Математика в 7–8 классе: алгебра и геометрия

В седьмом классе в дневнике вместо одной строки по математике появляются две. Учебников тоже два, а иногда и учителя разные, и на каждой странице алгебры ребёнок вдруг обнаруживает буквы там, где раньше стояли числа. Для части детей это переход, который проходит почти незаметно. Для остальных он становится первым настоящим провалом: математика, которая была понятной, исчезает за формулами, которые надо принимать на веру.

Дальше о том, что происходит в этих двух классах, какие записи в тетради выдают конкретную дыру и как с ними работать. Предыдущие два года разобраны в статье про дроби и проценты, и если уверенности в них нет, начинать лучше оттуда: почти всё, что ломается в седьмом классе, имеет корни в пятом.

Алгебра и геометрия: два предмета

Главное отличие от пятого и шестого классов — отношение к ответу. Раньше ответ был числом, которое можно проверить на калькуляторе. Теперь ответом бывает выражение или равенство, а то и целое доказательство. Проверка вычислением исчезает, и вместе с ней уходит привычка спрашивать себя, правдоподобен ли результат.

Эту привычку нужно возвращать нарочно, через подстановку чисел. Выражение можно проверить, подставив вместо буквы два-три числа: если до и после преобразования получилось разное, где-то ошибка. Это единственное универсальное средство самоконтроля в алгебре, и, на мой взгляд, ребёнку стоит показать его в первую же неделю седьмого класса.

У геометрии трудность своя: впервые просят объяснить, почему так, и одного числа в ответе уже мало. Многие дети не готовы к тому, что на вопрос «чему равен угол» нельзя ответить одним числом без цепочки рассуждений, и этому надо учить почти как иностранному языку.

Минус и скобки

Одна из самых частых ошибок седьмого класса умещается в одну строку. −(x − 3) = −x − 3. Ребёнок поменял знак у первого слагаемого и забыл про второе. Правильно: −x + 3. Скобка с минусом перед ней меняет знаки у всех слагаемых, и без этого понимания нет ни линейных уравнений, ни формул, ни квадратных уравнений позже.

Та же логика даёт ошибку без букв: 5 − (3 + 2) превращают в 5 − 3 + 2 = 4, а скобка со знаком минус перед ней требует вычесть всю сумму, и верный ответ 0. Родственная ошибка: 2(x − 3) = 2x − 3. Двойку умножили на первое слагаемое и оставили. Проверка подстановкой работает безотказно: при x = 5 слева 2 · 2 = 4, справа 10 − 3 = 7. Не совпало, значит, раскрытие неверно. С такой проверкой находится почти любая из этих ошибок, и дети перестают считать её лишней.

Отдельно стоит перенос слагаемых через знак равенства: x + 5 = 8, а в ответе 13, потому что «перенесли» пятёрку и забыли поменять знак. Подробно такие вещи разобраны в статье про линейные уравнения; здесь важно только то, что все три ошибки растут из одного места, из непонимания, что скобки и знак равенства обязаны сохранять числовое значение.

Квадраты, корни и потерянный корень уравнения

Формулы сокращённого умножения дают вторую волну ошибок со скобками. Типичная запись: (x + 3)² = x² + 9. Ребёнок возвёл в квадрат каждое слагаемое и решил, что степень «раздаётся». Правильно x² + 6x + 9, а пропущенное среднее слагаемое (удвоенное произведение) самая частая потеря.

Проверка простая и убедительная: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13. Ребёнок, который увидел это своими глазами на двух числах, запомнит формулу лучше, чем после десяти повторений правила. Разбор семи формул есть в статье про формулы сокращённого умножения, а я хотел бы подчеркнуть другое: не выучивайте формулы списком, пока ребёнок не вывел хотя бы одну из них сам, раскрыв скобки в (a + b)(a + b).

Знак и степень тоже путаются: −3² и (−3)² записывают одинаково, как 9. Первое равно −9, потому что возводится в квадрат только тройка; второе равно 9. Помогает вопрос «что именно стоит в скобках?», и задавать его надо до вычисления.

Те же ловушки со степенями. Запись x² · x³ = x⁶ получается, когда показатели перемножили, а надо было сложить: правильно x⁵. Проверка снова числами: 2² · 2³ = 4 · 8 = 32, а 2⁶ — это 64. С корнями похоже: √(9 + 16) превращают в 3 + 4 = 7, а настоящий ответ 5, потому что под корнем 25.

Теперь про уравнения. Уравнение x² = 9 решают так: x = 3. Это неполный ответ, корней два: 3 и −3. То же и в другой форме: x² = 3x делят на x и получают x = 3, теряя нулевой корень. Ошибка устойчивая, и её не перебороть нотациями, помогает привычка в конце спрашивать себя: «а нет ли ещё одного?» и подставлять оба числа.

Позже в курсе появляются квадратные уравнения с дискриминантом, и там ошибки уже другие: неверный знак перед b, забытый множитель 2 в знаменателе. О них подробно в статье про квадратные уравнения и теорему Виета. Если потеря корня уже стала привычкой, лучше разобрать её пораньше, чем увидеть в баллах на ОГЭ.

Сумму дробей складывают так же буквально, как в пятом классе: x/2 + x/3 записывают как 2x/5, хотя общий знаменатель 6 и верный ответ 5x/6. Отдельный вид ошибки — сокращение слагаемых, а не множителей: (x + 2)/2 записывают как x + 1, потому что «двойки сократились». Нельзя: сокращать можно только то, на что умножены обе части. Подставьте x = 4 и убедитесь: слева 3, справа 5.

