плюс — впадина; касание оси без перехода экстремума не даёт. Главное здесь не принять график производной за график самой функции: высота графика производной показывает наклон функции, а не её значение.

Проверьте себя

Найдите производную функции x² · sin x и проверьте ответ в точке π/2. Функция есть произведение, поэтому (x² · sin x)′ = 2x · sin x + x² · cos x. В точке x = π/2 синус равен 1, косинус равен 0, и значение производной 2 · (π/2) · 1 + (π²/4) · 0 = π. Приращение подтверждает: при h = 0,001 разность f(π/2 + h) − f(π/2), делённая на h, оказывается около 3,1414. Если в точке π/2 у вас вышел нуль, вы перемножили производные; если π²/4 — подставили значение самой функции вместо производной.

Тренироваться удобно в таком порядке: сначала таблица на десяти простых примерах подряд, потом произведение, частное и сложная функция с проверкой приращением, потом задачи на график.

Начать поиск:

• репетиторы по математике
• занятия по математике для подготовки к ЕГЭ
• занятия по математике для 10–11 класса

Вопросы и ответы

Чему равна производная числа? Нулю: постоянная величина не меняется.

Можно ли считать производную произведения как произведение производных? Нельзя, это самая частая ошибка. Правило такое: (u · v)′ = u′ · v + u · v′. На примере x² · x³ видно разницу: правильный ответ 5x⁴, а произведение производных даёт 6x³.

Если производная равна нулю, то там вершина? Не обязательно. У функции y = x³ производная в нуле равна нулю, а экстремума нет, потому что знак не меняется. Нуль производной показывает только место, где стоит проверить знак слева и справа.

Чем производная отличается от первообразной? Это взаимно обратные действия. Производная x² равна 2x, а первообразная x² равна x³/3, потому что (x³/3)′ = x². Проверять первообразную надо дифференцированием: должна получиться исходная функция.