Репетитор по математике для 5–8 класса: что подтянуть

Средняя школа ломает математику в нескольких местах, и каждое из них имеет свой возраст. В пятом классе ребёнок попадает из мира целых чисел в мир дробей. В шестом знакомится с отрицательными числами. В седьмом число исчезает и появляется буква. В восьмом на всё это накладываются корни, квадратные уравнения и геометрия, где нужно доказывать. На каждой границе кто-то отстаёт, и подтягивание лучше начинать на том месте, где отстали, а не на текущей странице учебника.

Репетитор нужен не всегда и не на всё время обучения. Признаки того, что занятия идут в нужную сторону, перечислены ближе к концу.

Пятый и шестой: дроби, проценты, отрицательные числа

Центральная тема этих двух лет — дроби. Обыкновенные, десятичные, смешанные числа. Ребёнок должен научиться приводить дроби к общему знаменателю, складывать, вычитать, умножать и делить. Типичная ошибка выглядит безобидно: три четверти плюс одна шестая записывают как четыре десятых, складывая числители с числителями и знаменатели со знаменателями. Правильно привести к двенадцати: девять двенадцатых плюс две двенадцатых равно одиннадцать двенадцатых. Проверить себя можно прикидкой: три четверти это почти единица, прибавили чуть-чуть, получилось тоже около единицы, а «четыре десятых» это меньше половины, и сразу видно, что ответ неверен.

Проценты вводят как частный случай дроби. Пятнадцать процентов от двухсот сорока это пятнадцать сотых от двухсот сорока, то есть 36. Ребёнок, который понимает связь процента с дробью, решает любые задачи про скидки и проценты; ребёнок, зазубривший правило, путается в задачах «а сколько процентов составляет». Подробнее о том, как устроены эти два года, в статье о математике в пятом-шестом классе.

Отрицательные числа приходят в шестом классе и становятся первым испытанием на понимание знаков. Выражение −3 − (−5) превращается в −3 + 5 и равно 2, а ребёнок, не понимающий почему, пишет −8. Здесь помогает числовая прямая и аналогия с долгом: отнять долг значит стать богаче. Репетитор в этом возрасте тратит много времени на картинки и объяснения, а не на тренировку по образцу.

Седьмой: буква вместо числа

Седьмой класс самый уязвимый. В нём математика делится на алгебру и геометрию, появляются буквы, выражения и формулы, и всё держится на навыках счёта предыдущих лет. Если в них есть дыры, они сразу вылезают наружу. Самые заметные признаки: ошибки в знаках при раскрытии скобок, путаница в степенях, нежелание проверять ответ.

Уравнения в этом классе решают по ясной схеме. Например, 2x − 7 = 3x + 1. Переносим слагаемые: 2x − 3x = 1 + 7, получаем −x = 8, значит x = −8. Проверка подстановкой: слева 2 · (−8) − 7 = −23, справа 3 · (−8) + 1 = −23. Равны, ответ верен. Если ребёнок не делает проверку сам, это первая привычка, которую вводит репетитор, потому что она отлавливает почти все ошибки знаков.

Отдельная история — формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы (a + b)² равен a² + 2ab + b², и ошибка «пропущено удвоенное произведение» одна из самых живучих. Проверить формулу легко: при a = 3 и b = 2 слева (3 + 2)² = 25, справа 9 + 12 + 4 = 25. Репетитор, который показывает такую проверку, даёт ребёнку инструмент на всю жизнь: теперь любую формулу можно проверить, не заглядывая в справочник.

Геометрия седьмого класса впервые просит доказывать. Многие дети теряются: раньше можно было измерить или посчитать, теперь надо объяснить. Хороший репетитор учит рассуждать по цепочке «дано, значит, по признаку, следовательно». Об этом переходе подробно в статье о математике в седьмом-восьмом классе.

Восьмой: корни, квадратные уравнения и первые функции

В восьмом классе добавляются квадратные корни, квадратные уравнения, функции и графики, подобие треугольников и теорема Пифагора. Тема за темой нагрузка растёт, и всё меньше остаётся задач «в одно действие». Репетитор в этот период чаще имеет дело с несколькими пробелами сразу, которые вдруг сложились в проблему: слабые дроби не позволяют работать с алгебраическими дробями, слабые знаки не дают решить квадратное уравнение.

Прямая линия действий такая: сначала понять, где ломается, потом закрыть это место, потом вернуться к программе класса. Если делать в обратном порядке и пытаться закрыть восьмой класс без починки основания, ребёнок будет решать по образцу и ошибаться на любом отклонении от образца.

Несколько примеров того, с чем работают в восьмом классе, чтобы было понятно, насколько вырастает планка. Квадратное уравнение x² − 5x + 6 = 0 решается за минуту, если помнить, что сумма корней равна пяти, а произведение шести: подходят 2 и 3, проверка подстановкой подтверждает. Корень из пятидесяти упрощается как пять корней из двух, потому что 50 это 25 умножить на 2. Теорема Пифагора для катетов 6 и 8 даёт гипотенузу 10, потому что 36 плюс 64 равно 100. Подобие объясняет, что треугольник со сторонами 6, 8 и 10 вдвое больше треугольника 3, 4, 5, а площадь у него больше в четыре раза: 6 и 24.

Каждый из этих примеров держится на прежнем. Квадратное уравнение требует уверенного обращения со знаками, корни опираются на таблицу квадратов, подобие на пропорции из пятого-шестого класса. Поэтому репетитор в восьмом классе часто возвращается к материалу двух-трёхлетней давности, и это нормально.

К концу восьмого класса часть детей начинает задумываться об ОГЭ: впереди девятый класс и экзамен, о котором есть отдельный материал, репетитор по математике для 9 класса. Готовиться к ОГЭ заранее не нужно, достаточно держать темы на уровне.

