Системы уравнений: способы решения

Система уравнений — это два уравнения с двумя неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Решением системы называют пару чисел, подходящую сразу обоим. Пара, которая подходит только одному, решением не считается, и в этом главная трудность для тех, кто привык, что у одного уравнения ответ бывает один: теперь ответ состоит из двух чисел, их порядок важен, и записывают его как (x; y).

Тема идёт после квадратных уравнений, но школьники сталкиваются с системами и раньше, в седьмом классе, в линейном виде. Дальше они нужны внутри текстовых задач, при поиске точек пересечения графиков и в неравенствах, если их решают совместно. Умение решать систему нужно внутри других заданий экзамена (их порядок разобран в структуре ЕГЭ), поэтому способы лучше отрабатывать по одному.

Подстановка

Берём одно уравнение, выражаем из него одну неизвестную через другую и подставляем в оставшееся. Система: x + y = 7 и 2x − y = 2. Из первого уравнения y = 7 − x. Подставим во второе: 2x − (7 − x) = 2. Скобка с минусом перед ней, раскрываем её аккуратно: 2x − 7 + x = 2, откуда 3x = 9 и x = 3. Тогда y = 7 − 3 = 4. Проверяем в оба уравнения: 3 + 4 = 7 и 2·3 − 4 = 2.

Типичная ошибка тут та же, что и в линейных уравнениях: забыть про минус перед скобкой и написать 2x − 7 − x = 2. Получится x = 9, y = −2, и вот что интересно: первое уравнение при этом выполняется (9 − 2 = 7), потому что мы сами выражали y из него и оно выполнится при любом x. Ошибку обнаружит только второе: 2·9 − (−2) = 20, а нужно 2. Поэтому проверка в оба уравнения обязательна, и подстановка в то, откуда выражали, смысла не имеет. Это вывод из разбора таких ошибок, в учебниках он встречается редко. Другие массовые школьные ловушки собраны в обзоре тем, которые западают чаще всего.

Начинать стоит с подстановки, а сложение придёт потом. Подстановка подходит для любых систем, в том числе нелинейных, и всегда ведёт к одному уравнению с одной неизвестной, которое вы уже умеете решать.

Сложение

Если у одной неизвестной в обоих уравнениях коэффициенты противоположны, уравнения можно сложить, и неизвестная исчезнет. Система: 3x + 2y = 12 и 5x − 2y = 4. Складываем левые части с левыми, правые с правыми: 8x = 16, x = 2. Подставляем в первое: 6 + 2y = 12, y = 3. Проверка: 3·2 + 2·3 = 12 и 5·2 − 2·3 = 4.

Когда подходящих коэффициентов нет, их создают умножением. Система: 2x + 3y = 13 и 3x − 2y = 0. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: 4x + 6y = 26 и 9x − 6y = 0. Складываем: 13x = 26, x = 2. Из первого: 4 + 3y = 13, y = 3. Проверка: 2·2 + 3·3 = 13 и 3·2 − 2·3 = 0. Главная ловушка этого способа — умножить на число только левую часть и забыть про правую: тогда уравнение уже другое, и пара может не сойтись.

Если одинаковы коэффициенты, уравнения вычитают. Система: 5x + 3y = 21 и 5x + y = 11. Вычтем второе из первого: 3y − y = 2y, а 21 − 11 = 10, откуда y = 5. Из второго: 5x + 5 = 11, 5x = 6, x = 1,2. Проверка: 5·1,2 + 3·5 = 6 + 15 = 21 и 5·1,2 + 5 = 11. Ответ получился с дробью, и ничего страшного: нет закона, что в системе обязаны выходить целые числа.

Как выбрать между сложением и подстановкой, если система линейная? Если при одной из неизвестных коэффициенты уже равны или противоположны, как в двух последних примерах, быстрее сложение или вычитание. Если коэффициент у какой-то неизвестной равен единице, как в первом примере, быстрее подстановка, потому что выражать нечего: неизвестная уже стоит одна.

Когда решений нет, а когда их бесконечно много

Система x + y = 3 и 2x + 2y = 6 выглядит как два разных уравнения, а на деле второе — первое, умноженное на 2. Пар чисел с суммой 3 бесконечно много: (0; 3), (1; 2), (5; −2) и так далее. Проверим последнюю пару: 5 + (−2) = 3 и 2·5 + 2·(−2) = 10 − 4 = 6. Подходит.

Система x + y = 3 и x + y = 5 противоречива: сумма двух чисел не может одновременно быть равна и трём, и пяти. Решений нет. При сложении и подстановке вы увидите это по результату: вместо значения неизвестной получится неверное равенство вроде 0 = 2 или верное вроде 0 = 0.

Видно то же самое и на графике. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными задаёт на плоскости прямую, а решение системы — общая точка прямых. Прямые пересекаются в одной точке: ответ единственный. Параллельны и не совпадают: решений нет. Совпадают: решений бесконечно много. Чтобы построить прямые, каждое уравнение приводят к виду y = kx + b. В первой системе из x + y = 7 получается y = 7 − x, из 2x − y = 2 получается y = 2x − 2. Для каждой прямой достаточно двух точек: (0; 7) и (7; 0) для первой, (0; −2) и (1; 0) для второй. Пересекаются они в точке (3; 4): 7 − 3 = 4 и 2·3 − 2 = 4, то есть та же пара, что мы нашли подстановкой. Графиком удобно проверить, что решение вообще существует, но точный ответ по нему читается не всегда: пересечение в точке (3; 4) заметно сразу, а в точке (1,2; 5) определить его на глаз уже трудно.

