Задание 10 ЕГЭ по профильной математике

Самая дорогая ошибка в текстовой задаче происходит после решения. Скорость катера найдена верно, уравнение составлено аккуратно, корни проверены, а спрашивали скорость течения. В бланк уходит число, которое сам же ученик считает правильным, и никакая перепроверка арифметики его не спасёт: арифметика в порядке, ответ на другой вопрос. Поэтому вопрос задачи полезно выписать первой строкой черновика и вернуться к нему последней.

Остальное в этом задании знакомо с пятого по девятый класс: движение, работа, проценты, смеси и сплавы. Новое только то, что набор приёмов нужно держать одновременно и узнавать задачу с первого прочтения. Общий порядок работы с первой частью описан в статье про то, как её закрыть, а место задания среди остальных номеров видно по структуре экзамена.

Движение: сначала схема, потом уравнение

В задачах на движение связаны три величины: путь, скорость и время, и любая из них выражается через две других. Ученик, который выучил это как формулу, всё равно путается, а тот, кто нарисовал на черновике таблицу из строк «по течению» и «против течения» и столбцов «путь», «скорость», «время», путается редко. На черновике такая таблица работает лучше любых других записей.

Катер проходит 45 километров по течению реки и возвращается обратно, затратив на весь путь 8 часов, и собственная скорость катера 12 километров в час. Нужно найти скорость течения. Обозначим её за x. По течению катер идёт со скоростью 12 плюс x, против течения 12 минус x. Время есть путь, делённый на скорость, поэтому сумма сорока пяти, делённых на двенадцать плюс x, и сорока пяти, делённых на двенадцать минус x, равна восьми. Приведём к общему знаменателю: сумма дробей даёт 45 умножить на 24 и разделить на «сто сорок четыре минус x в квадрате». Остаётся равенство: 1080 разделить на «сто сорок четыре минус x в квадрате» равно восьми. Отсюда сто сорок четыре минус x в квадрате равно 135, x в квадрате равно девяти, и скорость течения три километра в час. Проверка по тексту: по течению 15 километров в час, три часа, против течения 9, пять часов, всего восемь.

Заметьте, что в бланк идёт именно три, а не двенадцать и не пятнадцать, хотя обе эти скорости встретились по дороге. Об этом и предупреждает первая строка черновика.

В других движениях правила чуть иные, а принцип тот же. Если два тела идут навстречу, скорости складываются, при движении вдогонку вычитаются, и это основа всех задач на сближение. Отдельное место занимает средняя скорость: если туда вы ехали со скоростью 60, обратно со скоростью 40, то средняя равна не пятидесяти. Расстояние в одну сторону обозначим d, тогда всё время d на 60 плюс d на 40, то есть пять d на 120, а весь путь 2d. Делим, и средняя скорость выходит 48 километров в час. Среднее арифметическое тут не годится, потому что на медленном участке вы проводили больше времени, а скорость усредняется по времени.

Работа, проценты, смеси и сплавы

В задачах на работу величина, которую удобно брать за неизвестную, обычно оказывается не той, о которой спрашивают. Пусть первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а обе вместе за 6 часов, и спрашивают, за сколько часов наполнит бассейн одна вторая труба. Брать за неизвестную время второй трубы можно, но уравнение выйдет с дробями. Проще принять весь бассейн за единицу и работать с производительностью: за час первая труба наполняет одну десятую, обе вместе одну шестую, значит, вторая добавляет разность, одну пятнадцатую. Время, обратное производительности, равно 15. Решение занимает три строки и не требует квадратных уравнений.

Это пример того, на чём я настаиваю: брать за x то, о чём спрашивают, — привычка, а не правило. Выбор неизвестной стоит в каждой задаче обдумывать заново, иногда обратная величина, производительность или доля дают уравнение вдвое короче.

В смесях и сплавах работает та же идея с другим словарём: вес вещества равен проценту, умноженному на вес раствора. Смешали раствор концентрации 10 процентов с раствором 40 процентов и получили 60 килограммов раствора 30 процентов. Сколько килограммов раствора 40 процентов взяли? Пусть раствора десятипроцентного было x килограммов, тогда сорокапроцентного 60 минус x. Вещества в смеси 18 килограммов, то есть 30 процентов от 60. Получается уравнение: 0,1 умножить на x плюс 0,4 умножить на «60 минус x» равно 18. Раскрываем: 24 минус 0,3x равно 18, x равно 20. Но x — десятипроцентный раствор, а спрашивали про сорокапроцентный, поэтому ответ 40. Вот здесь и ловится ответ на другой вопрос.

В работе встречаются и трубы, которые бассейн опорожняют. Производительность такой трубы входит в общую сумму со знаком минус: если одна заполняет бассейн за 6 часов, а другая откачивает за 12, то вместе за час прибавляется одна шестая и убавляется одна двенадцатая, то есть остаётся одна двенадцатая, и бассейн наполнится за 12 часов. Знак минус ученики забывают именно потому, что слова «в сумме» в голове работают как «плюс».

Проценты в чистом виде, без смесей, дают другую ловушку: последовательные изменения. Если цена выросла на 20 процентов, а потом упала на 20, она не вернулась к прежней, и множитель каждого изменения нужно писать отдельно: 1,2 и 0,8. Ошибка, при которой проценты складывают, встречается у многих.

