Теория вероятностей на ЕГЭ по математике

В профильной работе вероятность выглядит самой лёгкой темой: условие короткое, чертежа нет, ответ получается одной дробью. Поэтому и баллы на ней теряются обидные. Считать тут почти нечего, и ошибка сидит в другом месте: выбрана формула, которая не подходит к условию, или условие прочитано не так, как оно написано. Ниже разобраны типы задач, которые встречаются, и места, где формулы подменяют друг друга.

В профильной работе тема стоит в первой части, причём в простом и в усложнённом виде, и это одни из самых доступных баллов. Сдающим базовый уровень она тоже понадобится, и разговор о нём ещё впереди. Школьная основа темы разобрана в статье о вероятности в школьном курсе, здесь о том, как это выглядит на экзамене.

Простая версия и усложнённая

Первая задача по вероятности в работе обычно одношаговая: подсчитать благоприятные исходы, поделить на все и записать. Ничего, кроме определения, не нужно, и ошибиться можно только в самом подсчёте. Вторая задача из той же темы строится иначе. В ней несколько событий связаны условиями, ответ приходится собирать из нескольких частей, и без записи рассуждения (дерево или таблица исходов) путь теряется на втором же шаге. Сколько таких заданий в работе вашего года и как они называются в кодификаторе, смотрите в демоверсии: состав менялся, и пересказывать его по памяти я не берусь.

Практический вывод такой: простой вариант не требует ни подготовки, ни репетитора, ему хватает двух-трёх разобранных образцов, а усложнённый заслуживает отдельных занятий. И если ученик уверенно решает простой вариант и теряет усложнённый, это почти всегда трудность записи условия, знаний обычно хватает.

Что даёт определение

Классическая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных, но с условием, которое в формулировке часто опускают: исходы должны быть равновозможными. Нарушение этого условия — главный источник ошибок в простейших задачах.

Пример. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков равна 8? Всего сумм возможно одиннадцать, от 2 до 12, но считать по ним нельзя: они не равновозможны (сумма 7 получается чаще, чем 12). Равновозможны упорядоченные пары, их 36. Сумма 8 возникает в парах (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), значит, вероятность равна 5/36. Если вы считаете пары (3; 5) и (5; 3) за один исход, то благоприятных исходов получается три, а не пять, и счёт ломается.

Лечит такие ошибки привычка перед подсчётом записывать, что именно считается элементарным исходом: упорядоченная пара чисел или выбранный человек. Это одна строка, и она избавляет от многих промахов.

Сложение, умножение и «хотя бы один»

Два правила покрывают значительную часть задач, и перепутать их проще простого. Вероятность того, что произойдёт одно событие или другое, складывается, но только если события несовместны, то есть вместе не бывают. Вероятность того, что оба произойдут, умножается, но только если события независимы, то есть исход одного не влияет на другое. Слова «только если» из этих двух фраз выпадают чаще всего.

Пример с «или» для совместных событий. В цехе два станка, каждый независимо от другого выходит из строя за смену с вероятностью 0,1. Какова вероятность, что выйдет из строя хотя бы один? Складывать 0,1 и 0,1 нельзя, потому что события совместны: бывает, что неисправны оба. Правильный путь начинается с противоположного события. Оба станка исправны с вероятностью 0,9 · 0,9 = 0,81, значит, хотя бы один неисправен с вероятностью 1 − 0,81 = 0,19.

Переход к противоположному событию стоит держать в голове как первую мысль при словах «хотя бы один» и «не менее одного». Стрелок попадает с вероятностью 0,7, делает три выстрела независимо. Вероятность хотя бы одного попадания: 1 − 0,3³ = 1 − 0,027 = 0,973. Подсчёт по случаям (одно попадание, два или три) тоже верен, но заметно длиннее, и в нём чаще что-нибудь теряется.

Отдельно стоит задача, в которой события идут в заданном порядке. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8, и спрашивают, какова вероятность, что первые три выстрела попали в цель, а последние два нет. Выстрелы независимы, поэтому множители выстраиваются в строку: 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,2 · 0,2 = 0,512 · 0,04 = 0,02048. Если в условии сказано округлить до сотых, получится 0,02. Порядок здесь задан условием, и множителя в виде числа сочетаний не нужно; он появляется, когда спрашивают о количестве попаданий без указания, какие именно выстрелы удачны.

Дерево и полная вероятность

Задачи усложнённого типа почти всегда о том, что у события есть несколько путей наступления, и каждый путь имеет свой вес. Хороший способ это записать — дерево: из начала идут ветви по первому выбору (какой завод, какая группа), от каждой ветви по второму, а вероятности вдоль пути перемножаются. Итоговое событие получается сложением путей, которые к нему ведут.

Пример. Две фабрики выпускают стёкла для фар, первая даёт 60 % продукции, вторая 40 %. Среди стёкол первой фабрики брак составляет 4 %, среди стёкол второй 6 %. Какова вероятность купить бракованное стекло? Пути два: первая фабрика и брак, 0,6 · 0,04 = 0,024; вторая фабрика и брак, 0,4 · 0,06 = 0,024. Суммарно 0,048. Если спросят, какова вероятность, что бракованное стекло изготовлено первой фабрикой, делим вклад первого пути на общую вероятность брака: 0,024 / 0,048 = 0,5. Любопытный итог: фабрика с меньшей долей брака даёт ровно половину всего брака, потому что выпускает больше стёкол. На этом примере хорошо видно, чем условная вероятность отличается от доли брака внутри одной фабрики.

