Первообразная и площадь под графиком

Производную и первообразную путают даже те, кто в целом неплохо понимает тему. Причина простая: речь об одной и той же паре функций, только направление действия разное. Производная показывает, как быстро функция растёт; первообразная отвечает на обратный вопрос, какая функция растёт именно так. Вторая половина темы, площадь под графиком, оказывается лишь применением той же обратной операции, и когда это ясно, двух разных тем уже нет.

Тема есть в профильном экзамене: раскладку заданий по порядку показывает статья о структуре профильной математики, а простые задачи по графику относятся к первой части, которую разбирает отдельная статья. Каждый пример ниже проверяется одним и тем же способом: результат дифференцируется, и должна получиться исходная функция. Если с производной вы ещё не дружите, сначала загляните в статью про производную.

Первообразная: что за функция

Функция F называется первообразной для функции f на промежутке, если производная F равна f в каждой точке этого промежутка: F′ = f. Для f(x) = 2x годится F(x) = x², проверка очевидна: (x²)′ = 2x. Но подходит и x² + 5, и x² − 100, потому что у постоянной слагаемой производная нулевая: (x² + 5)′ тоже 2x. Поэтому первообразных бесконечно много, и все они отличаются на число. Это число обозначают C и пишут F(x) = x² + C.

Чтобы не путать две операции, держите в голове одно различие. Производная понижает степень: от x² получается 2x. Первообразная повышает: от 2x получается x². Для функции x² производная равна 2x, а первообразная равна x³/3; проверка в обратную сторону, (x³/3)′ = x². Если при поиске производной степень выросла, значит, пошли в обратную сторону.

Таблица первообразных зеркальна таблице производных:

• для xⁿ при n ≠ −1: xⁿ⁺¹ / (n + 1);
• для 1/x: ln x при x > 0 (на промежутках, где x отрицателен, пишут ln |x|);
• для sin x: −cos x;
• для cos x: sin x;
• для 1/cos²x: tg x;
• для eˣ: eˣ.

Знак минус у синуса пропускают чаще всего, а проверка ловит его мгновенно: (−cos x)′ = sin x, всё верно, а у ответа cos x получилась бы производная −sin x. Посчитаем несколько. Для 3x² первообразная x³, плюс C (проверка 3x²). Для x⁴ получаем x⁵/5, и (x⁵/5)′ = x⁴. Для 1/x² = x⁻² формула даёт x⁻¹ / (−1) = −1/x, проверка (−1/x)′ = 1/x². Для суммы первообразные считаются по слагаемым: у 6x² − 4x + 1 это 2x³ − 2x² + x + C, обратная проверка: 6x² − 4x + 1.

Внутри функции может быть линейная вставка. Первообразная cos 2x равна (sin 2x) / 2: деление на коэффициент при x компенсирует множитель, который вылез бы при дифференцировании сложной функции. Проверка: ((sin 2x) / 2)′ = 2 cos 2x / 2 = cos 2x. По тому же принципу первообразная (2x + 1)³ равна (2x + 1)⁴ / 8, и (2x + 1)⁴ / 8 при дифференцировании даёт 4 (2x + 1)³ · 2 / 8 = (2x + 1)³.

Каждую первообразную стоит проверять дифференцированием, даже когда ответ кажется очевидным: двадцать секунд ловят ошибки со знаком и с делителем, а такие мелочи собирает и обзор тем, которые западают чаще всего.

Постоянная C и первообразная через точку

Самая частая потеря в этой теме — забытое «плюс C». Для записи «найти все первообразные» она обязательна: без неё вы называете одну первообразную из бесконечного семейства.

Иногда нужна одна определённая. Найдём первообразную для f(x) = 2x, график которой проходит через точку (1; 5). Общий вид F(x) = x² + C. Подставляем точку: 1 + C = 5, откуда C = 4, и F(x) = x² + 4. Проверка в обе стороны: F(1) = 1 + 4 = 5, F′(x) = 2x.

Площадь как разность значений первообразной

Пусть функция f непрерывна и не отрицательна на отрезке от a до b, то есть её график не уходит ниже оси x. Тогда площадь фигуры под графиком, ограниченной осью x и вертикальными прямыми x = a и x = b, равна F(b) − F(a), где F — любая первообразная f. Записывают это определённым интегралом: интеграл от a до b функции f(x) dx равен F(b) − F(a).

Возьмём f(x) = 2x на отрезке от 1 до 4. Первообразная x², значит площадь 4² − 1² = 16 − 1 = 15. Тут можно проверить геометрией: фигура под прямой y = 2x от 1 до 4 — трапеция, основания 2 и 8, высота 3, площадь (2 + 8)/2 · 3 = 15. Совпало, и это хорошая проверка самой формулы. Для f(x) = x² на отрезке от 0 до 3 первообразная x³/3, значит площадь 27/3 − 0 = 9. На отрезке от 1 до 2: 8/3 − 1/3 = 7/3.

Почему формула верна, видно из такого рассуждения. Обозначим S(x) площадь под графиком от a до точки x. Сдвинем правую границу на малое h: площадь вырастет на узкую полоску высотой около f(x) и шириной h, то есть на f(x) · h. Отношение прироста площади к h почти равно f(x), и это ровно определение производной: S′ = f. Значит площадь S сама является первообразной, а любая другая отличается от неё на число, которое сокращается при вычитании. Отсюда и разность значений.

Из тригонометрии: площадь под одной аркой синуса, y = sin x на отрезке от 0 до π, где синус неотрицателен. Первообразная −cos x (проверка: (−cos x)′ = sin x), значения −cos π = 1 и −cos 0 = −1, разность 1 − (−1) = 2. А из логарифмов: площадь под y = 1/x на отрезке от 1 до e равна ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1, и здесь x положителен, так что ln x годится.