Посторонний корень и здравый смысл

Квадратное уравнение в такой задаче почти всегда имеет два корня, и один из них не подходит по смыслу. Корень решает уравнение, но не обязательно задачу, и задание часто устроено так, что это проверяется.

Рассмотрим автомобиль, который проехал 120 километров, а на обратном пути увеличил скорость на 10 километров в час и сэкономил один час. Пусть x — скорость на первом участке: разность 120 на x и 120 на «x плюс 10» равна единице. После приведения получается x в квадрате плюс 10x минус 1200 равно нулю, дискриминант 4900, корни 30 и минус 40. Скорость не бывает отрицательной, значит, подходит тридцать.

Проверку подстановкой в текст задачи, а не в уравнение, стоит выполнять всегда, когда есть минута. Подстановка в уравнение подтвердит только арифметику, а подстановка в текст проверит, что уравнение вообще было составлено про то, о чём спрашивали. В истории с автомобилем скорость 30 даёт на первом участке 120 на 30, то есть 4 часа, а на обратном пути со скоростью 40 получается 3 часа, и разница ровно час, как сказано в условии. Если бы вышло три с половиной, поиск ошибки начался бы с условия, а не с корней уравнения.

В реальных условиях лишний корень не всегда отрицательный. Он может оказаться дробным в задаче про людей, превышающим весь путь или большим единицы там, где речь о доле. Перед тем как записать ответ, стоит спросить себя: может ли это число быть ответом в мире задачи? Вопрос занимает секунду и срабатывает чаще, чем кажется.

Слова, из-за которых уравнение выходит не то

Большая часть неверных уравнений рождается не в алгебре, а в чтении. «На 20 процентов больше» и «в 1,2 раза больше» означают одно и то же, но ученик, который привык к одному из оборотов, пугается второго. «На 5 минут позже» требует решить, из какого времени вычитать какое: поздний прибывший затратил больше, поэтому большее время стоит первым. Фраза «сэкономил час» определяет, какая из двух дробей идёт первой. Если поставить их наоборот, корни выйдут отрицательными, и это сигнал вернуться и поменять дроби местами.

Хорошая привычка здесь одна: переписывать каждое условие в короткие равенства, прежде чем думать о способе решения. Из такой записи видно, где что стоит, и сомнение возникает до решения, а не после. Лишняя минута на запись окупается тем, что уравнение составляется один раз.

Место темы в школьной программе

Десятый номер указан по демоверсиям прошлых лет, а нумерация профильной математики менялась, поэтому в своём году его нужно сверить с демоверсией. Приёмы же от номера не зависят: те же рассуждения нужны и в других сюжетных задачах, где что-то растёт, делится или перемешивается, в том числе в задачах второй части с экономическим сюжетом. Школьная программа вводит эти сюжеты по частям: сначала простейшие на движение и работу в пятом и шестом классах, потом проценты и смеси, а к девятому классу они сводятся к квадратному уравнению, и экзамен просто собирает всё вместе.

Школьная программа вводит всё это рано: движение и работа появляются в пятом и шестом классах, квадратные уравнения в восьмом, и к одиннадцатому классу навык ржавеет от многолетнего простоя. В статье о темах, которые западают чаще всего текстовые задачи занимают одно из первых мест именно из-за этой паузы.

Когда задачи не идут

Практика здесь простая и скучная, и обойти её нечем. Каждый вид задач надо решить подряд несколько раз, пока составление уравнения не займёт полминуты. Затем виды смешиваются, и вы проверяете, узнаются ли они с первого прочтения. Заучивать формулы вида «работа равна производительности на время» бесполезно: они выводятся за минуту из смысла, а вот способность увидеть, что именно в этой задаче выступает единицей, заучиванием не вырабатывается.

Различайте два состояния. Если вы не можете составить уравнение, то не хватает практики узнавания: нужны десять-двенадцать задач на каждый вид подряд, чтобы смена словаря стала привычной. Если уравнение составлено верно, но дальше вязнет алгебра, нужно подтянуть дроби и квадратные уравнения, и текстовые задачи тут ни при чём. Эти два случая лечатся разными занятиями: в первом нужны текстовые задачи, во втором тренировка вычислений на тех же уравнениях без сюжета, и поэтому на первой встрече с репетитором стоит показать ему тетрадь с неудавшимися решениями, а не пересказывать, что не получается.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике для 5–8 классов
• репетиторы с пробным уроком по математике для ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Соседние номера: девятое, прикладные формулы и одиннадцатое, графики функций.

Вопросы и ответы

Как не перепутать, что принять за x? Напишите первой строкой, что именно спрашивают, и после решения сверьте последнюю строку с первой. Если нашли не то, перейти к нужной величине обычно легко, главное заметить это до бланка.

Нужно ли переводить минуты в часы? Нужно, если скорость дана в километрах в час, а время в минутах. Приведите всё к одной единице в самом начале, а не в конце: перевод посреди решения даёт больше ошибок, чем любая другая арифметика.

Какой вид задач решать первым? Тот, где ошибок больше всего, и по тетради это видно сразу. Если тетради нет, начните с движения, потому что остальные виды повторяют его логику.