Экономические задачи на ЕГЭ по математике

В середине второй части профильной математики, после неравенства, стоит задача, в условии которой есть банк, кредит, годовой процент и рассказ на полстраницы о том, как на протяжении нескольких лет вносят платежи. Страшной математики в ней нет, и это важно понимать с самого начала: решается она процентами и умножением, а в лучшем случае ещё и формулой суммы прогрессии. Пугает длина условия и количество чисел, которые нужно удержать в голове.

На третьем году выплат запутывается даже тот, кто условие прочитал правильно, и до ответа решение доходит не всегда. Поэтому дальше разобраны сюжеты, которые встречаются, способ записи, не дающий запутаться, и места, где чаще всего теряют баллы.

Четыре сюжета

Первый сюжет знаком почти всем: кредит, который возвращают равными платежами (их называют аннуитетными). Долг каждый год возрастает на процент, затем вносят платёж, и к концу срока долг обязан обнулиться. Неизвестной обычно бывает сумма платежа или процент, иногда срок.

Второй: кредит, в котором долг уменьшается на одну и ту же величину каждый год, а платежи получаются разными, убывающими. Тут помогают прогрессии, потому что проценты по годам образуют арифметическую прогрессию, и сумма переплаты считается по её формуле.

Третий связан со вкладами: банк начисляет процент, клиент вносит пополнения, и спрашивают, через сколько лет сумма достигнет заданной или какова будет сумма в конце срока.

Четвёртый совсем другой: задача на оптимальный выбор. Фирма планирует выпуск, выбирает между двумя тарифами или решает, где построить предприятие, и нужно найти, при каком варианте издержки наименьшие или прибыль наибольшая. Здесь математика иная: квадратичная функция или производная, плюс анализ целочисленных значений.

Какие именно сюжеты встречались в последних вариантах, видно по демоверсиям и открытому банку заданий ФИПИ; общее их разнообразие невелико, и для подготовки хватает освоить все четыре.

Слова, на которых ломается решение

Условие экономической задачи написано сухим канцелярским языком, и в нём каждое слово весит. «Каждый январь долг возрастает на 10 %» значит умножение на 1,1, и больше ничего. «С февраля по июнь вносят платёж» говорит, что платёж стоит после начисления процента. «Долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года» задаёт арифметическую прогрессию остатков. «Платежи равны» превращает неизвестный платёж в одну букву на все годы. Если в тексте встречается «досрочно» или «в последний год платёж меньше остальных», обычная схема перестаёт работать, и таблицу придётся достраивать, а не искать готовое.

Полезно перед решением переписать условие своими словами и попробовать пересказать его вслух по годам. Если рассказ не сходится (непонятно, что к чему прибавляется), значит, не до конца понята сама задача, и считать пока рано. Эта минута на первом прочтении окупается потом.

Записывать условие нужно таблицей

Главный приём, и он же главная защита от ошибок: расписать каждый год отдельной строкой, а в строке отдельно «долг до начисления», «долг после начисления процента» и «долг после платежа». Слова в условии («в январе», «с февраля по июнь», «в июле») задают порядок этих действий, и перепутать его значит получить другую задачу.

Пример первого сюжета, в самом коротком виде. Кредит 2,1 млн рублей берут на два года под 10 % годовых и возвращают равными платежами. Найдите платёж.

• начало, долг 2,1;
• после первого начисления 2,1 · 1,1 = 2,31, после первого платежа остаётся 2,31 − x;
• после второго начисления (2,31 − x) · 1,1;
• после второго платежа долг равен нулю.

Составляем уравнение: (2,31 − x) · 1,1 − x = 0, откуда 2,541 = 2,1x и x = 1,21. Платить придётся 1,21 млн дважды, всего 2,42 млн, и переплата составит 0,32 млн.

Тот же приём на втором сюжете. В июле берут 12 млн на четыре года под 10 % годовых, и каждый июль долг должен быть на одну и ту же величину меньше, чем в предыдущем. Долги в июле: 12, 9, 6, 3, 0, то есть убывают на 3 млн в год. Проценты в январе: 1,2, затем 0,9, 0,6, 0,3. Платежи складываются из очередной части долга и процентов: 4,2, 3,9, 3,6, 3,3. Всего выплачено 15 млн. Это можно получить и быстрее: проценты образуют арифметическую прогрессию, сумма которой 3, и 12 + 3 = 15. Ответы на вопросы «сколько всего заплатили» и «какова переплата» различаются ровно на сумму займа, и эту разницу нужно держать в голове.

Вклады считаются тем же способом. На вклад в 1 млн рублей на три года проценты начисляют в конце каждого года по ставке 10 %, и сразу после начисления вносят пополнение на 0,1 млн. После первого года: 1 · 1,1 + 0,1 = 1,2. После второго: 1,2 · 1,1 + 0,1 = 1,42. После третьего: 1,42 · 1,1 + 0,1 = 1,662 млн. Процент всегда начисляется на всю накопленную сумму, и пополнение, внесённое в конце года, начинает приносить доход только со следующего.

Если вопрос звучит «через сколько лет вклад вырастет вдвое», приходится подбирать степень: 1,1⁷ немного меньше двух (около 1,95), 1,1⁸ уже больше (около 2,14), значит, нужно восемь лет. Калькулятора на экзамене нет, и числа в условиях обычно подобраны так, что степени считаются вручную за несколько умножений; если у вас получается что-то громоздкое, стоит проверить, не ошиблись ли вы в множителе.

