Математика в 5–6 классе: дроби и проценты

В пятом классе у ребёнка заканчивается математика, которую можно выучить как набор действий, и начинается математика, где надо понимать, что происходит с числом. Дроби и проценты ломают прежние привычки: «больше» уже не всегда означает «число с большими цифрами», а ответ на пример не обязан быть целым. В шестом классе к ним добавляются числа с минусом. Поэтому два года, на которые приходится эта перемена, часто оказываются самыми тревожными для родителей, которые раньше и не подозревали, что есть о чём тревожиться.

В статье карта этих двух лет: какие записи в тетради сигнализируют, что понимания нет, что с этим делать дома и когда пора звать на помощь кого-то со стороны. Подробные разборы самих тем уже написаны, и я на них ссылаюсь там, где они нужны. Что идёт дальше, в седьмом и восьмом классе, описано в статье про алгебру и геометрию.

Что видно в тетради уже в сентябре

Первые страницы пятого класса почти целиком состоят из счёта, и вот где обычно проступают пробелы, оставшиеся от начальной школы. Запись 4056 : 4 = 114: ребёнок поделил четыре на четыре, ноль в разряде сотен пропустил и дошёл до 56 : 4 = 14. Верный ответ 1014, а потерянный нуль в частном — любимая добыча пятого класса. Запись 2 + 3 · 4 = 20: действия выполнены по очереди слева направо, хотя умножение должно идти первым, и верно 14. Запись 7 · 8 = 54 — то есть уже знакомая путаница таблицы.

Каждая из этих ошибок выглядит мелочью, но к октябрю они накапливаются, и ошибки в дробях, процентах и уравнениях идут одна за другой на тех же основаниях. Если в начале года оценки поехали вниз, начните с двух проверок. Первая: таблица умножения (о ней отдельная статья). Вторая: текстовые задачи, то есть умение превратить условие в схему; как его объяснять, описано в статье про текстовые задачи в начальной школе, и в пятом классе та же схема понадобится для задач с дробями и процентами.

Дроби: записи, которые выдают непонимание

Если ребёнок не видит, что такое три четверти, правила действий с дробями становятся чужим языком. Проверить понимание можно по нескольким типичным записям в тетради.

1/3 + 1/4 = 2/7. Ребёнок сложил числитель с числителем и знаменатель со знаменателем. Остановить его легко вопросом по смыслу: одна треть пиццы и одна четверть пиццы вместе — больше половины, а 2/7 меньше половины. Такой вопрос лечит ошибку надолго.

3/4 + 1/4 = 4/8. Тот же корень в другом виде. Три четверти и ещё одна четверть — это четыре четверти, то есть единица; откуда взялись восьмые, ребёнок объяснить не может.

«Одна треть больше одной второй, потому что три больше двух». Это записывают знаком, и тут же появляется уверенность. Чем на большее число частей режут, тем мельче каждая часть, и яблоко в руках показывает это быстрее любого объяснения.

2½ × 3 = 6½. Целую часть умножили, дробную потеряли, а надо было получить 7½. Помогает перевод смешанного числа в неправильную дробь (5/2 × 3 = 15/2), хотя разные учебники советуют разные пути, и вам придётся выбирать тот, которым пользуется ваша школа.

С десятичными дробями картина похожая. Запись 6 : 4 = 1 (остаток 2) говорит о том, что деление остановили на остатке, не поняв, что его можно продолжить: 6 : 4 = 1,5. Запись 0,5 · 0,5 = 2,5 выдаёт перенос правила сложения на умножение, хотя половина от половины — четверть, то есть 0,25. А ещё 0,3 кажется меньше, чем 0,25, потому что 3 меньше 25.

Рядом с деньгами это исправляется быстро: тридцать копеек или двадцать пять?

Есть ещё одно задание, на котором дети разваливаются, даже когда правила знают. Пешеход прошёл 3/5 пути, и ему осталось 12 километров. Какой весь путь? Часть детей умножает 12 на 3/5, а надо заметить, что 12 километров — это две пятых, значит, одна пятая — 6, весь путь — 30. Рисунок, на котором путь разделён на пять отрезков, превращает такую задачу из мучения в картинку.

Чем лечить каждую тему, вы увидите в разборе обыкновенных дробей; десятичные описаны в отдельной статье. Здесь скажу о главном: дроби нужно показывать руками. Нарежьте яблоко или бумажную ленту, дайте ребёнку в одну руку половину, в другую треть, и пусть он сам скажет, какая больше. На это уходит несколько минут, а исправлять последствия непонятых дробей потом приходится годами.

Проценты: сотая часть

Процент вводят просто: это сотая часть числа. Из этой фразы вытекает почти всё, и дети, которые её усвоили, спокойно относятся и к 25 %, и к 150 %. 1 % от 400 — это 4, потому что 400 : 100. 10 % — это 40, достаточно сдвинуть запятую. 50 % — половина, 25 % — четверть, 20 % — пятая часть. Опоры «один процент, десять процентов, половина» хватает на большую часть бытовых задач, а остальное из них собирается.

Ещё одна частая неприятность — перевод между записями. Одно и то же число существует как 3/4, как 0,75 и как 75 %, и ребёнок, у которого эти три записи не связаны, пишет 0,3 = 3 % (верно 30 %) и не замечает, что 0,5 и 50 % — одно и то же. Полезно держать на виду маленькую табличку из четырёх строк: 1/2, 1/4, 1/10 и 1/5 с их десятичной и процентной записью, и каждый раз, когда ребёнок видит одну из них, называть остальные.