Куда девается C? Она сокращается: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Проверьте на 2x с первообразной x² + 4: (16 + 4) − (1 + 4) = 15, тот же ответ. Поэтому в разности константу можно не писать, а в записи общего вида нельзя.

Ниже оси: интеграл отрицателен, площадь нет

Здесь ошибаются больше всего, и поправка нужна одна: определённый интеграл — число со знаком, а площадь неотрицательна. Формула F(b) − F(a) работает всегда, но там, где график лежит ниже оси x, она даёт отрицательное число.

Возьмём f(x) = x² − 1 на отрезке от 0 до 1. На нём x² − 1 ≤ 0, график под осью. Первообразная x³/3 − x, интеграл (1/3 − 1) − 0 = −2/3. Площадь фигуры равна 2/3: чтобы убедиться, посчитайте площадь под отражённой функцией 1 − x², первообразная x − x³/3, разность 1 − 1/3 = 2/3.

Если график пересекает ось, площадь считают по частям, каждую со своим знаком. Функция y = x на отрезке от −2 до 2: интеграл x²/2 даёт 2 − 2 = 0 (положительная и отрицательная части гасят друг друга), но площадь равна 4. Разбиваем по нулю: от −2 до 0 интеграл 0 − 2 = −2, от 0 до 2 интеграл 2 − 0 = 2. Площади берутся по модулю: 2 + 2 = 4. Геометрия подтверждает: два прямоугольных треугольника с катетами 2 и 2, у каждого площадь 2.

Та же арка синуса показывает разницу особенно наглядно. На отрезке от 0 до 2π интеграл от sin x равен −cos 2π − (−cos 0) = −1 + 1 = 0: верхняя арка на [0; π] даёт 2, нижняя на [π; 2π] даёт −2. Площадь же фигуры — 2 + 2 = 4.

Если дан график на клетчатой бумаге, то F(b) − F(a) можно найти и без формулы, сосчитав клетки между графиком и осью: клетки над осью считаются со знаком плюс, под осью со знаком минус.

Площадь между двумя графиками — это интеграл от разности верхней и нижней функций, и важно знать, какая выше. Между y = x и y = x² на отрезке от 0 до 1 выше прямая (в точке 1/2 имеем 1/2 против 1/4). Интеграл от x − x² даёт x²/2 − x³/3, и на отрезке 1/2 − 1/3 = 1/6.

Путь, перемещение и скорость

Смысл всего этого проще всего увидеть на движении. Первообразная скорости — путь, и площадь под графиком скорости на промежутке времени — пройденное расстояние. Но если скорость становится отрицательной (тело едет назад), интеграл даёт перемещение, а путь надо считать по модулю частей.

Пусть v(t) = 2 − t на отрезке от 0 до 4 секунд. Первообразная 2t − t²/2, интеграл (8 − 8) − 0 = 0: тело в конце оказалось там же, откуда выехало. Путь же положителен: от 0 до 2 скорость положительна, площадь треугольника с основанием 2 и высотой 2 равна 2; от 2 до 4 скорость отрицательна, ещё 2. Путь 4, перемещение 0. Перемещение на прямой — это вектор с одной координатой, и её знак показывает направление, а путь знака не имеет.

Разбор: площадь под параболой

Найдём площадь фигуры, которую ограничивают график y = 4 − x² и ось x. Нули функции в точках x = −2 и x = 2, между ними 4 − x² ≥ 0, график над осью. Первообразная 4x − x³/3, проверка: (4x − x³/3)′ = 4 − x². Площадь равна F(2) − F(−2) = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3. Сверка с независимым фактом: площадь параболического сегмента составляет две трети произведения основания на высоту, 2/3 · 4 · 4 = 32/3, и сходится.

Теперь тот же интеграл на отрезке от −3 до 3, где график уходит под ось. F(3) − F(−3) = (12 − 9) − (−12 + 9) = 3 + 3 = 6, и это не площадь. Хвосты от 2 до 3 и от −3 до −2 лежат ниже оси: интеграл по каждому равен F(3) − F(2) = 3 − 16/3 = −7/3. Площадь считается как 32/3 + 7/3 + 7/3 = 46/3, а интеграл как 32/3 − 7/3 − 7/3 = 18/3 = 6, что сходится с прямым счётом. Разница между 6 и 46/3 и есть вся тема знака.

Что тренировать: таблицу первообразных десятью примерами подряд, потом площади с отрицательной частью, потом задачи на движение. Если интеграл по-прежнему кажется набором формул, помощь репетитора обычно быстро связывает его с производной, и поиск ниже как раз для этого.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для 10–11 класса
• подготовка к ЕГЭ по математике
• пробный урок по математике

Вопросы и ответы

Зачем нужно «плюс C»? Потому что у любой функции бесконечно много первообразных, отличающихся на число.

Может ли площадь быть отрицательной? Нет. Отрицательным может быть определённый интеграл, если график лежит ниже оси x. Площадь по определению не меньше нуля; чтобы получить её для фигуры под осью, берут интеграл с обратным знаком. Если график пересекает ось, отрезок делят в точках пересечения и считают каждую часть отдельно.

Как проверить, что первообразная найдена верно? Продифференцировать ответ: должна получиться исходная функция.

Чем отличаются первообразная и производная? Это обратные действия. Для x² производная 2x, а первообразная x³/3.

У каждой ли функции есть первообразная? У любой непрерывной на промежутке функции есть, и этого хватает для школьных задач. Выражается ли она через знакомые функции, другой вопрос, но на экзамене попадаются только те, у которых выражается.