Нелинейные системы

Здесь подстановка нужна почти всегда. Система: x + y = 5 и xy = 6. Выразим y = 5 − x и подставим во второе: x(5 − x) = 6, то есть 5x − x² = 6, откуда x² − 5x + 6 = 0. Это уравнение из статьи про квадратные: x = 2 или x = 3. Для каждого значения x находим свой y: если x = 2, то y = 3; если x = 3, то y = 2. Ответ: (2; 3) и (3; 2). Проверка: 2 + 3 = 5 и 2·3 = 6, а для второй пары 3 + 2 = 5 и 3·2 = 6.

Второй пример опаснее. Система: x² + y² = 25 и x − y = 1. Из второго x = y + 1. Подставим в первое: (y + 1)² + y² = 25. Скобку раскрываем по формуле: y² + 2y + 1 + y² = 25, то есть 2y² + 2y − 24 = 0, и после деления на 2 получаем y² + y − 12 = 0. Дискриминант 1 + 48 = 49, y = (−1 ± 7)/2, то есть 3 или −4. Теперь x = y + 1: при y = 3 получаем x = 4, при y = −4 получаем x = −3. Ответ: (4; 3) и (−3; −4). Проверка: 16 + 9 = 25 и 4 − 3 = 1; 9 + 16 = 25 и −3 − (−4) = 1.

Две ошибки в таком примере почти гарантированы. Первая — (y + 1)² превращается в y² + 1, и пропадает средний член 2y. Вторая — ответ записывают как набор отдельных значений: x = 4 или x = −3, y = 3 или y = −4. Составить из них пару (4; −4) легко, но она не решение: 16 + 16 = 32, и это не 25. Каждому значению одной неизвестной соответствует своя вторая, и пары нужно записывать вместе.

Если неизвестная стоит в знаменателе, снова вступает условие. Система: x/y = 2 и x + y = 9, где y ≠ 0. Из первого x = 2y, подставляем во второе: 3y = 9, y = 3, x = 6. Условие выполнено, y не нуль. Проверка: 6/3 = 2 и 6 + 3 = 9.

Текстовая задача на систему

Система часто возникает, когда в задаче две неизвестные величины. Один взрослый и два детских билета в музей стоят 1000 рублей, а два взрослых и три детских — 1700 рублей. Сколько стоит каждый? Пусть взрослый билет стоит a рублей, детский d. Тогда a + 2d = 1000 и 2a + 3d = 1700. Из первого a = 1000 − 2d. Подставим: 2(1000 − 2d) + 3d = 1700, то есть 2000 − 4d + 3d = 1700, откуда 2000 − d = 1700 и d = 300. Тогда a = 1000 − 600 = 400. Две неизвестные в задаче — повод сразу записать две строки: связи между ними в голове удерживать труднее. Проверка в условии: 400 + 2·300 = 1000 и 2·400 + 3·300 = 800 + 900 = 1700. Такая задача — типичный материал для первой части экзамена, и решать её системой надёжнее, чем подбором.

Если после примеров остаются неясные места, подойдёт занятие, на котором проверят запись решения, а способы отработают на новых системах:

• репетиторы по математике
• репетиторы по школьной программе по математике

Вопросы и ответы

Сколько решений может быть у системы двух линейных уравнений? Одно, ни одного или бесконечно много. Других случаев нет.

Можно ли складывать нелинейные уравнения? Можно, но заменять суммой оба исходных нельзя: сумма теряет часть информации. Возьмём x² + y = 7 и x² − y = 1. Складываем: 2x² = 8, то есть x² = 4 и x = 2 или x = −2. Второй неизвестной в сумме уже нет, её находят из любого исходного уравнения: y = 7 − 4 = 3. Ответ: (2; 3) и (−2; 3). Проверка: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1 для обеих пар, потому что x стоит в квадрате. Одну из двух строк после сложения нужно оставить.

Как понять, что в нелинейной системе не потеряна вторая пара? По картинке. Уравнение x² + y² = 25 задаёт окружность, x − y = 1 — прямую, а прямая пересекает окружность не больше чем в двух точках. В примере выше нашлись две пары, (4; 3) и (−3; −4), и больше быть не может. У системы x + y = 5, xy = 6 пары тоже две, потому что квадратное уравнение дало два корня.

В каком порядке писать ответ? Сначала x, потом y, в скобках через точку с запятой: (2; 3) означает x = 2 и y = 3, а (3; 2) означает x = 3 и y = 2. Это разные пары, и в примере с x + y = 5, xy = 6 обе подходят.

Что делать, если вышло 0 = 0 или 0 = 2? Первое значит, что уравнения зависимы и решений бесконечно много, второе значит, что решений нет. Ошибки в этом нет.