Задание 8 ЕГЭ по профильной математике

Два рисунка в этом задании похожи друг на друга сильнее любых двух других: кривая на сетке, оси, отмеченные точки. Один изображает функцию, другой её производную, и по внешнему виду это не различить. Поэтому первая операция всегда одна и та же: найти в условии слова «график функции» или «график производной» и подчеркнуть. Ошибка на этом шаге превращает правильное рассуждение в абсолютно правильный ответ на другой вопрос, и в бланк уходит число, которого в задании не просили.

Ещё одна особенность: вычислений здесь почти нет. Задание проверяет умение читать связь между функцией и её производной, а производные формулами брать не приходится. Поэтому тем, кто хорошо дифференцирует многочлены, оно часто даётся хуже, чем ожидается.

Какой из двух графиков перед вами

Если на рисунке график производной, то ось Ox служит линией, относительно которой читается знак: выше оси производная положительна, ниже отрицательна, в точках пересечения равна нулю. Сама функция на рисунке отсутствует, о её виде приходится судить по знакам. Если же нарисована функция, то знаки производной читаются по поведению кривой: идёт вверх, значит, производная положительна, вниз, значит, отрицательна, на вершине горба или дна ямы равна нулю.

Много ошибок возникает из-за смешения двух этих чтений. Человек видит график производной, у которого есть горб, и записывает «точка максимума» именно в горбе, хотя горб производной означает самую быструю скорость роста функции, а не её наибольшее значение.

Бывают и условия, где стоят оба слова сразу: график одной функции дан, а вопрос задан про другую, связанную с ней. Такие формулировки читаются дважды, и второй раз стоит вслух назвать, какая функция нарисована и о какой спрашивают, прежде чем браться за карандаш.

Проверить, не перепутали ли вы, можно вопросом: что откладывается по вертикали? Если по вертикали значение функции, то интересуют высоты и склоны. Если значение производной, то интересуют только пересечения оси и знак.

Нули и знаки: как найти экстремумы

Правило, которое здесь работает, формулируется коротко. Точка максимума функции — это та, в которой производная меняет знак с плюса на минус, точка минимума — с минуса на плюс. Просто касание оси без смены знака экстремумом не считается, и такие касания в условиях встречаются намеренно.

Читать рисунок удобно так:

• отметить на оси все точки, где график производной пересекает или касается оси Ox
• над каждым участком между ними поставить знак по расположению графика
• для каждой отмеченной точки сравнить знаки слева и справа
• ответить на вопрос задания: число точек, сами точки или промежутки

Четыре действия с карандашом дают меньше ошибок, чем взгляд на рисунок и попытка держать всё в голове. Об этом спорят: многие считают расстановку знаков лишней для простых рисунков. Я бы настаивал на ней и для простых, потому что цена пропущенной точки касания высока, а лишнее время на рисунок исчисляется секундами.

В качестве иллюстрации — придуманный для статьи рисунок. График производной на промежутке пересекает ось в точках минус пять, минус два и четыре, а в точке один лишь касается оси сверху. Знаки по участкам: плюс, минус, плюс, плюс, минус. В минус пяти знак меняется с плюса на минус, это точка максимума. В минус двух с минуса на плюс, это минимум. В единице знак остаётся плюсом, значит, экстремума там нет, хотя производная и равна нулю. В четырёх снова плюс сменяется минусом, второй максимум. Точек экстремума всего три, и ответ «четыре» получает тот, кто посчитал все нули подряд.

Концы интервала, на котором задана функция, экстремумами не считаются: интервал в таких условиях открытый, и точка на самом краю рисунка в ответ не идёт, даже если кривая там упирается в пик. Это единственное место в теме, где глаз противоречит правилу, и поэтому оно запоминается только после одной-двух ошибок. Лучше сделать эти ошибки на тренировке.

Промежутки возрастания и убывания читаются теми же знаками. Тут важна точность в том, что спрашивают. Если нужна длина промежутка возрастания, концы считаются по клеткам сетки, а не на глаз. Если нужно количество целых точек в промежутке, то включать концы или нет, решает формулировка условия, и читать её надо отдельно от рисунка: геометрия здесь ничего не подскажет.

Касательная и угловой коэффициент

Задание этого типа выглядит иначе. На рисунке график функции и касательная к нему в отмеченной точке, а спрашивают значение производной в этой точке. Значение производной равно угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла её наклона к оси Ox. На сетке он считается без всяких тангенсов: нужно найти две точки касательной, лежащие ровно в узлах клеток, и разделить подъём на пробег.

Для иллюстрации: касательная проходит через узлы с координатами (0; 1) и (4; 3). Подъём равен двум клеткам, пробег четырём, угловой коэффициент равен одной второй, то есть 0,5. Если бы касательная шла вниз, ответ был бы отрицательным: убывающая прямая даёт отрицательное значение производной, и забыть знак проще всего именно тогда, когда глаз следит за числом клеток.

Ошибки здесь повторяются в неизменном виде. Одни берут точки между узлами «примерно», и ответ получается приблизительным вместо точного. Другие делят пробег на подъём, то есть переворачивают дробь. Реже встречается третья: масштаб по осям разный, сетка не квадратная, и число клеток нужно перевести в единицы осей.