Когда неизвестна ставка, записывают то же самое с буквой. Для кредита 2,2 млн на два года и платежей по 1,44 млн обозначим q = 1 + r/100, тогда (2,2q − 1,44)q = 1,44, то есть 2,2q² − 1,44q − 1,44 = 0. Корни этого уравнения 1,2 и отрицательное число, которое отбрасывается по смыслу, откуда ставка 20 %. Следить надо за тем, чтобы не забыть про отбор корней: в экономической задаче один из корней нередко лишний, и эксперт хочет видеть, что вы это заметили.

Формула или вывод

Для аннуитетных платежей существует готовая формула: платёж равен S · qⁿ · (q − 1) / (qⁿ − 1), где S сумма кредита, q = 1 + r/100, n число лет. На нашем примере 2,1 · 1,21 · 0,1 / 0,21 дают те же 1,21. Выучить её полезно, я пользуюсь ею для проверки. А в самом решении советую показывать вывод таблицей, как выше: он занимает несколько строк и каждым шагом объясняет себя сам. Принимает ли эксперт в вашем году решение, где сразу применена формула, определяют критерии, и полагаться на «принимает» без проверки рискованно.

Причина проста: формула выручает, когда условие стандартное, и подводит, когда оно слегка нестандартное (процент меняется или часть долга погашена досрочно). Ученик, который понимает, откуда она берётся, перестроит таблицу; ученик, который помнит её наизусть, на этом месте останавливается.

Оптимальный выбор

Эти задачи ближе к анализу, чем к арифметике. Фирма выпускает q изделий в месяц, цена одного 100 − 2q тысяч рублей, затраты равны 20q + 200 тысяч. Прибыль П(q) = q(100 − 2q) − 20q − 200 = −2q² + 80q − 200. Парабола ветвями вниз, вершина в точке q = 20, и наибольшая прибыль П(20) = −800 + 1600 − 200 = 600 тысяч рублей.

Подвох в таких условиях обычно один: ограничение. Если мощности предприятия позволяют выпустить не больше 15 изделий, вершина оказывается вне допустимой области, функция на ней возрастает, максимум достигается на границе: П(15) = −450 + 1200 − 200 = 550. Тот, кто нашёл вершину по привычке и записал 600, получает неверный ответ. Если по условию выпуск целый, а вершина дробная, сравнивают значения в двух ближайших целых точках. В более сложных сюжетах вместо квадратичной функции встречается дробь или многочлен более высокой степени, и тогда работает производная.

Где теряют баллы

Классическая ошибка с процентами: «увеличился на 10 %» записывают как умножение на 0,1, а должно быть на 1,1. Вторая по частоте, перепутанный порядок: платёж вычли до начисления процента, а условие требовало после. Третья: в конце ответ не приведён к тому, о чём спрашивали. Нашли платёж, а просили общую сумму; нашли сумму в миллионах, а ответ нужен в тысячах рублей.

Есть ещё одна, о которой молчат: слишком крупные числа. Проценты с несколькими знаками умножаются многократно, и в цепочке выкладок легко потерять запятую. Лечит это привычка не раскрывать скобки, пока не стало ясно, что без этого не обойтись, и выносить общий множитель. Для вкладов с равными пополнениями это сворачивание суммы геометрической прогрессии: на отдельной странице формулы собраны вместе с условиями применимости.

Зачем она нужна и когда браться

Я считаю экономическую задачу самой выгодной из дорогих заданий второй части. Математики для неё нужно меньше, чем для задачи с параметром, а ценится она заметно выше уравнения из начала второй части. Тем, у кого со стереометрией не сложилось, она часто достаётся как основной источник баллов во второй части, и в этом нет ничего зазорного.

Начинать подготовку к ней стоит после процентов и прогрессий, примерно к зиме: откладывать её на март не стоит. Типов немного, оттачивается она быстро, и вторая часть тогда не стоит вся на одном задании. Если у вас под рукой есть репетитор, попросите его проверять не только ответ, но и то, как записано условие в таблице: именно запись показывает, поняли вы задачу. Связь с другими темами работы и общий порядок — в статьях о структуре профильной математики и о том, как подготовиться к ЕГЭ за год; соседняя по духу тема, где тоже решает аккуратная запись, — теория вероятностей.

Подобрать репетитора для подготовки ко второй части можно в каталоге:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы с опытом от семи лет
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса

Вопросы и ответы

Нужно ли знать экономику? Нет, все термины в условии объясняются. Нужно уметь читать, что такое «долг после начисления процента».

Почему ответ получился дробным, и это нормально? Для суммы в миллионах рублей обычно да, ответ получается десятичной дробью с одним-двумя знаками. Если вы получили значение с десятком знаков, скорее всего, где-то ошибка в записи множителя 1,1 (например, 1,01), и проверять нужно её.

Что лучше делать на экзамене с экономической задачей, если времени мало? Составить таблицу и уравнение, даже не доводя счёт до конца: за верную модель критерии, как правило, дают промежуточные баллы, а пустой лист не получает ничего. Доводить арифметику стоит в последнюю очередь.