Как проходит работа

Занятие по математике в средней школе устроено проще, чем у младших: оно в основном решение задач с объяснением. Обычный порядок такой. Репетитор спрашивает, что было в школе, и выбирает, с чего начать. Разбирает тему, пока вы не поймёте, что ребёнок способен объяснить её сам. Даёт несколько задач, которые решаются вместе, затем самостоятельные. Заканчивается занятие заданием на дом, небольшим и конкретным.

Первое занятие обычно носит диагностический характер. Репетитор начинает не с программы: он просит решить несколько заданий разного уровня и проговаривать мысли вслух. По тому, на каком месте ребёнок начинает путаться, он выстраивает план: что закрыть в первую очередь, что можно отложить. Если вместо этого сразу предлагают «разобрать контрольную» или «пройти тему по учебнику», стоит спросить, на чём основан такой план. Хорошему специалисту нужно хотя бы одно занятие, чтобы увидеть, какова картина у ребёнка в действительности.

Онлайн-формат имеет свои особенности. В видеокомнате платформы нет общей доски и показа экрана, поэтому решения пишутся на бумаге и показываются в камеру, а фотографии тетради можно отправить в чат, который открывается после того, как репетитор получил ваш контакт. Это не мешает: математика на листе получается живее, чем в окне, и ребёнок сам записывает рассуждение. Занятия бывают по сорок пять, шестьдесят и девяносто минут, нужную длительность выбирают фильтром каталога. Для средней школы сорок пять-шестьдесят подходят лучше всего.

Чему нужно научить ребёнка за время занятий? Объяснять решение вслух, проверять ответ, записывать ход аккуратно. Это три навыка, которые переносятся на любой следующий год, на ОГЭ, на профильную математику. Подробнее о том, куда это ведёт, можно прочитать в статье о структуре ЕГЭ по профильной математике: видно, что в экзамене ценится то же самое.

Как отличить понимание от списывания

Репетитор не должен решать за ребёнка, и ребёнок не должен просто переписывать решение с экрана. Проверить это можно простыми способами. Попросите ребёнка на следующий день решить похожую задачу с другими числами: если справляется, понимание есть. Попросите объяснить решение вслух вам или младшему брату: если объяснение складывается, всё в порядке. Посмотрите тетрадь: в ней должны быть записи самого ребёнка, с исправлениями и пометками, а не идеально чистые страницы.

Тревожные сигналы тоже есть. Ребёнок ждёт, пока преподаватель подскажет, и не пробует сам. Ответы верные, а объяснить ход не получается. Дома ничего не решается без напоминания, а на занятиях всё идёт гладко. Любой из этих сигналов по отдельности ещё ничего не решает, но два вместе означают, что занятия идут вхолостую и пора менять подход. В таких случаях стоит поговорить с преподавателем и поменять форму работы: больше самостоятельных задач, меньше готовых объяснений.

Домашнее задание от репетитора должно быть небольшим и конкретным: две-три задачи по пройденной теме, исправление ошибок в контрольной, повторение определённых правил. Если домашние задания растут и пугают объёмом, это повод пересмотреть нагрузку вместе со школьными заданиями. Взрослые склонны складывать нагрузки, забывая, что у ребёнка кроме математики есть ещё несколько предметов.

Сколько заниматься и когда прекращать

Хорошее подтягивание заканчивается. Репетитор по математике в средней школе нужен до тех пор, пока ребёнок не научился справляться сам с текущей программой. Признаки: он без напоминаний делает домашние задания, самостоятельно находит ошибки в контрольных, задаёт вопросы по делу. Тогда занятия можно проредить, оставив консультации перед сложными темами или контрольными, а затем и вовсе прекратить.

Бывает и наоборот: ребёнку хорошо, а родители хотят «продвинутого уровня». Тогда занятия строятся вширь: нестандартные задачи, подготовка к олимпиадам, о чём есть статья про олимпиадную математику в пятом-восьмом классе. Это отдельная цель, и нужен отдельный преподаватель с таким опытом.

Если вы выбираете репетитора впервые, откройте статью о выборе репетитора, а для младших классов смотрите материал о репетиторе по математике для 1–4 класса. Если трудности лежат в прошлом, поможет статья о закрытии пробелов.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для 5–8 классов
• все репетиторы по математике
• репетиторы для 5–8 классов
• занятия по шестьдесят минут

Вопросы и ответы

Когда лучше начинать: в пятом классе или позже? Когда появляются затруднения. Профилактические занятия без причины мало что дают, а вот первая тройка по дробям в пятом классе повод вмешаться.

Сколько раз в неделю заниматься? Для подтягивания обычно достаточно одного-двух занятий, если между ними ребёнок делает задания. Больше нужно только перед контрольными или при большом отставании.

Репетитор объясняет иначе, чем учитель. Это проблема? Нет, это польза: два объяснения лучше одного. Многие дети наконец понимают тему, услышав её другими словами, и учитель тут ни при чём. Но стоит следить, чтобы способ записи решений не расходился со школьным, иначе учитель может снизить оценку. Расскажите об этом репетитору на первом занятии.

Что делать, если ребёнок хорошо решает с репетитором и плохо в школе? Скорее всего, дома ему помогают больше, чем на контрольной. Попросите решать без подсказок и пробуйте контрольные задания в школьных условиях.

Нужен ли репетитор отличнику? Нет, если нет цели. Отличная оценка в школе не всегда означает глубокое понимание, и если ребёнок сам чувствует, что решает по образцу, консультация перед сложной темой пойдёт на пользу. Если есть интерес и желание идти дальше школьной программы, подойдёт занятие по нестандартным задачам.