Формулу полной вероятности и формулу Байеса учить в виде набора букв необязательно: решение по дереву даёт то же самое и объясняется обычными словами. Но в записи решения полезно назвать, что вы делаете: «событие A произойдёт либо через первую фабрику, либо через вторую», иначе эксперт читает голые числа.

Жребий, группы, выбор без возврата

Отдельный тип — выбор из конечного набора без возврата, где вероятность считают через сочетания или через последовательные дроби. Типичный сюжет: шестнадцать команд делят по жребию на четыре группы по четыре, и спрашивают, какова вероятность, что две названные команды окажутся в одной группе. Сочетания здесь можно не вспоминать. Первая команда попала куда-то. Остаётся пятнадцать мест, и три из них в её группе, поэтому ответ 3/15 = 0,2. Такое рассуждение короче формул и по силам любому, кто умеет считать «оставшиеся места».

Ту же идею даёт выбор предметов по одному. В коробке 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают два подряд без возвращения. Вероятность, что оба чёрные, равна 3/8 · 2/7 = 3/28: после первого чёрного шара в коробке остаются 2 чёрных из 7. Ровно один чёрный шар вынут с вероятностью 2 · (3/8 · 5/7) = 15/28 (порядок может быть двух видов, поэтому множитель 2), а ни одного чёрного с вероятностью 5/8 · 4/7 = 5/14. Здесь есть простая проверка, которой пользуются реже, чем стоило бы: вероятности всех возможных случаев в сумме дают единицу. 3/28 + 15/28 + 10/28 = 1, значит, ошибки нет.

Для задач, в которых выбирают несколько предметов сразу (из десяти билетов вытаскивают три), работает число сочетаний, и его полезно знать наизусть для малых значений. Правило записи при этом то же: сперва скажите, из чего вы выбираете и что считаете благоприятным.

Ловушки в условии и запись ответа

Условия вероятностных задач короткие, и каждое слово в них что-нибудь значит. «Без возвращения» меняет знаменатель после первого шага. «Независимо» разрешает умножение. «Не менее» требует включить границу, «более» её исключает. «Ровно» часто означает, что надо учесть все порядки, в которых это происходит. Я рекомендую читать условие дважды и после второго раза подчёркивать такие слова, пока привычка не станет автоматической: на подчёркивание уходит несколько секунд, а исправленный ответ прибавляет балл.

Второе предостережение касается округления в промежуточных вычислениях. Если вы переводите дроби в десятичные раньше времени и округляете, ответ в конце может уйти за пределы допустимого. Держите дроби обыкновенными как можно дольше и переводите в десятичный вид в последний момент.

Ответ в первой части пишется числом в том виде, который требует бланк: десятичной дробью или целым числом, с указанным в условии округлением. Дробь 1/5 в бланк не вписывают, пишут 0,2. Если в условии сказано округлить до сотых, а у вас получилось 0,3333, ответ 0,33. Мелочь, но баллы на ней теряют, поэтому решённые варианты стоит проверять и на значение, и на форму записи.

Как готовиться

Я считаю, что вероятность стоит начинать осенью, не оставляя на весну. Теория короткая, типов задач немного, и результат тренировки виден быстро: уже после нескольких занятий большинство задач простого типа решается без ошибок. Весной она обычно уходит из внимания, потому что внимание забирают вторая часть и параметры, а к лету навыки забываются, и в варианте стоят ошибки, которых можно было избежать. Вернитесь к теме перед экзаменом ещё раз: час-другой на типовые задачи окупается.

Как тема стыкуется с остальной работой, видно в статье о структуре профильной математики. Из заданий второй части к вероятностям ближе всего экономическая задача: там тоже нужно записать условие шагами и не потерять множитель. Общий порядок подготовки по месяцам — в годовом плане.

Найти преподавателя, который разбирает вероятность на примерах:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для подготовки к ЕГЭ с пробным уроком

Вопросы и ответы

Как понять, независимы события или нет? Спросите себя, меняется ли вероятность второго, когда стало известно, что первое произошло. Если после первого вытаскивания шара без возврата состав урны другой, события зависимы, и умножать нужно условные вероятности. Если монету бросают второй раз или стрелок снова стреляет, зависимости нет. Условие почти всегда говорит об этом прямо словами «независимо» или «без возвращения», и его стоит перечитать в поисках именно этих слов.

Нужна ли формула Байеса? В явном виде обычно нет: задачи решаются деревом, как в примере с фабриками выше. Какие именно элементы входят в экзамен вашего года, указано в кодификаторе.

Сколько в ответе знаков после запятой? Столько, сколько указано в условии. Если ничего не сказано, точный ответ записывается полностью, например 0,125.

Годится ли эта тема для тех, кто сдаёт базовую математику? Да, в базовой работе вероятность тоже есть, причём в более простой форме. Те же правила работают, но формулировки там проще и без дерева.

Почему в задаче с двумя костями 36 исходов, если пар без учёта порядка всего 21? Потому что пары без учёта порядка не равновозможны: пара (3; 5) получается двумя способами, а (4; 4) одним. Чтобы формула отношения работала, считать надо упорядоченные пары, где все исходы равноправны.