Самая известная ловушка — путаница в том, от чего считают. Цену подняли на 50 %, а потом снизили на 50 %. Вернулась ли она к исходной? Нет: 100 рублей превратились в 150, а потом уменьшились на половину от 150, то есть до 75. Звучит симметрично, и ребёнка именно это сбивает. Нарисуйте две полоски и посмотрите.

Обратная задача путает ещё сильнее. После скидки 20 % куртка стоит 800 рублей, сколько она стоила раньше? Ответ «960» (800 плюс 20 %) встречается чаще, чем кажется. Верно 1000: 800 рублей — это 80 % прежней цены, поэтому цену делят на 0,8.

Дети нередко учат «найти 20 % числа — умножить на 0,2», потом «найти число по его проценту — разделить на 0,2», и в голове у них лежат два не связанных правила. Устойчивее держится одно соотношение: часть, целое и процент связаны, и если знаешь два, находишь третье. Об этом в статье про три типа задач на проценты.

Шестой класс: минус

Отрицательные числа приходят в шестом классе, и вместе с ними приходит самая живучая ошибка пятых-шестых классов: перенос правила «минус на минус даёт плюс» на сложение. Запись −3 − 2 = 5 говорит именно об этом. Правило работает для умножения, а для вычитания такого нет: на числовой прямой стоишь в точке −3 и делаешь ещё два шага влево, это −5.

Вторая запись — 4 − (−2) = 2. Ребёнок видит «минус» два раза и решает, что они сократятся до нуля. Здесь нужен другой взгляд: вычесть отрицательное — значит прибавить его противоположное, и ответ 6. Лучше всего помогает долг: у вас было четыре рубля, и у вас забрали долг в два рубля. Стало богаче, и на шесть. Подробно это разобрано в статье про отрицательные числа и действия с ними.

Рядом с отрицательными числами в курсе обычно появляется координатная плоскость, и ошибки там свои. Точку (3; −2) ставят на два вправо и три вниз: порядок «сначала вдоль, потом вверх или вниз» не стал привычкой, и числа меняются местами. Помогает фраза «сначала в коридор, потом на этаж».

Я бы не торопил детей с правилами знаков. Если на числовой прямой ребёнок всегда может проверить ответ, правило со временем придёт само, а заученное раньше времени правило оказывается самым опасным, потому что в трудную минуту ребёнок вспоминает его не к месту.

Дома и в магазине: что делать и как заметить, что ребёнок плывёт

Лучший материал для дробей и процентов лежит в кухне и в магазине. Рецепт на четыре порции, а нужно на шесть: сколько муки? В рецепте стакан и ещё треть стакана, а мерка только половинка: сколько раз наливать? Ребёнок, который однажды сам пересчитал рецепт, больше не спрашивает, зачем нужен общий знаменатель. Пока он считает, вы только задаёте вопросы; почему так лучше, объяснено в статье о помощи ребёнку в подготовке к ЕГЭ и не помешать, и к пятому классу это уже относится.

С процентами работают чеки и ценники. Попросите прикинуть десять процентов от суммы в чеке (сдвинуть запятую), а потом двадцать (удвоить). Скидка в магазине тоже годится: «Было 2400, стало 1800, на сколько процентов подешевело?» Верный ответ 25 %, и найти его можно, заметив, что 600 — это четверть от 2400.

Проверить понимание помогает обратная задача: пусть ребёнок сам придумает вам задачу про скидку или про рецепт и покажет решение. Сочиняя условие, ребёнок сам натыкается на непонятные места, причём раньше, чем вы успеваете о них спросить.

Тревожный признак в пятом-шестом классе — не плохая оценка, а то, что ребёнок перестал объяснять свои решения. Раньше он рассказывал, как считал, а сейчас говорит «ну я как в учебнике» или «не знаю, получилось». Поговорите о задаче, как о задаче: «покажи на пицце». Если ребёнок не может нарисовать три четверти, надо возвращаться, и чем раньше, тем дешевле.

Моя позиция в споре, который ведут многие родители: в пятом классе я бы не гнался за отметкой в четверти. Контрольная по темам, которые учитель прошёл две недели назад, измеряет скорее память, чем понимание. Гораздо честнее проверить, держится ли дробь в голове через месяц после темы, и именно тогда решать, нужна ли помощь.

Второй признак — ошибки в вычислениях при хорошем понимании темы. Это значит, что из начальной школы тянется пробел, и в этом случае помогает статья про пробелы за прошлые классы. Навыки, которые вы чините сейчас, потом пригодятся: арифметика пятого-шестого классов доживает до выпускного экзамена, а о его структуре можно прочитать заранее в статье про ЕГЭ по профильной математике.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для 5–8 классов
• все репетиторы по математике
• репетиторы по математике, у которых есть пробный урок

Вопросы и ответы

Можно ли пятикласснику пользоваться калькулятором? Для проверки можно, для решения лучше нет: пока ребёнок учится считать, калькулятор забирает у него именно то, что тренируется.

Как за пять минут проверить дроби? Попросите нарисовать три четверти, сравнить 2/3 и 3/4, сложить 1/2 и 1/3 и найти 10 % от 70. Если все четыре задания выполнены без правил, на одних рисунках, понимание есть. Если ребёнок сразу тянется к «сначала общий знаменатель» и не может объяснить зачем, правило знает, а смысл нет.

Нужен ли репетитор, если оценка четыре? Оценка в пятом классе нередко держится на заучивании, и первое настоящее испытание приходит в седьмом с алгеброй. Если дроби и проценты стоят уверенно, репетитор не нужен. Если уверенности нет, четвёрка может скрывать пробел, и разумнее заняться им, пока до алгебры больше года.