Вариантов у задачи несколько: найти точку, где касательная параллельна заданной прямой, или точку, где она горизонтальна. Горизонтальная касательная — это ноль производной, то есть обычно экстремум, и условие просто переформулирует знакомый вопрос. Параллельность заданной прямой означает равенство угловых коэффициентов, и рассуждение идёт так: сначала найти коэффициент прямой, затем перейти к графику производной и найти точки, где она принимает это значение.

Скорость как производная

В части вариантов производная появляется без графика, в виде физической задачи. Точка движется по прямой, её координата задана формулой от времени, нужно найти скорость или ускорение в данный момент. Скорость — первая производная координаты, ускорение — производная скорости.

Пусть координата задана формулой «t в кубе минус шесть t в квадрате плюс четыре», время в секундах, расстояние в метрах. Производная равна трём t в квадрате минус двенадцати t. В момент пяти секунд скорость составляет 75 минус 60, то есть 15 метров в секунду. В бланк идёт число без единиц измерения.

Тот же закон даёт и другие вопросы. Ускорение равно производной скорости, то есть шести t минус двенадцати, и в момент пяти секунд оно равно 18. Момент остановки находится из равенства скорости нулю: три t в квадрате минус двенадцать t обращается в ноль при t, равном нулю или четырём, и если в условии сказано «после начала движения», подходит четвёрка. Обычная причина ошибки здесь одна: ученик подставляет время в формулу координаты, а не в формулу скорости, получает расстояние и сам не замечает подмены.

Единицы измерения, кстати, дают здесь неожиданные потери: в условии может стоять «миллиметры» или «километры в час», а вопрос поставлен в других единицах. Прочитайте последнюю строку условия до того, как считать.

Номер задания и место темы в курсе

Номер 8 в этой статье относится к демоверсиям последних лет, а порядок заданий в разные годы отличался, так что у своего номера стоит посмотреть, какое именно умение за ним стоит. Тема же устроена так, что от нумерации не зависит: производная в школьной программе входит в курс алгебры и начал анализа, и читать по графикам её свойства требуют на обычных контрольных, не только на экзамене. Если вы разберётесь с чтением графиков один раз, это пригодится и в исследовании функций во второй части, и в вузовском курсе математического анализа, где те же картинки рисуют на первых лекциях. Общее устройство экзамена описано в статье про структуру ЕГЭ по профильной математике.

Откуда берётся трудность и что с ней делать

Производную в школе проходят в десятом и одиннадцатом классах, причём сначала учат вычислять, а читать графики приходится на отдельных уроках, которых часто хватает на одну-две контрольных. К экзамену навык «по рисунку определить знак» оказывается самым слабым звеном: формулы помнят, картинок почти не решали.

Поэтому подготовку лучше начинать с набора картинок. По моему опыту, пара десятков рисунков из открытого банка заданий, решённых с карандашом и расстановкой знаков, полезнее, чем сотня примеров на производную многочленов. Параллельно можно перечитать в статье о темах, которые западают чаще всего, где стоит производная среди остальных.

У тех, кто занимается с репетитором, есть дешёвый способ ускориться: попросить его на занятии не решать задание, а нарисовать к нему «обратную» картинку, то есть по графику функции набросать вид производной. Через пять-шесть таких набросков связь между двумя рисунками перестаёт быть абстракцией, и чтение условия сжимается до секунд. Вторая часть экзамена, где производная нужна для исследования функции, потом облегчается заметно: тот, кто умеет набросать график производной, видит и точки экстремума в задаче с формулой.

Если после двух недель такой практики рисунки по-прежнему читаются неверно, причину стоит искать глубже: ученик не различает возрастание и положительное значение, и тогда нужен разбор на простых функциях, без номеров экзамена. Репетитор здесь полезен тем, что видит ход мысли ученика, а не только его ответ.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике для 10–11 класса
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Предыдущее по порядку, седьмое задание, посвящено вычислениям, а девятое строится на прикладных формулах. Как закрывать всю первую часть, подробно написано в статье про первую часть.

Вопросы и ответы

Первообразная тоже встречается в этом задании? Да, в открытом банке бывают условия, где по графику функции требуется найти разность значений первообразной в двух точках, и она равна площади под графиком между ними, подсчитанной по клеткам.

Как отличить точку максимума от точки, где функция принимает наибольшее значение? Они совпадают не всегда. Точка максимума — локальное понятие: функция вокруг неё ниже, чем в ней самой. Наибольшее значение на промежутке может достигаться на конце промежутка, где никакого максимума нет. В этом задании чаще спрашивают про точки максимума и минимума, а не про наибольшее значение.

Нужно ли знать таблицу производных? Для чтения графиков не нужно, для задач на скорость нужны производные степенных функций и несколько простых правил. Таблица за один вечер выучивается, потому что в этом задании встречается только самое простое.

Что значит график производной, лежащий целиком выше оси? Экстремумов нет, функция возрастает на всём промежутке. Ответ «ноль точек экстремума» ученики записывают неохотно, будто это неправильный ответ, а он вполне законный.

Сколько времени стоит тратить на это задание на экзамене? Общего числа здесь нет, оно зависит от вашего темпа. Сигнал остановиться один: если после двух прочтений условия вы не поняли, перед вами функция или производная, переходите к следующему заданию и вернитесь в конце.