Геометрия: когда впервые просят доказать

Самая частая беда седьмого класса в геометрии состоит в том, что ребёнок берёт за данное то, что «видно на рисунке». Углы на чертеже кажутся равными, отрезки одинаковыми, прямая похожа на высоту, и всё это он записывает в решение как факт. Чертёж помогает думать, но доказательством не является, и привыкать к этому приходится медленно.

Другая ловушка — обратная теорема. Вертикальные углы равны, и ребёнок записывает «углы равны, значит, они вертикальные», хотя из равенства углов это не следует. На каждую теорему полезно задавать вопрос: а если наоборот, верно ли?

Ещё одна беда — путаница между равенством и подобием. Три признака равенства треугольников и признаки подобия звучат похоже, а различаются тем, равны ли стороны или пропорциональны. В статье про треугольники разобрано, как не перепутать. Дальше в курсе встречается теорема Пифагора: её часто записывают с вычитанием, c² = a² − b², забыв, что гипотенуза стоит отдельно. Проверка на треугольнике со сторонами 3, 4 и 5 отлавливает такую запись мгновенно: 9 − 16 дало бы отрицательное число.

Ещё одна потеря связана с масштабом. Если стороны подобных треугольников различаются вдвое, то площади различаются вчетверо, а ребёнок по привычке удваивает и их: тот же вопрос «а если подставить числа?» снимает ошибку (квадрат со стороной 1 и со стороной 2 дают площади 1 и 4).

Практический совет по геометрии простой: записывать «дано» и «доказать» каждый раз, даже в задаче, которая решается в голове за минуту. Это скучно, но именно запись учит различать то, что известно, и то, что нужно получить.

Вторая половина курса: чем она тяжелее

Дальше курс становится плотнее: после линейных выражений идут дробные выражения и корни, потом квадратные уравнения, а геометрия переходит от первых признаков к подобию, площадям и теореме Пифагора. Тем становится больше, а времени на каждую остаётся меньше. Пока тем было мало, можно было выехать за счёт хорошей памяти; теперь память не успевает.

Много сил уходит на графики. Линейная функция y = 2x + 1 для ребёнка нередко остаётся набором формул, и он не может ответить, куда пойдёт прямая, если поменять коэффициент 2 на −2. Лучше начать с таблицы из трёх-четырёх точек и построить график руками: так видно, что коэффициент отвечает за наклон, а свободный член за точку на вертикальной оси.

Заметно меняется и поведение детей. Сначала ребёнок ещё спрашивает, а потом нередко решает молча: решение где-то записывается, учитель его не видит, а ошибки накапливаются. Если вам кажется, что ребёнок стал меньше рассказывать про математику, это повод спросить про конкретное решение.

Если вы не помните алгебру, и что тянется до экзамена

Для помощи в седьмом классе знать алгебру необязательно, хватит двух привычек. Первая: просить ребёнка проверить ответ подстановкой, пока вы просто смотрите. Вторая: просить объяснить решение вслух, и пусть он слышит от вас вопросы вроде «почему здесь минус?» и «а что будет, если вместо x взять ноль?». Если объяснить не получилось, понимания пока нет, даже когда ответ верный. С геометрией добавляется ещё один вопрос: «а где это сказано в условии?», и он спасает от рисуночных «очевидностей».

Решать за ребёнка по-своему лучше не пробовать: у учителя есть собственная форма записи, и работа, решённая правильно, но чужим способом, иногда получает меньше баллов. Вместе перечитать параграф учебника полезнее, чем показывать свой способ; где проходит граница между помощью и подменой, подробно в статье о помощи ребёнку в подготовке к ЕГЭ. Если же вы чувствуете, что не тянете, для этого репетитор и существует.

В девятом классе ребёнку сдавать ОГЭ, и все перечисленные ошибки там живы: устройство работы описано в статье про ОГЭ по математике. Тема профильного ЕГЭ ещё далека, но о том, что именно там проверяют, можно прочитать заранее в статье про структуру ЕГЭ по профильной математике: стереометрия и задачи с параметрами стоят на тех самых привычках, которые формируются сейчас.

Проверочную работу вне класса разбирает статья про ВПР по математике. Если четверть уже пошла плохо, используйте материал о том, как подтянуть математику за одну четверть, а если дыры тянутся из прошлого, начните с закрытия пробелов за прошлые классы.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для 5–8 классов
• все репетиторы по математике
• репетиторы по математике для 9 класса

Вопросы и ответы

Когда нужен репетитор: сразу в седьмом или после первой тройки? Сразу брать не обязательно, но решающий момент наступает раньше тройки. Если у ребёнка не получается проверить свой ответ подстановкой, а скобки с минусом вызывают сомнения, лучше начать до первой плохой контрольной. После неё приходится одновременно и догонять, и справляться с разочарованием.

Что делать, если геометрия не идёт, а алгебра идёт? Это обычная картина. Геометрия — отдельное умение рассуждать, и оно развивается по-другому. Работайте с доказательствами маленькими порциями: одна задача, но разобранная до конца, с записью «дано».

Нужно ли заучивать формулы сокращённого умножения? Нужно, но после того, как ребёнок выведет их раскрытием скобок.

Как отличить невнимательность от непонимания? Посмотрите на ошибки сразу в трёх-четырёх работах. Случайные и разные — невнимательность. Повторяющиеся и однотипные — непонимание, и им надо заниматься отдельно, а напоминания «будь внимательнее» ничего не меняют.

Нужна ли отдельная тетрадь для ошибок? Нужна, только для повторяющихся ошибок: обычно хватает половины странички. Пишите там формулу ошибки («забыл поменять знак у второго слагаемого») вместо самого решения и перечитывайте перед контрольной.