Задачи с параметром на ЕГЭ по математике

Задача с параметром стоит в конце второй части профильной математики, рядом с задачей на числа и их свойства, и из всех заданий работы она самая нелюбимая. Причина в том, что обычное уравнение имеет ответ, а здесь ответом служит правило: как зависит число решений или их существование от буквы, которая в условии стоит как число, но числом не является. Школьный курс почти не готовит к такому вопросу, поэтому первые встречи с параметром у большинства проходят тяжело.

Параметр почти всегда поддаётся одному из четырёх приёмов, и вся трудность в том, чтобы вовремя распознать, каким. Им и отведена основная часть текста; вопрос о том, нужно ли браться за задачу вообще, оставлен на конец, потому что ответ на него зависит от остальной работы.

Что означает вопрос

В формулировке чаще всего встречаются обороты «при каких значениях a уравнение имеет ровно один корень», «не менее двух», «система имеет единственное решение», «неравенство выполняется при всех x». На самом деле это один и тот же вопрос в разных нарядах: для каждого значения a существует своё уравнение, и требуется описать все значения, при которых это уравнение ведёт себя нужным образом. Ответ записывается множеством: числами или промежутками.

Отсюда следует то, что почему-то редко говорят вслух. Решение не заканчивается, когда найдено одно подходящее a. Найденное значение — это ещё не ответ, пока вы не показали, что других значений нет, и на этом шаге теряют больше всего баллов.

Приём первый: рисунок

Самый наглядный путь. Если параметр удаётся отделить («выражение с x» равно «параметру»), строят график левой части и смотрят, как горизонтальная прямая y = a пересекает его при разных a.

Пример. Сколько корней имеет уравнение x² − 4|x| + 3 = a в зависимости от a? При x ≥ 0 это парабола y = x² − 4x + 3 с вершиной в точке (2; −1) и нулями в 1 и 3, при x < 0 зеркальная ей ветвь. Получается график в форме буквы W: два минимума −1 в точках x = ±2 и горб высотой 3 при x = 0. Дальше читается по прямой. При a < −1 прямая проходит ниже графика, корней нет. При a = −1 касается обоих минимумов, корней два. Между −1 и 3 прямая пересекает график в четырёх точках. При a = 3 проходит через вершину горба и пересекает обе боковые ветви, корней три (0 и ±4, проверьте подстановкой). При a > 3 остаются только внешние ветви, корней два.

Когда параметр стоит внутри выражения, рисунок строится так же, только движется уже другая линия. Прямая y = a(x + 2) − 1 при любом a проходит через точку (−2; −1) и вращается вокруг неё, меняя наклон. Задача превращается в вопрос о том, в каких положениях такая прямая пересекает или касается заданной кривой, а положения, в которых число решений меняется, находятся по касанию или по прохождению через характерную точку.

Здесь легко ошибиться на границах, то есть в тех значениях, где число решений меняется скачком, а ученики именно такие значения и пропускают. Построение графика само по себе не доказательство: ключевые точки (вершины и точки касания) нужно найти вычислением и записать в решении. Допустима ли графическая запись без дополнительных пояснений, определяют критерии вашего года, и в любом случае я советую дописать несколько строк о том, откуда взялись точки.

Приём второй: симметрия и проверка достаточности

Когда уравнение не меняется при замене x на −x (или при другой симметрии), корни идут парами: если x₀ решение, то и −x₀ решение. Единственный корень в такой ситуации может быть только нулевым. Условие необходимое: оно оставляет единственного кандидата, но ответом ещё не служит.

Пример. При каких a уравнение 3ˣ + 3⁻ˣ = a имеет единственный корень? Левая часть чётна, значит, единственным корнем может быть только x = 0, и тогда a = 3⁰ + 3⁰ = 2. Теперь вторая половина решения, без которой оно не засчитывается: проверка достаточности. При a = 2 уравнение превращается в 3ˣ + 3⁻ˣ = 2, и по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим левая часть не меньше 2, причём равенство достигается только при x = 0. Корень действительно один. Ответ: a = 2. При a > 2 корней два, при a < 2 ни одного, но это уже не требовалось.

Второй половиной решения пренебрегают чаще всего. Ученик находит кандидата, радуется ответу и сдаёт работу. Эксперт видит, что утверждение «единственный» не проверено, и эта потеря относится к самым частым при верном общем ходе.

Приём третий: поменять роли

Иногда параметр входит в уравнение проще, чем неизвестное. Тогда стоит поменять их ролями: считать a неизвестным, а x числом, и решить уравнение относительно a.

Пример. Дано уравнение 2x³ − ax² − 2ax + a² = 0. Относительно x оно кубическое и без подсказок не раскладывается. Относительно a оно квадратное: a² − a(x² + 2x) + 2x³ = 0. Дискриминант равен (x² + 2x)² − 8x³ = x⁴ − 4x³ + 4x² = (x² − 2x)², то есть полному квадрату, и корни находятся сразу: a = x² или a = 2x. Исходное уравнение равносильно совокупности x² = a и x = a/2.

