Задание 11 ЕГЭ по профильной математике

Формула записана с буквами: «a икс в квадрате плюс b икс плюс c», а на сетке нарисована кривая без единой подписи, кроме масштаба. Условие просит найти значение функции в какой-то точке, которой на рисунке нет. Задание проверяет единственное умение: по нескольким точкам кривой восстановить формулу, а потом уже подставить в неё то, что просят. Если рассматривать его так, оно оказывается системой двух-трёх уравнений, которые составляются прямо по рисунку.

Под номером 11 график функции стоит в демоверсиях последних лет. Нумерация менялась и раньше, так что у своего года стоит посмотреть, какой номер занимает это задание, а умение читать рисунок и восстанавливать формулу от номера не зависит. Остальные задания первой части описаны в статье про первую часть, место этого номера в экзамене видно по общей структуре.

Какие функции встречаются

Набор небольшой, и его стоит знать наизусть, чтобы по виду кривой сразу выбрать нужную формулу:

• линейная функция «k икс плюс b», прямая линия
• квадратичная функция «a икс в квадрате плюс b икс плюс c», парабола
• дробная функция «k делить на x плюс c», гипербола с центром, сдвинутым по вертикали
• показательная функция «a в степени x плюс b»
• логарифмическая функция «логарифм по основанию a от x плюс b»
• функция с корнем, ветвь параболы, лежащая на боку

Отличительные признаки просты. Две ветви с разрывом и пара прямых, к которым кривая прижимается, значит, гипербола. Кривая, которая у левого края почти сливается с осью Ox и круто уходит вверх справа, значит, показательная. Кривая, которая у оси Oy резко уходит вниз и затем медленно растёт, значит, логарифмическая. Если после определения вида сомнение остаётся, достаточно проверить одну точку: она либо сходится с гипотезой, либо нет.

Конкретный набор в вашем варианте может отличаться; список составлен по тому, что встречается в открытых заданиях, и к демоверсии его лучше сверить. Бывает и так, что формула в условии дана с одной-двумя неизвестными, а остальное известно: это упрощает задачу, и первым делом надо выписать, что именно искать.

Парабола: две точки и вершина

Тут происходят самые частые ошибки, поэтому разберём один случай подробно. Парабола проходит через точку (0; −3), а вершина у неё в точке (1; −4). Нужно найти значение функции в точке 5.

Значение в нуле даёт c: оно равно минус трём, потому что при x, равном нулю, остаётся только свободный член. Вершина в точке x, равной единице, даёт связь: абсцисса вершины равна минус b, делённому на два a, значит, b равно минус двум a. Третье уравнение — значение функции в вершине: a плюс b плюс c равно минус четырём, и после подстановки получается a минус 2a минус 3 равно минус четырём, то есть a равно единице. Отсюда b равно минус двум. Функция «x в квадрате минус 2x минус 3», и в пяти она принимает значение 25 минус 10 минус 3, то есть 12.

Заметим, что точки (0; −3) и вершина — удачный выбор. Каждая из них даёт готовое уравнение без вычислений. Прежде чем брать точки, прочитайте цену деления осей: клетка не обязательно равна единице, она может означать две единицы или половину, и пропущенная подпись масштаба обесценивает всё последующее решение. Выбирать надо те точки кривой, которые лежат точно в узлах сетки, и среди них предпочитать нули по оси, вершину и пересечения с осью Oy. Точка, которая «почти» на пересечении клеток, портит всё: ошибка в одной десятой сетки к концу вычислений превращается в ответ, не похожий на целое число.

Гипербола, показательная, логарифм

В трёх остальных видах работает та же идея: одна неизвестная на одну найденную точку. Гипербола вида «k делить на x плюс c» проходит через точки (1; 3) и (2; 2). Составляем два равенства: k плюс c равно 3 и k пополам плюс c равно 2. Вычитаем, получаем, что k пополам равно единице, k равно двум, c равно единице. Значение в точке минус четыре: два делить на минус четыре плюс один, то есть 0,5.

Показательная функция «a в степени x плюс b». Кривая пересекает ось Oy в точке (0; 3) и проходит через (2; 6). При x, равном нулю, степень даёт единицу, поэтому b равно двум. В точке 2 получаем a в квадрате плюс два равно шести, a в квадрате равно четырём. Здесь школьная ловушка: корни уравнения равны плюс и минус двум, но основание показательной функции положительно, поэтому подходит только 2. В трёх это значение функции десять.

Логарифмическая функция «логарифм по основанию a от x плюс b». Кривая пересекает ось Ox в точке (−1; 0) и проходит через (2; 2). Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице, поэтому минус один плюс b равно единице, b равно двум. В точке 2 получаем логарифм четырёх по основанию a равен двум, откуда a равно двум. Значение в точке 6 — логарифм восьми по основанию два, то есть 3.

Гипербола бывает и со сдвигом по горизонтали, вида «k делить на (x плюс a)». Тогда вертикальная асимптота читается прямо по рисунку: если кривая приближается к вертикали x равно единице, знаменатель имеет вид «x минус 1». Остаётся найти k по одной точке. Пусть кривая проходит через (3; 2): k делить на 2 равно двум, k равно четырём, и в точке 5 функция равна единице.

Во всех видах повторяется один приём: сначала берётся «нулевая» точка, которая сразу даёт один параметр, потом остальные. Вычислений становится вдвое меньше. Я бы поставил этот приём выше любых формул: ученик, который находит точку, где зануляется половина слагаемых, решает остальное устно.

Знаки коэффициентов без вычислений

Иногда формулу находить не нужно: спрашивают только знаки. Для квадратичной функции знак a виден по ветвям, вверх или вниз. Знак c — по тому, в какой половине плоскости график пересекает ось Oy. Знак b определяется положением вершины: абсцисса вершины равна минус b, делённому на два a, и если вершина лежит правее оси Oy, а ветви идут вверх, то b отрицательно. Это место, где ученики ошибаются чаще всего, поэтому на нём стоит остановиться: смотреть надо одновременно на положение вершины и на направление ветвей, один признак без другого ничего не говорит.

Разберём один рисунок: парабола ветвями вниз, вершина левее оси Oy, ось Oy пересекается выше нуля. Ветви вниз дают a меньше нуля, пересечение выше нуля даёт c больше нуля. Вершина левее оси значит, что минус b, делённое на два a, отрицательно; при отрицательном a это возможно, только когда b тоже отрицательно, потому что дробь b на два a должна быть положительной. Итог: a и b отрицательны, c положительно. Такое рассуждение занимает полминуты и не требует ни одного вычисления с конкретными числами.

Для линейной функции всё проще: возрастающая прямая даёт положительный коэффициент k, убывающая отрицательный, свободный член читается по пересечению с осью Oy. Для показательной основание больше единицы, если график растёт, и меньше, но положительно, если убывает.

Проверка и запись ответа

Результат любого решения проверяется подстановкой ещё одной точки кривой, которую вы не использовали при составлении уравнений. Если у параболы из разобранного примера взять точку (3; 0) и подставить в «x в квадрате минус 2x минус 3», получится 9 минус 6 минус 3, то есть ноль. Совпало, значит, формула верна. Эта проверка занимает меньше минуты и ловит почти все ошибки подстановки.

В бланк записывается число, а не формула: найденные a, b и c нужны только для подстановки. Если значение получилось дробным, его нужно привести к десятичной дроби, и это единственное место, где арифметика ещё может подвести после верной формулы. Обыкновенную дробь в ответе не принимают, и пять вторых надо записать как 2,5.

Когда рисунки не читаются

Графики функций проходят в седьмом–девятом классах для линейной и квадратичной функций и в десятом–одиннадцатом для показательной и логарифмической. Линейную и квадратичную функции помнят лучше, а вот к логарифмам обычно возвращаются в последние месяцы. По-моему, имеет смысл начать с самого слабого вида и довести его до уверенности, а не распределять время поровну: тренировка по всем видам разом замедляет прогресс там, где он нужен.

Причину отличить нетрудно. Возьмите три-четыре рисунка разных функций и попробуйте назвать вслух, что вы видите: вид функции, точки в узлах, знаки. Если это получается без запинок, а формулу восстановить всё равно не выходит, не хватает алгебры системы уравнений, и вопрос к уравнениям, а не к графикам. Если же вид функции не определяется, нужны графики.

Если сам рисунок читается плохо, например, сложно определить координаты точки на сетке, имеет смысл вернуться к построению графиков и построить десяток функций по точкам вручную. Через неделю такой практики обратная задача, восстановление формулы, идёт заметно лучше, потому что прямая стала понятной. В статье о темах, которые западают чаще всего функции и графики названы среди тем, которые школьники забывают, и сводка там подробнее.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике для 9 класса
• репетиторы с пробным уроком по математике для ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Соседние номера: десятое, текстовые задачи и двенадцатое, наибольшее и наименьшее значение функции.

Вопросы и ответы

Сколько точек нужно взять с графика? Столько, сколько неизвестных в формуле: у параболы три, у прямой две, у гиперболы вида «k делить на x плюс c» тоже две.

Что делать, если на рисунке нет подходящих точек в узлах сетки? Такое условие встречается редко, потому что составители стараются давать целые координаты. Если точек с целыми координатами мало, используйте вершину параболы и пересечения с осями: их координаты читаются точнее остальных. Асимптоты точками графика не являются, но по ним определяется сдвиг гиперболы. Убедитесь, что масштаб по осям одинаков, иначе клетка по горизонтали и клетка по вертикали означают разные длины.

Нужно ли знать формулы сдвига графиков? Желательно, но в этом задании достаточно простого понимания: прибавление числа внутри скобки двигает график по горизонтали, вне скобки по вертикали.

Почему ответ получился дробным? Составители подбирают числа так, чтобы ответ был целым или конечной десятичной дробью. Если вышла дробь с большим знаменателем, вероятнее всего, точка взята не в узле сетки.

Можно ли решить задание без составления системы? Часто можно: если вершина и ещё одна точка параболы известны, формулу записывают сразу в виде a на «x минус абсцисса вершины» в квадрате плюс ордината вершины, и остаётся найти a.