Теперь вернёмся к вопросу о числе корней. При a < 0 первое уравнение корней не даёт, остаётся x = a/2, корень один. При a = 0 оба уравнения дают x = 0, корень снова один. При a > 0 получаются корни √a, −√a и a/2, и они различны, кроме случая, когда a/2 = √a, то есть a = 4 (корни 2 и −2). Значит, ровно два различных корня уравнение имеет только при a = 4. Ключевое замечание: совпадения корней двух ветвей надо искать отдельно, иначе подсчёт даст три там, где их два.

Приём четвёртый: аналитика и случаи

Если параметр стоит в коэффициентах квадратного уравнения, начинать нужно с коэффициента при старшей степени: что произойдёт, если он обращается в нуль. При a = 0 уравнение ax² + 2x + 1 = 0 перестаёт быть квадратным и превращается в линейное, и забывший об этом ученик теряет сразу случай, который критерии считают обязательным. Дальше идёт дискриминант, затем, если спрашивают о положении корней относительно числа (оба больше единицы, один меньше нуля), три условия: неотрицательность дискриминанта, положение вершины параболы относительно числа и знак значения трёхчлена в этой точке.

Аналитика требует больше выкладок, зато она единственная даёт вам полную защиту от «забытых» значений: схема стандартная, и нужно просто пройти её без пропусков. Остальные приёмы быстрее, но на них нужно чутьё, которое приходит с опытом.

Параметр встречается и в неравенствах, и в системах, и приёмы там те же. Для неравенства вида «выполняется при всех x» вопрос превращается в вопрос о наименьшем или наибольшем значении функции: x² − 2x + a > 0 при всех x тогда и только тогда, когда наименьшее значение левой части, достигаемое в вершине, положительно. Выделив полный квадрат, получаем (x − 1)² + a − 1 > 0, то есть a > 1.

Для системы, в которой одно уравнение задаёт окружность, а другое прямую, выручает расстояние. Система x² + y² = 4, y = x + a описывает прямую, которая сдвигается с изменением a. Расстояние от центра до прямой равно |a|/√2, и решение единственное, когда оно совпадает с радиусом 2, то есть при a = 2√2 или a = −2√2; между этими значениями решений два, за пределами ни одного. Рисунок здесь решает всё, но вычисление расстояния записывать нужно обязательно.

За что снимают баллы

Из названного выше складывается список потерь. Не рассмотрен случай (нулевой старший коэффициент или совпадение ветвей). Не проверена достаточность. Забыто ограничение области определения (знаменатель или логарифм). Правильный анализ закончен неверным ответом: например, граница записана как строгая вместо нестрогой. Это и есть недоделанные решения: эксперт видит верную идею и всё равно ставит неполный балл, потому что критерии отсчитывают баллы от завершённости решения.

Отдельно о подготовке: программы для построения графиков хороши, пока вы разбираетесь дома, но на экзамене их рядом не будет, и привычку сверять ответ с картинкой на экране придётся заменить привычкой проверять подстановкой. Что именно разрешено на экзамене, смотрите в спецификации своего года.

Кому и когда

Задача с параметром стоит дороже обычных заданий второй части, но и усилий требует больше. Я считаю, что браться за неё нужно после того, как первая часть решается без потерь, а стереометрия и экономическая задача хотя бы отчасти получаются. Исключение — ученик, который идёт на специальность с жёсткими требованиями к математике: ему параметр нужен и как умение, и как баллы, и начинать можно раньше.

Тренируют параметр иначе, чем остальные темы. Несколько однотипных задач подряд учат узнавать приём, а выбирать его не учат, поэтому условия полезно держать в тетради вперемешку и перед каждым решением записывать одной строкой, какой приём выбран и почему. Привычка скучная, её бросают раньше других (примерно так же, как список ошибок), но через месяц-другой выбор перестаёт быть мучительным, и это заметно по времени.

Порядок подготовки по месяцам разобран в годовом плане; о том, как параметр встроен в общую структуру работы, читайте в статье о структуре профильной математики. С соседними задачами второй части это перекликается: стереометрия требует аккуратной записи, а экономическая задача даёт баллы быстрее, и если время ограничено, её имеет смысл взять раньше. База для параметра — это квадратные уравнения, модуль и графики функций: если одна из этих тем усвоена плохо, это сразу скажется на параметре.

Найти репетитора по подготовке к ЕГЭ по математике:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы, готовящие к ЕГЭ
• репетиторы с опытом от семи лет
• репетиторы с пробным уроком

Вопросы и ответы

Что делать, если ни один приём не сработал? Записать то, что удалось: случай нулевого старшего коэффициента и область определения. Критерии учитывают верные шаги, поэтому записанные случаи и область определения дают шанс на частичный балл.

Обязательно ли решать параметр графически? Нет. Графический приём быстр, когда параметр отделяется, и неудобен, когда он вплетён в левую часть. Аналитический путь надёжнее и длиннее. Сильный ученик владеет обоими и выбирает по условию, а начинающему я советую сначала освоить аналитику, потому что она показывает, где именно искать случаи.

Можно ли обойтись без параметра и всё равно набрать высокий результат? Можно набрать результат выше среднего, но не максимальный: именно эта задача отделяет высокий результат от максимального. Если цель ниже, время выгоднее потратить на надёжность первой части и на задания второй, где шансы получить хотя бы частичный балл выше.